《高等代数》数分高代定理大全

数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的(),()q x r x 是唯一决定的.
定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.
定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式
()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.
定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.
定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .
定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由
()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .
因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
1212()()()
()()()
(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式
的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2,
,)i c i s =是一些非零常数.
定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的
1k -重因式.
定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.
定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.
定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数
121,,n ααα+有相同的值，即()(),1,2,
1,i i f g i n αα==+那么()()f x g x =.
代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.
复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=++
+是一个整系数多项式，而r
s
是它的有理
根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.
定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++是
一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得
1.|n p a /
； 2.120|,,,n n p a a a --；
3.20|p a /
那么()f x 在有理数域上是不可约的.
第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 定理 2 任意一个n 级排列与排列12
n 都可以经过一系列对换互变，并且所作
对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
定理 3 设11
121212221
2
n n n n nn
a a a a a a d a a a =
，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成
立：
1122,,
0,.k i k i kn in d k i a A a A a A k i =⎧++
+=⎨
≠⎩当当 1122,,
0,.l j l j nl nj d j a A a A a A j =⎧++
+=⎨
≠⎩
当l 当l 定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组
1111221121122222
1122,
,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 的系数矩阵11
12121
2221
2
n n n n nn a a a a
a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的行列式0d A =≠，
那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
1212,,,,n
n d d d x x x d d
d
=
==
其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,n b b b 所成的行列式，即
1,11,111112,12,12122,1,1
1
,1,2,,.j j n j j n j n j n j n n nn
a a a
b a a a a b a d j n a a a b a -+-+-+=
=
定理 5 如果齐次线性方程组
1111221211222211220,0,0
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩
的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.
定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .
定理 7 两个n 级行列式11
1212122211
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =
和1112121222212
n n n n nn
b b b b b b D b b b =
的
乘积等于一个n 级行列式111212122
212
n n n n nn
c c c c c c C c c c =
，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与
2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++.
第三章
定理 1 在齐次线性方程组
1111221211222211220,
0,0
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩ 中，如果s
n ，那么它必有非零解.
定理 2 设12
,,
r 与1,,,r 2是两个向量组，如果
1）向量组12,,r 可以经1,,,
r 2线性表出，
2）r
s ，
那么向量组12
,,r 必线性相关.
定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n 矩阵
1112121
2221
2
n n n n nn a a a a
a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .
定理 6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一个r
级子式不为零，同时所有1r
级子式全为零.
定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组
1111221121122222
1122,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩有解的充分必要条件为它的系数矩阵11
12121
2221
2
n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与增广矩阵1112
112122
2212
n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
有相同的秩。

定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n
r ，这里r 表示系数矩阵的秩.
定理 9 如果0r 是方程组1111221121122222
1122,,n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的一个特解，那么该方
程组的任一个解
r
都可以表成0
r
r ，其
中是导出组
1111221211222211220,0,0n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⎪⎪+++=⎩的一个解.因此，对于方程组的任一个特解0r ，当取遍 它的导出组的全部解时，0
r
r 就给出本方程组的全部解.
第四章
定理 1 设,A B 是数域P 上的两个n n 矩阵，那么AB A B
，即矩阵的乘
积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
定理 2 设A 是数域P 上n m 矩阵，B 是数域P 上m s 矩阵，于是
,秩（AB ）min[秩（A ）秩（B ）]，即乘积的秩不超过各因子的秩.
定理 3 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而 1
1
(0)A
A d A
d
.
定理 4 A 是一个s n 矩阵，如果P 是s s 可逆矩阵，Q 是n n 可逆矩阵，
那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).
定理 5 任意一个s
n 矩阵A 都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵A 的标
准形，主对角线上1的个数等于A 的秩（1的个数可以是零）.
定理 6 n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： 12
m A
Q Q Q
第五章
定理 1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
22211
22
n n d x d x d x .
定理 2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。

定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。

定理 5 （1）任一复对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵;
,其中，对角线上1的个数r
等于A 的秩.
（2）任一实对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵： ，其中对角线上1的个数p 及-1的个数r p （r 是A 的秩）都是唯一确定的，
分别称为A 的正、负惯性指数.它们的差2p
r 称为A 的符号差.
定理 6 n 元实二次型1,2,(,)n f x x x 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于
n
.
