图论课件--图的顶点着色共41页

图论课件--着色的计数与色多项式

V (Hi ) ni
j hH ( i,x ) ax , j 1 ,2 , . . . ,t i j j 1 n i
23

t
n
j1
i
n
一方面：

t
h(H i, x)

i1
a
i 1 j 1
t
ni
ij x
j
该多项式中 xk 的系数rk为：
r k
i i2 i k 1 t
由假设可令: Pk(G-e)=kn+a1kn-1+…+an-1kn-1 ，且a1=-m+1;
Pk(G· e)=kn-1+b1kn-2+…+bn-2kn-2 ，且b1=-m+1;
28
所以： Pk(G)= kn+(a1+1)kn-1+(a2+b1)kn-2+…+ bn-2kn-2 所以，a1+1=-m。
22
下面，我们对定理3作证明。
定理3 若G有t个分支H1,H2,…Ht,且Hi的伴随多项式为 h (Hi, x), i=1,2,…,t, 则：
h (G , x) h (H ) i, x
i 1
k 分析：由伴随多项式定义： h ( G ,x ) N ( Gx ) k k 1
t
t
n
所以，我们只需要证明 N k ( G ) 等于 h ( H i , x ) 的k i1 次项系数即可。设 V (G ) n
G
10
解：通过观察枚举求Nr(G)
G
1) N4(G):

G
11
N4(G)=6 2) N5(G):

c7-2

图
的
着
色
顶点的着色算法顶点的着色的两种运算 G+uv G:uv 3
1
2
2
3
图
的
着
色
定理：中两个不相邻的节点，定理：设u,v是G中两个不相邻的节点，则是中两个不相邻的节点 χ(G) ＝min{χ(G+uv) , χ(G:uv) }
图
的
着
色
例题4：求如下图的例题：求如下图的χ(G) v1
图
的
着
色
具有n个顶点的简单图是－具有个顶点的简单图G是n－着色的当且仅当个顶点的简单图 G为完全图为完全图
定理：定理：χ(G) ≤∆+1 定理：为平面图，定理：若G为平面图，则χ(G) ≤5 为平面图
图
的
着
色
例题1：是奇圈是奇圈，例题：G是奇圈，则χ(G) ＝3＝∆+1 ＝例题2：是完全图是完全图，例题：G是完全图，则χ(G) ＝k＝∆+1 ＝ Brooks定理：若G即不是奇圈，也不是完定理：即不是奇圈，定理即不是奇圈全图，全图，则χ(G) ≤∆ 例题3：中任意两个奇圈均有一个公共点，例题：若G中任意两个奇圈均有一个公共点，中任意两个奇圈均有一个公共点则χ(G) ≤5
图
的
着
色
顶点着色可看作是顶点到颜色之间的一个映射。顶点着色可看作是顶点到颜色之间的一个映射。表示该映射。用π表示该映射。表示该映射 π: V {1,2,3,4,..,k}
图G中顶点的一个划分中顶点的一个划分 1 2
2
3
图
的
着
色
2 1 2

图论课件第七章图的着色

总结词
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是使用最少的颜色对树图的顶点进行着色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝来排除那些不可能产生最优解的节点。分支限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。

图论的介绍ppt课件

chedules
工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时间内完成？
Program structure
大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效率。
Graph Applications
Graph Problems and Algorithms
图论的介绍ppt课件
欧拉路径解決哥尼斯保七桥问題
原來是一笔画问题啊！
数学家欧拉(Euler, 1707-1783) 于1736年严格的证明了上述哥尼斯堡七桥问题无解，并且由此开创了图论的典型思维方式及论证方式
实际生活中的图论 Graph Model
电路模拟
例：Pspice、Cadence、ADS…..
哈密頓（Hamilton）周遊世界问題
正十二面体有二十个顶点表示世界上20个城市各经每个城市一次最后返回原地
投影至平面
哈密頓路径至今尚无有效方法來解決！
最短路径问題
(Shortest Path Problem)
最快的routing
最快航線
B 2
1
E
3
A
C 1
3 2F
1
3
D
3 3
G
最短路径算法Dijkstra算法
二分图（偶图） Bipartite graphs
A graph that can be decomposed into two partite sets but not fewer is bipartite
It is a complete bipartite if its vertices can be divided into two non-empty groups, A and B. Each vertex in A is connected to B, and viceversa

