高三数学第一学期期末教学质量监测试题理试题

卜人入州八九几市潮王学校2021～2021第一学期期末教学质量调研监测
理科数学
2021～2021第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题〔B〕参考答案及评分HY
一、选择题
1.C
2.B 【解析】(
3.5)(2.51)(2.5)(1.51)(1.5)(0.51)f f f f f f =+=-=-+==+
(0.5)0.5f =-=-.
3.D 【解析】
242p p =⇒=.
4.C
5.C
6.B 【解析】因为26n m =，24q p π=，所以
22266644n m m q p p πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 7.A
()()20AB AC AO AB AO AC AO OB OC +=⇒-+-⇒+=，所以BC 为圆O 的直径.又1AC AO ==，所以∠60C =°，∠30B =°，3BA =，所以向量BA 在BC 方向上的
投影为3cos 2BA B =.
8.A 【解析】232015sin
sin sin sin 0333
3S ππππ=++++=.
9.B 【解析】设公比为q ，因为11223412a a a ===，那么2112a q =，23112a q =，3212a q =.
由31a ，32a ，33a ，34a 成等差数列，有343132313()a a a a =+-，得1q =〔舍〕或者
1
2q =. 所以121a =，1111211(1)()2n n a a n a a =+--=，
11222n nn n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 所以1122339923912392222a a a a ++++=++++，由错位相减法可得
112233991013
512a a a a ++++=.
10.D 【解析】由1x =-为函数()x f x e 的一个极值点可得a c =，∴
2()f x ax bx a =++. 假设()f x 有两个零点1x ，2x ，那么121x x =，显然D 不适宜.
二、填空题
11.假设0x
≠且0y ≠，那么0xy ≠.
1
1
14.2sin sin sin a c b A C B ===，得2sin a A =，2sin c C =，
所以24sin 2sin 4sin 2sin(120)5sin a c A C A A A A +=+=+︒-=+，
所以2a c +
=.
15①③④【解析】作出两个函数的图象.
三、解答题
16.【解析】〔1
〕211()cos cos 22f x a b x x x ωωω=⋅-
=-
11(1cos 2)2cos 2223x x x πωωω⎛⎫=+-=+ ⎪⎝
⎭. 因为直线3x π=
是()y f x =图象的一条对称轴，所以233k ππ
ωπ
⋅+=，31()2k k z ω-=∈，当
1k =时，正数ω获得最小值1.………6分
〔2〕当1ω=时，()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. 由2223k x k π
πππ
-+≤≤，得236k x k ππππ--≤≤.
所以()f x 的单调增区间236k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，(Z k ∈).…………12分
17.【解析】〔1〕取
1AA 中点D ，连接BD 、1C D 、1AC ，因为11A B AB AA ==，所以△1ABA 是正三角形，所以
1BD AA ⊥.根据侧面11ABB A ⊥侧面11ACC A ，有BD ⊥侧面11ACC A . 由12AA AC ==，平行四边形11ACC A
的面积为11AAC 为锐角，可得
∠1160AAC =°，所以△11AAC 为正
三角形，有11C D AA ⊥.所以1AA ⊥平
面1BC D ，从而1AA ⊥
1BC .…………6分
〔2〕因为112A B AB AA ===，所以3BD =，所以四棱锥11B AAC C -的体积为
123323V =⨯⨯=.
又三棱锥
111B A B C -的体积为三棱柱111ABC A B C -体积的1
3，所以四棱锥11B AAC C -的体积为三棱柱
111ABC A B C -体积的2
3. 从而所求的斜三棱柱111ABC A B C -的体积为3.…………12分
18.【解析】〔1〕甲答错题目数的平均数为
3201 1.54x +++==，所以答对题目数的平均数为10 1.58.5-=8.5542.5⨯=.…………6分
〔2〕根据题意知点()P x y ，一共有16个：(34)，、(33)，、(32)，、(30)，、(24)，、(23)，、(22)，、(20)，、(04)，、(03)，、(02)，、(00)，、(14)，、(13)，、(12)，和(10)，.
因为2221y k y x x +=
⇒+≥≥，所以符合
2k ≥的点P 一共有8个：(24)，、(04)，、(03)，、(02)，、(10)，、(12)，、(13)，、(14)，.
故所求的概率为81P 162=
=.…………12分
19.【解析】〔1〕由
2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+⇒-+=. 因为0n a >，*N n ∈，所以120n n a a +-=，即12n n a a +=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.
故2n n a =，*N n ∈.…………5分
〔2〕
22(1)(1)(12)(12)n n n n n b a a a a =---=---. 1n n b b +>，即1212(12)(12)(12)(12)n n n n a a ++--->---，化简得232n a >-⋅.
因为
2322324n -⋅-⋅=-≤，所以4a >-时，有1n n b b +>.…………12分 20.【解析】〔1
〕由直线2y =+与圆222x y b +=相切，得1b =.
由c a
=222a b c =+，得2a =. 所以椭圆C 的方程为2
21
4x y +=.…………5分
〔2〕设11()P x y ，，22()T x y ，，12x x ≠，
那么直线PT 的方程为
122212()y y y y x x x x --=--. 令0y =，得122112221212x x x y x y x x y y y y y --=-=--，所以211212x y x y OM y y -=-. 因为P 、Q 两点关于x 轴对称，所以11()Q x y -，. 同理可得211212x y x y ON y y --=
--， 所以222221122112211222121212x y x y x y x y x y x y OM ON y y y y y y ----⋅=⋅=----. 因为221114x y +=，222214x y +=，所以22114(1)x y =-，
22224(1)x y =-， 从而2222222221122112222212124(1)4(1)4x y x y y y y y OM ON y y y y ----⋅===--为定值.…13分
21.【解析】〔1〕
32()()()(3)(2)()F x f x f x x b x c b x d c '=-=+-+-+-. 因为()F x 为奇函数，所以()()0F x F x +-=恒成立，得
22(3)2()0b x d c -+-=，R x ∈.所以3b =，d c =.
又(1)F t =，所以1(6)c t +-=，故5d c t ==+.
所以3()(1)F x x t x =+-，
2()3(1)F x x t '=+-.…………3分 ①当1t ≥时，()0F x '≥，从而()F x 在()-∞+∞，上单调递增，无极值；
②当1t
<时， 221113(1)0333t t t x t x x ---+-<⇔<⇔-<<，
所以()F x 在1133t t ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝
⎭，上单调递减，在13t ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭，和13t ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 12()=(1)3(1)
39t F x F t t ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭极大，
12()=(1)3(1)39t F x F t t ⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭极小.………7分
〔2〕当26t =-时，3()27F x x x =-，根据〔1〕可知()F x 在()33-，上单调递减，在()
3-∞-，和()3+∞，上单调递增，
()()354
F x F =-=极大，()()354F x F ==-极小. 作函数()y F x =的图象，如下列图.
由图可知当5454m -<
<时， 方程()F x m =有三个不同的实数解.
…………14分。