定理 7 实二次型
1,2,11
(,)
n
n
n ij i j
i j f x x x a x x X AX
是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零. 定理 8 对于实二次型1(,,)n f x x X AX '=，其中A 是实对称的，下列条件等价：
（1）
1(,,)n f x x 是半正定的，
（2）它的正惯性指数与秩相等， （3）有可逆实矩阵C ，使
12
n d d
C AC d ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
其中，0,1,2,,,i
d i n ≥=
（4）有实矩阵C 使A C C '=，
（5）A 的所有主子式皆大于或等于零.
第六章
定理 1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量12,,n ααα，且V 中任一向量
都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而12,,
n ααα就是V 的一组基.
定理 2 如果线性空间V 的非空子集合W 对于V 的两种运算是封闭的，那么W 就是一个子空间.
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2）
12(,,)r L ααα的维数等于向量组12,,r ααα的秩.
定理 4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，12,,m ααα是W 的一
组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到n m -个向量12,,
,m m n ααα++，使得12,,n ααα是V 的一组基.
定理 5 如果12,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交12V V 也是V 的子空间.
定理 6 如果12,V V 是V 的子空间，那么它们的和12V V +也是V 的子空间. 定理 7 （维数公式）如果12,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 维（1V ）+维（2V ）=维（12V V +）+维（12V V ）. 定理 8 和12V V +是直和的充分必要条件是等式
120,
(1,2)i i V i ααα+=∈=
只有在i α全为零向量时才成立.
定理 9 设12,V V 是V 的子空间，令12W V V =+，则12W V V =⊕的充分必要条件为 维（W ）=维（1V ）+维（2V ）.
定理 10 设U 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间W 使 V U W =⊕.
定理 11 12,,,s V V V 是V 的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1）i W V =∑是直和；
2）零向量的表法唯一； 3）{}0i
j j i
V V ≠=∑ (1,2,
,)i s =；
4）维（W ）=i ∑维（V ）.
定理 12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
第七章
定理 1 设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基，12,,n ααα是V 中任意n 个向量.存在
唯一的线性变换A 使,1,2,,i i i n εαA ==.
定理 2 设12,,,n εεε是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个n n ⨯矩阵.这个对应具有以下的性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理 3 设线性变换A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，向量ξ在基12,,,n εεε下的坐标是12(,,,)n x x x ，则ξA 在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n y y y 可以按公式
112
2n n y x y x A y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
计算.
定理 4 设线性空间V 中线性变换A 在两组基 12,,,n εεε （6）
12,,
,n ηηη （7）
下的矩阵分别为A 和B ，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是X ，于是1B X AX -=. 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 定理 6 相似的矩阵有相同的特征多项式.
哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理 设A 是数域P 上一个n n ⨯矩阵，
()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则
11122()()(1)n n n nn f A A a a a A A E O -=-++++
+-=.
定理 7 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A 有n 个线性无关的特征向量. 定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 9 如果1,,k λλ是线性变换A 的不同的特征值，而1,,i
i ir αα是属于特征值i λ的
线性无关的特征向量，1,,i k =，那么向量组1
1111,,,,,,k
r k kr αααα也线性无关.
定理 10设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，在这组基下A 的矩阵是A ，则
1）A 的值域V A 是由基像组生成的子空间，即 12(,,,)n V L εεεA =A A A . 2）A 的秩A =的秩.
定理 11 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则V A 的一组基的原像及1(0)-A 的一组基合起来就是V 的一组基.由此还有 A 的秩+A 的零度n =.
定理 12 设线性变换A 的特征多项式为()f λ，它可分解成一次因式的乘积
12
12()()()()s r r r s f λλλλλλλ=---.
则V 可分解成不变子空间的直和 12s V V V V =⊕⊕⊕ ， 其中{}|()0,i
r i i V V ξλεξξ=A -=∈.
定理 13 设A 是复数域上线性空间V 的一个线性变换，则在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
定理 14 每个n 级复矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似.
定理 15 数域P 上n 级矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.
第八章
定理 1 一个
n n ⨯的-矩阵()A 是可逆的充分必要条件为行列式()A 是一个非零的数.
定理 2 任意一个非零的s n 的-矩阵()A 都等价于下列形式的矩阵 其中1,()(1,2,,)i r
d i
r 是首相系数为1的多项式，且
1()|()i i d d ，(i=1,2,,r-1).
定理 3 等价的-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 定理 4 -矩阵的标准形是唯一的.
定理 5 两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
定理 6 矩阵()A 是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 定理 7设,A B 是数域P 上的两个n n 矩阵.A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E
A 和E
B 等价.
