浙江省温州市“十五校联合体”1617学年度高二下学期期

浙江省温州市“十五校联合体”
2016—2017学年度下学期期中联考
高二数学试题
考生须知：
1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2．考生答题前，须将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3．选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净
4．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效。

选择题部分 (共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数与都是纯虚数（其中为虚数单位），则（▲）
A. B. C. D. 1
2．设，“”是“”的（▲）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.在复平面内复数、对应的点分别为、，若复数对应的点为线段的中点，为复数的共轭复数，则的值为（▲）
A. B. C. D.
4．设常数，若的二项展开式中的常数项，则的值为（▲）
A. 2
B.
C. 1
D.
5.给出下列四个命题：①已知向量是非零向量，若，则.
②定义域为的函数在及上都是增函数，则在上是增函数.
③命题“若，则方程有实根”的逆否命题为：“若方程无实根，则”.
④命题“若实数满足，则”的否命题是假命题．
其中真命题的个数有（▲）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6．设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中含项的系数为（▲）
A. 40
B. 30
C.20
D. 15
7．已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（▲）
A．B．
C．D．
8. 某高中举办“情系母校”活动，学校安排6名大学生到高一年级A，B，C三个班级参加活动，每个班级安排两名同学，若甲同学必须到A班级，乙和丙同学均不能到C班级，则不同的安排方法种数为（▲）
A．12 B．9 C．6 D．5
9.设是一个三次函数，为其导函数，如图所示的是的图像的一部分，则的极大值与极小值的分别是（▲）
A．与B．与
C．与D．与
10．已知函数（为自然对数的底数），()1,(R)g x mx m =+∈，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（▲）
A . ()22,11,e e ⎤⎡-∞--+∞⎦⎣
B .
C . ()22,11,e
e --⎤⎡-∞--+∞⎦⎣ D .
非选择题部分 (共110分)
二、 填空题: 本大题共7小题, 多空题每小题6分, 单空题每小题4分,共36分．
11. 已知复数1121
i 2i,22i z z z z +=+=-（为虚数单位），则 ▲ ；复数的模是 ▲ ． 12.在G20杭州峰会期间， 甲和乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 ▲ ． 13.已知函数()sin ()cos 2
f x x f x π
'=-，若，则 ▲ ． 14．设复数（其中是虚数单位，），若复数在复平面上对应的点位于第三象限，则的取值范围是 ▲ ；复数的模的取值范围是 ▲ ．
15.某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校，则这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的概率为 ▲ .
16.若将函数表示为21001210()(1)(1)(1)f x a a x a x a x =+++++++，
其中，，则01210a a a a ++++= ▲ ；01210a a a a ++++= ▲ .
17.市内某公共汽车站有7个候车位(成一排), 现有甲，乙，丙，丁，戊5名同学随机坐在某个座位上候车,则甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为 ▲ ；（用数字作答）3位同学相邻，另2位同学也相邻，但5位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为 ▲ .（用数字作答）
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． (本小题满分14分)一个口袋中装有个红球（且）和个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖．
（Ⅰ）若一次摸两个球，其中奖的概率为，求的值；
（Ⅱ）若一次摸一个球，记下颜色后，又把球放回去。

当时，求二次摸球中奖的概率.
19.(本小题满分15分) 一个口袋里有分别标上数字1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张卡片，其中标上数字1，2的卡片是红色的，标上数字3，4，5的卡片是黄色的，标上数字6，7，8，9的卡片是蓝色的。

从口袋里任抽三张卡片，组成数字不重复的三位数，由这些三位数构成集合。

（Ⅰ）求从集合中随机抽取一个数，其各位数字的颜色只有两种的概率；
（Ⅱ）求从集合中随机抽取一个数，其各位数字的颜色互不相同且是偶数的概率。

20.(本小题满分15分)已知函数21()32ln 2
f x x x x a =-++. （Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上恰有一个零点，求实数取值范围。

21.（本小题满分15分）设数列的前项和为，且满足2*(1),n n n a S S n N =-∈．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）猜想关于的表达式，并用数学归纳法加以证明．
22．（本小题满分15分）已知函数()ln (0,R)f x a x x x a =+>∈．
(Ⅰ) 当时，求函数图象在点处的切线方程；
(Ⅱ) 若存在，使不等式对于恒成立，求的取值范围．
2016学年第二学期温州“十五校联合体”期中考试联考
高二年级数学 B卷(参考答案)
选择题部分(共40分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1.答案A.解：因为复数是纯虚数，故可设，其中.
则，由是纯虚数，
得，得，.
2．答案B。

解析：由，得，解得，故选B。

3.答案C.解：由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，
则，从而。

4．答案A.解析：展开式的通项公式为，
令，得，则常数项为，解得.
5.答案B. 解析：若，则向量同向，所以，故命题①是真命题.
命题②是假命题，例在及上都是增函数，但在上不是增函数.命题③显然是真命题.
命题“若实数满足，则”的否命题是“若实数满足，则”，因为，则，从而也有，即命题“若实数满足，则”的否命题是真命题，即命题④是假命题，故选B.
6．答案D.解析：由，得。