图论PPT

W (P) =
e∈ ( P) W (P
∑W(e)
则称W 为路径P(u, v) 的权或长度(距离). 长度(距离) 则称 (P)为路径为路径定义2：若P0 (u, v) 是G 中连接u, v的路径且对任定义：中连接的路径, 的路径意在G 中连接u, 的路径的路径P 意在中连接 v的路径 (u, v)都有都有 W(P0)≤W(P), ≤ 则称P 中连接u, 的最短路. 则称 0 (u, v) 是G 中连接 v的最短路
解:
表示设备在第i 年年初的购买费, 设bi 表示设备在第年年初的购买费 ci 表示设备使用年后的维修费表示设备使用i 年后的维修费, V={v1, v2, … , v6},点vi表示第年年表示第i 点表示第初购进一台新设备,虚设一个点虚设一个点v6表初购进一台新设备虚设一个点表示第5年年底年年底. 示第年年底 E ={vivj | 1≤i＜j≤6}. ＜
如果E的每一条边都是无向边则称G为如果的每一条边都是无向边, 则称为无向的每一条边都是无向边如图1) 如果E的每一条边都是有向边 1); 的每一条边都是有向边, 图(如图1) 如果的每一条边都是有向边则称 G为有向图(如图2) 否则称G为混合图 2); 为有向图(如图2) 否则, 为混合图.
图论在数学建模中的应用
• • • • 第一部分第二部分第三部分第四部分概念
图论中的“ 图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图, 形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统. 称为一个图, 定义1 :一个有序二元组一个有序二元组( 定义1 :一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中的顶点集, 其元素称为顶点, ① V 称为G的顶点集, V≠φ, 其元素称为顶点, 简称点; 简称点; 的边集, 其元素称为边, ② E 称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边. 为无向边, 否则, 称为有向边.

《图论的介绍》课件

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图论的介绍
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PART One
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PART Three
图论的应用领域
PART Two
图论的基本概念
PART Four
图论的基本问题
PART Five
图论的算法和数据结构
PART Six
图论的扩展知识
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图论的基本概念
图论的发展历程
18世纪末，欧拉提出“七桥问题”，开启了图论的先河
匹配问题
匹配问题定义：在图论中，匹配问题是指在图中找到一组边，使得每个顶点恰好有一条边。
最小匹配问题：在图中找到一组边，使得边的数量最少。
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最大匹配问题：在图中找到一组边，使得边的数量最多。
完美匹配问题：在图中找到一组边，使得每个顶点恰好有一条边，并且边的数量最多。
图论的扩展知识
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径：通过图中所有边且仅通过一次的路径
欧拉回路：通过图中所有边且仅通过一次的回路
欧拉定理：一个无向图存在欧拉回路当且仅当每个顶点的度数都是偶数
应用：欧拉路径和欧拉回路在计算机科学、数学、物理等领域有广泛应用，如电路设计、网络拓扑、图论算法等
哈密顿路径和哈密顿回路
应用
生物技术：图论在生物工程、生物制造和生物能源等领域
的应用
图论的发展趋势和未来展望
应用领域：图论在计算机科学、物理学、生物学等领域的应用越来越
广泛
研究方向：图论在算法设计、网络优化、数据挖掘等领域的研究不断深
入
技术发展：图论与机器学习、深度学习等技术的结合越来

图论中的图的着色与染色问题

图论中的图的着色与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图的应用。

在图论中，图的着色与染色问题是一个经典且重要的研究课题。

图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。

本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念和应用。

一、图的基本概念1. 无向图和有向图无向图由一些顶点和连接这些顶点的边组成，边没有方向性。

而有向图中，边是有方向性的，连接两个顶点的边有始点和终点之分。

2. 邻接矩阵和邻接表邻接矩阵是一种表示图的方法，用一个矩阵表示图中各个顶点之间的连接关系。

邻接表是另一种表示图的方法，用链表的形式表示图中各个顶点之间的连接关系。

二、图的着色问题图的着色问题是指如何用有限的颜色对图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边具有不同的颜色。