定理 8 两个同级复数矩阵B 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子. 定理 9 首先用初等变换化特征矩阵E
A 为对角形式，然后将主对角线上的元
素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A 的全部初等因子.
定理 10 每个n 级矩阵的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.
定理 11设A 是复数域上线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.
定理 12 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的初等因子全为一次的.
定理 13 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的不变因子都没有重根.
定理 14 数域P 上n n 方阵A 在P 上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.
定理 15设A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定，称为A 的有理标准形.
第九章
定理 1 n 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.
定理 2 对于n 维欧式空间中任意一组基12,,,n εεε，都可以找到一组标准正交基
12,,,n ηηη，使1212,,,,,()(),1,2,,,n n L L i
n .
定理 3 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.
定理 4设A 是n 维欧式空间V 的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的：
（1）A 是正交变换；
（2）A 保持向量的长度不变，即对于,
V ；
（3）如果12,,,n εεε是标准正交基，那么
12n ，
，
，
也是标准正交基；
（4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 定理 5 如果子空间12,,,s V V V 两两正交，那么和1
2s V V V 是直和.
定理 6 n 维欧式空间V 的每一个子空间1V 都有唯一的正交补.
定理 7 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使
1T AT
T AT 成对角形.
定理 8 任意一个实二次型
11
,n n
ij i j ij
ji i j a x x a a
都可以经过正交的线性替换变成平方和 2
2
211
22
n n
y y y ，
其中平方项的系数12,,,n 就是矩阵A 的特征多项式全部的根.
第十章
定理 1 设V 是P 上一个n 维线性空间，12,,,n εεε是V 的一组基，12,,,n a a a 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使 ()
,1,2,,i i f a i
n .
定理 2 (
,)L V P 的维数等于V 的维数，而且12,,,n f f f 是(,)L V P 的一组基.
定理 3 设12,,,n εεε及12,,,n ηηη是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为
12,,,n f f f 及12,,,n g g g .如果由12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵为A ，那么由12,,,n f f f 到12,,,n g g g 的过渡矩阵为1()A .
定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射
是一个同构映射. **x
x
定理 5 设V 是P 上n 维线性空间，(,)f 是V
上对称双线性函数，则存在V 的
一组基12,,,n εεε，使(
,)f 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
《数学分析》
第一、二章
定理1.1（确界原理）设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下
界，则S 必有下确界. 定理2.1 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是：{}n a a -为无穷小数列. 收敛数列的性质：
定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.
定理 2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使
得对一切正整数n 有n a M ≤.
定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞
=>（或0<），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），
存在正数N ，使得当n N >有n a a '>（或n a a '<）.
定理2.5（保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.存在正数0N ，使0n N >时
有n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞
→∞
≤.
定理2.6（迫敛性）设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在
正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=.
定理2.7（四则运算法则）若{}n a 与{}n b 收敛，则数列{}n n a b +，{}n n a b -，{}
n n a b ⋅也都是收敛数列，且有
lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
±=±
lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞
→∞
→∞
⋅=⋅
特别当n b 为常数c 时有
lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+，lim lim n n n n ca c a →∞
→∞
=.
若在假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则
n n a b 也是收敛数列，且有lim lim lim n n n n n n n
a
a b b →∞→∞→∞=.
定理2.8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理2.10（柯西收敛法则）数列{}n a 收敛的充要条件是：对任何给定的0ε<，存在正整数N ，使得当,n m N >时有n m a a ε-<.
第三章
定理3.1 0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.
函数极限的性质：
定理3.2（唯一性）若极限0
lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.
定理3.3（局部有界性）若0
lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.
定理3.4（局部保号性）若0
lim ()0x x f x A →=>（或0<），则存在任何正数r A <（或
r A <-）存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.
定理3.5(保不等式性)设0
lim ()x x f x →与0
lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)x U x δ∈有
()()f x g x ≤,则0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.
定理3.6（迫敛性）设0
lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某00(;)x U x δ∈内有
()()()f x h x g x ≤≤，则有0
lim ()x x h x A →=.
定理3.7（四则运算法则）若极限0
lim ()x x f x →与0
lim ()x x g x →都存在，则函数f g ±，f g
⋅当0x x →时极限也存在，且
1）0
lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±；
2）0
lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=⋅；
又若0
lim ()0x x g x →≠，则f g 当0x x →存在，且有
3）0
00
()
lim
lim ()lim ()()x x x x x x f x f x g x g x →→→=.