，令，得。

故展开式中含项的系数为。

7.答案D.解：由，得.由，
得.依题意有，
即得，得，故选D.
8.答案B.解析：从甲、乙、丙之外的三个同学中选两位同学到C班级有种不同的安排方法，再从甲之外的三个同学中选一位同学到A班级有种不同的安排方法，总共有种不同的安排方法。

9.答案A.解：由图像知，时，；时，；时，；时，。

所以在区间上为增函数，在区间上为减函数，
在区间上为增函数，故选A.
10.答案 A.解：，在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，又，则函数在区间上的值域为.
当时，函数在区间上的值域为.
依题意有，则有，得.
当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.
当时，函数在区间上的值域为.
依题意有，则有，得.
综合有实数的取值范围为.
非选择题部分(共110分)
二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每小题6分, 单空题每小题4分,共36分．
11.答案，。

解析：；。

12.答案。

解析：甲和乙在同一岗位服务的概率为，故甲和乙不在同一岗位服务的概率为。

13.答案解：，，
.
14．答案，.解析：，复数在复平面上对应的点为，则有，得.
，又，，
则，即复数的模的取值范围为。

15.答案.解：因为每名学生都有3种报考方法，则5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为种。

而三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的方式有两种情形：
第一种：三所高校报名人数为3人，1人，1人，报考方法共有种。

第二种：三所高校报名人数为2人，2人，1人，报考方法共有种。

而三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的不同方法种数共有150种，
故所求概率。

16.答案0，1024（或）.解：令，则有，取，得
.展开式的通项为，，，则，取，
得.
17.答案480，720.解析：甲，乙相邻用捆梆法有种，然后从4个位置中选两个安排甲，乙，戊有种排法，最后用插空法安排丙，丁2人，即从5个空档中插入2人，有种.故甲，乙相邻且丙，丁不相邻的不同的坐法种数为。

3人相邻另2人也相邻，但5位同学不能坐在一起，即要把5人分成3，2两组，每组的人要相邻，两组的人要互不相邻，先捆梆有种，把两组排列有种，再把两个空位插入有3种，共有
.
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解：（Ⅰ）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，
其中两球不同色有种，………………………3分
一次摸奖中奖的概率．………………………6分
由，得或. ………………………8分
（Ⅱ）若，二次摸奖（每次摸球后放回）中奖的概率是
．………………………13分
答：二次摸球（每次摸球后放回）中奖的概率为………………………14分19.解：（Ⅰ）记“三位数字的颜色是两红一黄或两红一蓝”的事件为，
则.………………………2分
记“三位数字的颜色是两黄一红或两黄一蓝”的事件为，
则.………………………4分
记“三位数字的颜色是两蓝一红或两蓝一黄”的事件为，
则.………………………6分
而事件，，是互斥事件，
则其各位数字的颜色只有两种的概率为
………………………7分
（Ⅱ）记“三位数字的颜色互不相同且是偶数”的事件为，
记“含有个偶数数字，且三位数字的颜色各异的偶数”的事件为。

则，且互斥。

因，………………………9分
，………………………11分。

………………………13分
，
故从集合中随机抽取一个数，其三位数字的颜色各异且是偶数的概率为。

……15分
20.解析：（Ⅰ），………………………2分
故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
在区间上为增函数. ………………………4分
所以函数的极大值为；………………………6分
函数的极小值为. ………………………8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，，………………………9分
当时，。

………………………10分
要使函数在区间上恰有一个零点，则或，……………14分
得，或。

………………………15分
21．解：(Ⅰ)当时，有，
即，得．………………3分
当时，有，
得，得．………………6分
(Ⅱ) 当时，有，从而有，
即有当时，，从而有.
由此猜想．………………10分
下面用数学归纳法证明这个结论．
(ⅰ)时，已知结论成立．………………11分
(ⅱ)假设时结论成立，即.………………12分
当时，由上可知，
故时结论也成立．………………14分综上，由(ⅰ)、(ⅱ)可知对所有正整数都成立．………………15分22．解：(Ⅰ) 当时，，
，则，则切线斜率为. ………………………3分
又，切线方程为，即.
故函数图象在点处的切线方程为.………………………5分
(Ⅱ) 不等式，即，
因为，故存在，使不等式对于恒成立，
即对于恒成立．
即对于恒成立．………………………7分
设，
则．………………………8分当时，有，则函数在区间上为增函数，
则有，得，
因为，得，
即，故．………………………10分
当时，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，
则有，得，故．………………………12分
当时，函数在区间上为减函数，
则，得，则，………………………14分
综合有．……………………… 15分
(Ⅱ)另解：不等式，即，
因为，故存在，使不等式对于恒成立，
即对于恒成立．
即对于恒成立．
即对于恒成立．………………………7分
设，则，
当时，有，则在区间上为增函数，
故．………………………9分
从而有对于恒成立．………………………10分
设，
则……………11分
因为，则且，故．
则在区间上为增函数，
故在区间上的最大值为，………………………14分
从而有．………………………15分。