图的着色问题有以下两种情况：1. 顶点着色对于无向图或有向图的顶点，通过对每个顶点进行染色，使得图中任何相邻的顶点具有不同的颜色。

这里的相邻顶点指的是通过一条边相连的顶点。

2. 边着色对于无向图或有向图的边，通过对每条边进行染色，使得图中任何相邻的边具有不同的颜色。

这里的相邻边指的是有共同始点或终点的边。

三、图的染色算法对于图的着色问题，有不同的染色算法可以解决。

在这里我们介绍两种常用的染色算法：贪心算法和回溯算法。

1. 贪心算法贪心算法是一种基于局部最优策略的算法。

对于图的顶点着色问题，贪心算法的策略是从一个未染色的顶点开始，将其染上一个可用的颜色，并将该颜色标记为已占用，然后继续处理下一个未染色的顶点。

如果当前顶点没有可用的颜色可染，则需要增加一个新的颜色。

2. 回溯算法回溯算法是一种穷举所有可能性的算法。

对于图的着色问题，回溯算法的策略是从一个未染色的顶点开始，尝试不同的颜色进行染色，如果发现染色后与相邻顶点冲突，就回溯到上一个顶点重新尝试其他颜色，直到所有顶点都被染色。

四、图的着色问题的应用图的着色问题在实际中有广泛的应用。

图论讲义第6章-图的着色问题

1 2 1 2 1 2 1
u
(2) 设 G 不是 Euler 图。此时给 G 增添一个新顶点 v0，将 v0 与 G 的每个奇度顶点连一条边，得到一个新图 G* 。显然 G* 的所有顶点都是偶数度的，因而是 Euler 图。设
v0 e1v1e2
* eε ( G *) v0 是 G*的一个 Euler 闭迹，令 E1* = {ei i 为奇数}, E 2 = {ei i 为偶数}，这 * * *
ik-1
… v3 v2
i3
…
ik
u
…
im
i2 i1 i1
ห้องสมุดไป่ตู้
vm
v1
v
因 d ( v1 ) < Δ + 1 ，故必有某种色 i 2 不在 v1 处出现。这样 i 2 必然在 u 处出现（否则，可。因此存在一条用 i 2 给 uv1 重新染色，得到一个改进的 Δ＋1 边染色，与 c 是最佳染色矛盾）边 uv2 染有色 i 2 。。又因 d ( v 2 ) < Δ + 1 ，必有某种色 i 3 不在 v2 处出现。 i 3 必然在 u 处出现（理由同上）因此存在一边 uv3 染有色 i 3 。继续这个过程，可找出一个顶点序列 v1 , v 2 , 染有颜色 ij，且色 ij+1 不在点 vj 处出现，（ j = 1,2, , 以及一个颜色序列 i1 , i2 , , 使得边 uvj ）。而且，因 c(u ) < d (u ) 且 d (u ) 是有
| c1 (ν ) | = 1 ，其中 ci (υ ) 表示 υ 阶第 i 类图的集合。这 v →∞ | c (ν ) ∪ c (ν ) | 1 2

运筹学--图论 ppt课件

4
5
4 9 8
v1
v3
2
v6
[8,v2]
v8
5 33
1
[2,v1]
v4
v7
[10,v4]
33
Dijkstra算法示例1
3）迭代计算(c)—更新与永久标号节点v2相连的节 (d2+w25=3+7=)10< ∞ (=d5) 点的临时标号。
[3,v1]
v2
[0,-]
7
v5
[10,v2]
2 [+∞,v1] 6
v4
v7
[+∞,v1]
22
Dijkstra算法示例1
2）迭代计算(a)—从临时标号中找到距离上界dk最小的节点v4，d4=min{dk}，将其变换为永久编号。
[3,v1] [+∞,v1]
v2
[0,-]
7
v5
2 [+∞,v1] 6 1 2 [+∞,v1]
3
5 2 [5,v1]
4
5
4 9 8
v1
v3