定理3.8（归结原则）设f 在00(;)x U x δ'∈内有定义. 0
lim ()x x f x →存在的充要条件
是：对任何含于00(;)x U x δ'∈内且以0x 为极限的数列{}n x ，极限
lim ()n x x f x →都存在且相等.
定理3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域00()U x +有定义. 0
lim ()x x f x A +→=的充要
条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +⊂，有
lim ()n n f x A →∞
=.
定理3.10 设f 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则右极限0
lim ()x x f x +→存在.
定理3.11（柯西准则）设函数f 在00(;)U x δ'内有定义. 0
lim ()x x f x →存在的充要条
件是：任给0ε>，存在正数δ（δ'<），使得对任何x '，x ''00(;)U x δ∈<有|()()|f x f x ε'''-<.
定理3.12 设函数,,f g h 在00()U x 内有定义，且有
0()~()()f x g x x x →.
（i ）若0
lim ()()x x f x h x A →=，则0
lim ()()x x g x h x A →=；
（ii ）若0
()lim
()
x x h x B f x →=,则0()
lim ()x x h x B g x →=.
定理3.13（i ）设f 在00()U x 内有定义且不等于0.若f 为0x x →时的无穷小量，
则
1
f
为0x x →时的无穷大量. （ii ）若g 为0x x →时的无穷大量，则1
g
为0x x →时的无穷小量.
第四章
定理4.1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右联系，又是左联系. 连续函数的性质：
定理4.2（局部有界性）若函数f 在点0x 连续，则f 在某0()U x 内有界. 定理4.3（局部保号性）若函数f 在点0x 连续，则0()0f x >（或0<），则对任何
正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有
()f x r >（或()f x r <-）.
定理4.4（四则运算）若函数f 和g 在点0x 连续，则f g ±，f g ⋅，f g （0()0g x ≠）
也都在点0x 连续.
定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数g f 在
点0x 连续.
定理4.6（最大、最小值定理）若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上
有最大值和最小值.
定理4.7（介值性定理）设函数f 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠.若u 为
介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a u f b <<或
()()f a u f b >>），则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x u =.
定理 4.8 若函数f 在[],a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域
[](),()f a f b 或[](),()f b f a 上连续.
定理4.9（一致连续性定理）设函数f 在闭区间[],a b 上连续则f 在[],a b 上一致
连续.
定理4.10 设0a >，α，β为任意实数，则有,()a a a a a αβαβαβαβ+⋅==. 定理4.11 指数函数x a （0a >）在R 上是连续的. 定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数.
定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.
第五章
定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续.
定理5.2 若函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，则0()f x '存在的充要条件
是0()f x +'与0()f x -'都存在，且00()()f x f x +-''=.
定理5.3（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导.若点0
x 为f 的极值点，则必有0()0f x '=.
定理5.4（达布定理）若函数f 在[],a b 上可导，且()()f a f b +-''≠，k 为介于()f a +'，
()f b -'之间任一实数，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f k ξ'=.
定理 5.5 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 可
导，且
000()()()f x u x v x '''=±.
定理5.6 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =⋅在点0x 可导，
且00000()()()()()f x u x v x u x v x '''=+.
定理5.7 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，且0()0v x ≠，则()
()()
u x f x v x =
在点0x 可导，且000002
0()()()()
()[()]
u x v x u x v x f x v x ''-'=
. 定理 5.8 设()y f x =为()x y ϕ=的反函数，若()y ϕ在点0y 的某邻域内连续，严
格单调且0()0y ϕ≠，则()f x 在点0x （00()x y ϕ=）可导，且
001
()()f x y ϕ'=
'
. 定理5.9 设()u x ϕ=在点0x 可导，()y f u =在点00()u x ϕ=可导，则复合函数f ϕ
在点0x 可导，且00000()()()()(())()f x f u x f x x ϕϕϕϕ'''''==.
定理 5.10 函数f 在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导，而且
()y A x x ο∆=∆+∆中的A 等于0()f x '.
第六章
定理6.1（罗尔中值定理）若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续； （ii ）f 在开区间(),a b 内可导； （iii ）()()f a f b =，
则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=. 定理6.2（拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续； （ii ）f 在开区间(),a b 内可导； 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()
()f b f a f b a
ξ-'=
-.
定理6.3 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是
()0f x '≥（0≤）.
