江西高一下学期期未考试数学理试题

丰城中学下学期高一期末考试试卷
数 学(理科)
本试卷总分值为150分考试时间为120分钟
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 学校教务处要从某班级学号为160-的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是( )
A ．5,10,15,20,25,30
B ．3,13,23,33,43,53
C ．1,2,3,4,5,6
D ．2,4,8,16,32,48
2.在ABC ∆中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于( )
A ．23
B ．13
-
C ．
14- D ．23
- 3. 设10<<<b a ，则下列不等式成立的是( )
A.33a b >
B.11a b
< C.1b a > D.()lg 0b a -<
4等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，已知53a =，510S =，则13a 的值是( )
A.1
B.3
C.5
D.7
5.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直
线方程为0.8155y x =-，后因某未知原因第5组数据模糊不清，如下表所示，则实数m 的值为( )
6完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.310
B.15
C.110
D.112 8.已知0,0>>y x ，且
()()119
x y ++=，则x y +的最小值是( )
A ．4
B ．5
C ．2
9 D ．2
11
9.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸C B ,的俯角分别为
︒︒30,75，此时气球的高是m 60，则河流的宽度BC 等于( )
A ．m )13(30+
B ．
m )13(120-
C ．m )12(180-
D ．
m )13(240-
10.
1011111111
1+22424824
2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………… 的值为( ) A ．
9
172
+ B ．
10192+ C ．111112+ D ．10172+ 11.若G 是ABC ∆的重心，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若
3
3
aGA bGB cGC ++=，
则角A =( )
A.90
B.60
C.45
D.30
12．数列}{n
a 中，
211=a ，n
n n a a a -+=
+111(其中*∈N n )，则使得72321≥++++n
a a a a 成立的n 的最小值为 ( )
A ．236
B ．238
C ．240
D ．242
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13.不等式21
31
x x ->+的解集是________．
14．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，︒=60B ，
ABC ∆的面积为2
3，那么=b _________． 15.设(0,10]ω∈，则函数sin y x ω=在区间
(,)36
ππ-
上是增函数的概率是 .
16．已知n S 为数列}{n a 的前n 项和，1=1a ，2=(1)n n S n a +，若存在唯一的正整数n 使得
不等式
2220n n a ta t --≤成立，则实数t 的取值范围为
三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17.(本题满分10分)已知函数2()(1)f x x a x a =-++，()(4)4,g x a x a a R =-+-+∈ (1)x R ∈，比较()f x 与()g x 的大小； (2)当()
0,x ∈+∞时，解不等式()0f x >
18.(本题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n
S ，若312S =，且
1232,,1a a a +成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)记
1
1()
n n n b n N a a *+=∈，且数列{}n b 的前n 项和为n
T ，证明：1143n T ≤<．
19.(本题满分12分)已知函数
x
x x f 2cos )6
2sin()(++
=π
(1)求函数)(x f 的单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知
2
3)(=
A f ，
2=a ，3π=B ，求ABC ∆的面积.
20.(本题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
(1)求出表中,M p 及图中a 的值；
(2)若该校高一学生有240人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人
数；
(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区
服务次数在区间[25,30)内的概率.
21.(本题满分12分)如图，D 是直角
ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．
(1)若30DAC ∠=，求角B 的大小； (2)若
2BD DC =，且AD =DC 的长．
22.(本题满分12分)已知数列{}n a 中，2a a =(a 为非零常数)，其前n 项和n S 满足
1()()
2n n n a a S n N +-=∈． (1)求数列
{}n a 的通项公式；
(2)若2a =，且21
11
4
m
n a S -=，求m n 、的值；
(3)是否存在实数a b 、，使得对任意正整数p ，数列
{}n
a 中满足n a
b p +≤的最大项恰为
第32p -项？
丰城中学下学期高一期末考试答案
数 学(理科)
1-4 B C D D 5-8 D A A A 9-12 B B D B 13.