最小树问题不一定有唯一解。
10
10
最小支撑树问题的解法

破圈法算法

初始化将图G的边按权值从大到小的次序排列，从原图开始迭代；迭代

第1步(删边) 从排列中顺序选择一条与图中剩余边构成圈的边，则将此边从图中删除，进入第2步(结束判断)；第2步(结束判断) 若图中剩下n-1条边，则已经得到最小支撑树；否则，进入下一轮迭代，返回第1步(加边)；

柯尼斯堡七桥问题

柯尼斯堡市区横跨普雷格尔河两岸，在河中心有两个小岛。小岛的两岸共有七座桥将岛与岛、岛与河岸连接起来。一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，并最后回到出发点？

图论图着色

源自v2v1v0
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线，这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中（也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定是最大的，但它的元素数目已达到极限，即不可能再加入其他结点而不破坏它的独立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|，对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（由定理5.4的推论可知）它有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一完美匹配M2，如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边着色，即 ψ e (G ) = Δ

图论-总结PPT课件

q-p+1条弦。 (2) 若G是一个(p,q)连通图，则T至少有多少个圈?(q-p+1) 若G是一个(p,q)连通图，则T有多少个圈? 若G是一个(p,q)连通图，则T至少（多）有多少个生成树？
.
16
第三节割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节哈密顿图
6.1 哈密顿图定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的度都等于r，则G称为r度正则图。

9.2 顶点染色

9.2 图的染色
图的染色问题源于著名的四色问题。所谓四色猜想就是在平面上任何一张地图，总可以用至多四种颜色给每一个国家染色，使得任何相邻国家的颜色是不同的。四色问题可以转化为图论中的问题来讨论，从地图出发构造一个图，让每一个顶点代 G 表地图的一个区域，如果两个区域有一段公共边界线，就在相应的顶点之间连上一条边。则对地图的染色就转化为对图的一个顶点 G 染色。
G 的色数是所得完全图的色当所得图都是完全图时，算法结束，数的最小者。
证明：设 (G) k ，并考虑 G 的 k 染色。假设顶点 u 和 v 染不同的颜色，则 G 的 k 染色也是 G uv 的 k 染色。因而，此时有
(G uv) k (G)
现在假设顶点 u 和 v 的染色相同，则 G 的一个 k 染色可得到 G uv 的一个 k 染色，于是，有
或者由推论9.2.1可得。
推论9.2.0 若 G 是连通图，但不是正则图，则
(G) (G)
证明：由定理9.2.0，只需证明对G 的任何一个点导出子图 H 都有 ( H ) (G) 1 。若 H G ，因 G 不是正则图，故 ( H ) (G) 1 。如果 H 是 G 的真子集，由于 G 连通，存在 x V ( H ) y V (G H ), 使 xy E (G) ,则 dH ( x) dG ( x) 1 (G) 1 故 ( H ) (G) 1
(G) min (G uv), (G uv)
综合以上结论，有
(G) min (G uv), (G uv)
以上定理的结论提供了一个求图的色数的算法：设 G 是有 p 个顶点的简单图关于 (G ) 的算法：（1）如果 G 是 K p ，则 (G) p 。如果 G 不是 K p ，令 H G 并按（2）进行；（2）选取 H 的不相邻的一对不同顶点 u ，v ，作图 H uv 和 H uv ，并按（3）进行；（3）令 H 是由（2）得到的某个图。如果 H 是完全图，比如说有 k 个顶点，则 ( H ) k 。如果 H 不是完全图，转入（2）进行。