定理6.4 若函数f 在(),a b 内可导，则f 在(),a b 内严格递增（递减）的充要条件
是：
（i ）对一切(),x a b ∈，有()0f x '≥（()0f x '≤）； （ii ）在(),a b 内的任何子区间上()f x '不恒为0. 定理6.5（柯西中值定理）设函数f 和g 满足 （i ）在[],a b 上都连续； （ii ）在(),a b 内都可导；
（iii ）()f x '和()g x '不同时为零； （IV ）()()g a g b ≠， 则存在(),a b ξ∈，使得()()()
()()()
f f b f a
g g b g a ξξ'-='-. 定理6.6 若函数f 和g 满足：
（i ）0
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；
（ii ）在点0x 的某空心邻域0()U x ︒内两者都可导，且()0g x '≠； （iii ）0
()
lim
()
x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0
0()()lim
lim ()()
x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 定理6.7 若函数f 和g 满足：
（i ）0
lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞；
（ii ）在0x 的某右邻域00()U x +内两者都可导，且()0g x '≠； （iii ）0
()
lim
()
x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0
0()()
lim lim ()()
x x x x f x f x A g x g x +
+→→'=='. 定理6.8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则0()()(())n n f x T x x x ο=+-，即
()200000000()
()()()()()()()(())
2!
!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-+
+-+-
定理6.9 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在()
,a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的[]0,,x x a b ∈，至少存在一点
(),a b ξ∈，使得
()(1)21
00000000()
()()()()()()()()()2!!(1)!
n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-+
+-+-+定理6.10（极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某邻域00(;)U x δ内可导. （i ）若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f
在点0x 取得极小值.
（ii ）若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则
f 在点0x 取得极大值.
定理6.11（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内存在一阶可导，
在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠.
（i ）若()0f x ''<，则f 在点0x 取得极大值. （ii ）若()0f x ''>，则f 在点0x 取得极小值.
定理6.12（极值的第三充分条件）设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导函数，
在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,
,1)k f x k n ==-，()0()0n f x ≠则
（i ）当n 为偶数时，f 在点0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取得极大
值，()0()0n f x >时取得极小值.
（ii ）当n 为奇数时，f 在点0x 处不取得极值. 定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述判断互相等价： 1︒ f 为I 上的凸函数； 2︒ f '为I 上的增函数；
3︒ 对I 上的任意两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-. 定理6.14设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要
条件是()0f x ''≥（()0f x ''≤），x I ∈.
定理 6.15 若f 在0x 二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点的必要条件
是()0f x ''=.
定理 6.16 设f 在0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导.若在0()U x +和0()U x -上
()f x '' 的符号相反，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.
第七章
定理7.1（区间套定理） 若[]{},n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的
一点ξ，使得[],n n a b ξ∈，1,2,
,n =即n n a b ξ≤≤，1,2,
,n =
定理7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚
点. 定理7.3（海涅-博雷尔有限覆盖定理）设H 为闭区间[],a b 的一个（无限）开覆
盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[],a b .
有界性定理 若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有界.
最大、最小值定理 若函数f 在区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值和最
小值.
介值性定理 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠.若u 介于()f a 与
()f b 之间的任意实数（()()f a u f b <<或()()f a u f b >>），则存在
()0,x a b ∈，使得0()f x u =.
一致连续性定理 若函数f 在区间[],a b 上连续，则f 在区间[],a b 上一致连续.
第八章
定理8.1 若函数f 在区间I 上的连续,则f 在I 上存在原函数
F ,()(),F x f x x I '=∈.
定理8.2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则
（i ）F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；
（ii ）f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数. 定理8.3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，12,k k 为两个任意常数，则
12k f k g
+在
I
上
也存
在原函数，且
1
2
1
2
[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰.
定理 8.4（换元积分法）设()g u 在[],αβ上有定义，()u x ϕ=在[],a b 上可导，且
()x αϕβ≤≤，[],x a b ∈，并记()(())()f x g x x ϕϕ'=.
（i ）若()g u 在[],αβ存在原函数()G u ，则()f x 在[],a b 也存在原函数
()F x ，()(())F x G x C ϕ=+
即()(())()()()(())f x dx g x x dx g u du G u C G x C ϕϕϕ'===+=+⎰⎰⎰. （ii ）又若()0x ϕ'≠，[],x a b ∈，则上述命题（i ）可逆，即当()f x 在[],a b 存在原函数()F x 时，()g u 在[],αβ也存在原函数()G u ，且
1()(())G u F u C ϕ-=+，
即1()(())()()()(())g u du g x x dx f x dx F x C F u C ϕϕϕ-'===+=+⎰⎰⎰.