11|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩
⎭或 142 15. 320 16.1(2,1][,1)2-- 17.(1)f(x)-g(x)=x 2
+3x+4=(x+32)2+74
>0
所以x R ∈时f(x)>g(x)------------------------------5分 (2)不等式可化为(x-1)(x-a)>0
因为x>0所以①当a ≤0时，x>1，②当0<a ≤1时，0<x<a 或x>1，③当a>1时，0<x<1或x>a. -----------------------------------------------------10分 18.【解析】(1)依题意，得
2
1321232(1)12
a a a a a a ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，即
111(21)8
4
a a d a d ++=⎧⎨
+=⎩，得2
120d d +-=．
0d >，∴13,1d a ==．∴数列{}n a 的通项公式13(1)32n a n n =+-=-．------5分
(2)
111111()
(32)(31)33231
n n n b a a n n n n +===--+-+，---------------------7分
∴
123111111
[(1)()(
)]3447
3231
n n T b b b b n n =+++
+=-+-+
+--+11(1)33131
n n n =-=++．---------------------------------------------------9分 ∙
n N *∈，∴
1031n >+，故13
n T <，---------------------------------10分
又n
T 为单调递增，所以当1n =时，取最小值14
，-----------------------11分
故1
143
n T ≤<．---------------------------------------------------------12分
19.解：
()sin(2)cos 26f x x x π
=
++=
sin 2cos cos 2sin cos 266
x x x
ππ
++
32cos 22x x +
13(sin 22)2x x )
3
x π+ ……………………-----------------------------------------3分
令222232k x k π
ππ
ππ-+≤+≤+⇒512312
k x k πππ
ππ-+≤+≤+，k ∈Z ()f x 的单调递增区间为：
5[,],1212
k k k ππ
ππ-++∈Z0……………----------------5分 (2)由
1())32f A A π=+=
，又
20,3A π<<52,333A πππ<+< 因此
5236A π
π+=，解得：4
A π=
………………7分
由正弦定理
sin sin a B A B
=
，得b =
又由
,4
3
A B π
π=
=
可得：
sin C =
分
故
13sin 22
ABC
S ab C ∆+==…………12分 20.每小问4分
21.解： (1)在△ABC 中，根据正弦定理，有
sin sin AC DC
ADC DAC
=
∠∠. 因为
AC =，所以
sin 2
ADC DAC ∠=∠=
.------------------3分
又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC 所以120ADC ∠=°. 于是 3030120180=--=∠C ，所以60B ∠=°. ……………………6分 (2)设DC x =，则2BD x =，3BC x =，
AC =.-----------------------7分
于是
sin 3AC B BC ==，cos 3
B =
，.6x AB =--------------------------9分
在ABD ∆中，由余弦定理，得 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅ 即
2
2
2
2
64222x x x x
=+-⨯= ，得1x =. 故 1.DC = ………12分
利用向量法计算同样给分。

22.
----------------------------------------------------------------4分
(2)若2a =，则2(1)n a n =-，∴(1)n
S nn =-，由2
111
4
m
n a S -=，得22
11(1)n n m -+=-所以(n-12
)2+ 434
=(m-1)2 即224(1)(21)43m n ---=，
∴(223)(221)43m n m n +---=．∵43是质数，223221m n m n +->--，
2230m n +->，∴221122343
m n m n --=⎧⎨
+-=⎩，解得12,11m n ==， ------8分
(3)由n a b p +≤，得(1)an b p -+≤，若0a <，则
1
p b n a
-≥+，
不合题意，舍去；若0a >，则
1
p b n a
-≤+．∵不等式n a b p +≤成立的最大正整数解为32p -，∴32131
p b
p p a
--≤+<-， 即2(31)3a b a p a b -<-≤-对任意正整数p 都成立，∴310a -=，解得
13
a =
，此时，2
013b b -<≤-，解得213b <≤，故存在实数a b 、满足条件，a 与b 的取值范围是12
,1
33a b =<≤，----------------------------------------------12分。