图的着色问题课件PPT

显然我们可以选用4种颜色给每个顶点涂色，或者选
用3种颜色分别给3个极大独立集涂色，例如为{b,d,f}中
的b、d、f涂颜色1，为{a,f}中的a涂颜色2，为{}中的e涂颜色4。
求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者，即为X（G）
但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的c涂颜色3。
由此可见，求色数其需要求极大独立集以及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子集，对于大图，因为图计算量过大而成为实际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法，一般我们采用贪心法等近似算法来求解。
图的着色问题
问题来源
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
• 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图
中的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称为图的边着色问题。
• 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图
中的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个问题称为图的顶着色问题。
穷举法－Welch Powell着色法
• I．将图G中的结点按度数的递减顺序进行排列(这
种排列可能不是唯一的，因为有些结点的度数相同)。
• II．用第一种颜色对第一结点着色，并按排列顺序对与前面着色结点不邻接的每一结点着上同样的颜色。
• III．用第二种颜色对尚未着色的结点重复II，用第三种颜色继续这种做法，直到所有的结点全部着上色为止。
回溯法
void GraphColor(int n, int c[ ][ ], int m)

图论中的图的着色与染色问题

图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。

在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。

本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。

一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。

着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。

定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。

根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。

定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。

根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。

二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。

其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。

而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。

三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。

同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。

总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。

通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。

愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。

《图论》图的着色(课堂PPT)

PK3(3) = 6
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。

第6章图的基本概念PPT课件

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6.1 图论的产生与发展
哥尼斯堡七桥问题:
12A 3 B4 D
5
76C
陆地用点来表示,桥用连接两个点的一条线段来表示。
一个出发者能否从一块陆地出发走遍七座桥,而且每座桥恰好走一次，最后回到出发点？
A
B
D
C
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6.1 图论的产生与发展
1936年德国数学家柯尼希(D.König)著《线复形的组合拓朴学》作为第一本图论著作问世，前后相隔200年。在这期间，德国学者基希霍夫(G.R.Kirchhoff)、英国数学家凯莱 (A.Cayley) 、哈密尔顿(W.R.Harmilton) 和法国数学家若尔当 (M.E.C.Jordan)等人都做出了开创性的工作。
图H=(V,F)为G的生成子图.
v1 v2 v3 v1 v2 v3 v1 v2 v3
v6 v5 v4 v6 v5
v6 v5 v4
图1
图2
图3
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极大子图
设G的子图H具有某种性质，若G中不存在与H不同
的具有此性质且真包含H的图，则称H是具有此性质的
极大子图.
v1
包含V1并且与V1有
解本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx，则
d(vi) 2，i =1, 2, …, x，于是得不等式
32 24+2x 得 x 4, 阶数 n 4+4+3=11.
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例题
例6.2.3 9阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6. 证明G中至少有5个6 度顶点或至少有6个5度顶点.

chap12 图的着色

C(v)=2+2+2+2=8 C(v)=1+2+1+2=6 故优于，易知，是最优2边着色。
2016/12/5 离散数学 22
缺色又重色的顶点在奇回路上
引理12.2.2：设是图G的最优k边着色，若G中有顶点u , 其上不出现颜色i，却出现颜色j至少两次，令Ei和Ej为G中以i和j着色的边集合，则 G[Ei∪Ej]中含u的分支B是奇数长度的回路。证明：若引理不成立，则由引理12.2.1知B有一个2边着色，使的两种颜色在B中度不小于2 的顶点上都出现，设的色集为{i , j}。于是，将B的边按照着色，G的其它边仍按着色，得到G的新的k边着色。对于顶点u，有 C(u)=C(u)+1，但对v≠u，Cr(v) C(v)，即优于，此与最优的假设矛盾。故引理成立。
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边色数之上下界
定理12.2.1(Vizing 1964)：对于任何简单图G， (G) (G) (G) +1 . 证明：只须证明右边的不等式。假设对某个简单图G，有 (G)＞(G)+1。令是G的最优((G)+1)边着色。？由假设G中必有一点u，有C(u)＜d(u)。因此有颜色 u 上至少出现两次。又＜ (G)+1 若对 ui有 C (u)=d(u)，则是正常d(u) k边着色，。 1在故有颜色 i0在 u上不出现。设 (uv)= (uv1)=i 是 ((G)+1) 边着色，这与 (G) ＞ (G)+1 矛盾。 1。
Ak1 Ak 2 Akk
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离散数学
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(G)2q/p2+1