定理8.5 （分部积分法）若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '⎰存在，则
()()u x v x dx '⎰ 存在，并有()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰.
第九章
定理9.1 若函数f 在[],a b 上连续，且存在原函数F ，即()()F x f x '=，[],x a b ∈，
则f 在[],a b 可积，且()()()b
a f x F
b F a =-⎰.
定理9.2 若函数f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上必定有界.
定理9.3（可积准则）函数f 在[],a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在
相应一个分割T ，使得()()S T s T ε-<.
定理9.4 若f 为[],a b 上的连续函数，则f 在[],a b 上可积.
定理9.5 若f 为区间[],a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[],a b 上可
积.
定理9.6若f 为[],a b 上的单调函数，则f 在[],a b 上可积.
定理9.7（积分第一中值定理）若f 为[],a b 上的连续函数，则至少存在一点
[],a b ξ∈，使得()()()b
a f x f
b a ξ=-⎰.
定理9.8（推广的积分第一中值定理）若f 与g 都在[],a b 上连续，且()g x 在[]
,a b 上不变号，则至少存在一点[],a b ξ∈，使得
()()()()b
b
a
a
f x
g x dx f f x dx ξ==⎰
⎰.
定理9.9 若f 在[],a b 上可积，则()()x a
x f t dt Φ=⎰定义的Φ在[],a b 上连续. 定理9.10（原函数存在定理）若f 在[],a b 上连续，则()()x
a x f t dt Φ=⎰定义的Φ在
[],a b 上处处可导，且[]()()(),,x
a d x f t dt f x x a
b dx 'Φ==∈⎰.
定理9.11（积分第二中值定理）设函数f 在[],a b 上可积.
（i ）若函数g 在[],a b 上减，且()0g x ≥，则存在[],a b ξ∈，使得
()()()()b
a
a
f x
g x dx g a f x dx ξ
=⎰⎰.
（ii ）若函数g 在[],a b 上增，且()0g x ≥，则存在[],a b η∈，使得
()()()()b b
a
f x
g x dx g b f x dx η
=⎰
⎰
定理9.12（定积分换元积分法）若f 在[],a b 上连续，ϕ在[],αβ上连续可微，
且满足()a ϕα=，()b ϕβ=，()a t b ϕ≤≤，[],t αβ∈则有定积分换元公式：()(())()b
a f x dx f t t dt β
α
ϕϕ'=⎰⎰.
定理9.13（定积分分部积分法）若()u x ，()v x 是[],a b 上的连续可微函数，则定
积分分部积分公式：()()()()|()()b
b
b a a
a
u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰.
第十、十一章
定理10.1 设曲线C 有参数方程[](),(),,x x t y y t t αβ==∈给出.若C 为一光滑曲
线，则C 是可求长的，且弧长为s β
α
=⎰
.
定理11.1 无穷积分()a
f x dx ∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要
12,u u G >，就有
2
1
2
1
()()()u u u a
a
u f x dx f x dx f x dx ε-=
<⎰
⎰⎰
.
定理11.2 （比较法则）设定义在[,)a +∞上的两个函数f 和g 都在任何有限区间
[],a u 上可积，且满足()(),[,)f x g x x a ≤∈+∞，则当()a g x dx +∞
⎰收敛
时()a
f x dx +∞⎰
必收敛（或者，当()a
f x dx +∞
⎰
发散时，()a
g x dx +∞
⎰
必
发散）.
定理11.3（狄利克雷判别法）若()()u
a
F u f x dx =⎰在[,)a +∞上有界，()g x 在[,)
a +∞上当x →+∞时单调趋于0，则()()a
f x
g x dx +∞
⎰
收敛.
定理11.4（阿贝尔判别法）若()a
f x dx +∞⎰
收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则
()()a
f x
g x dx +∞
⎰
收敛.
定理11.5 瑕积分()b a
f x dx ⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是：任给0ε>，存在
0δ>，
只要
12,(,)
u u a a δ∈+，总有
2
1
1
1
()()()b
b u u u u f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰
⎰⎰
.
定理11.6（比较法则）设定义在(,]a b 上的两个函数f 与g ，瑕点同时为x a =，
在任何[],(,]u b a b ⊂上都可积，且满足()()f x g x ≤，(,]x a b ∈则当
()b
a
g x dx ⎰收敛时，()a
f x dx +∞
⎰
必收敛（或者，当()a
f x dx +∞
⎰
发散时，
()a
g x dx +∞
⎰
必发散）.。