【新教材选择性必修第一册】高二数学周计划高效训练第09周 抛物线(解析版)

第09周 抛物线
一．选择题
1．抛物线2
y ax =（其中0)a >的焦点坐标是 A ．(,0)4
a
B ．(0,)4
a
C ．1
(
,0)4a
D ．1(0,
)4a
【答案】D
【解析】整理抛物线方程得21x y a =
，1
2p a
=
∴焦点坐标为1
(0,
)4a
故选D ．
2．已知抛物线的准线方程是1
2
x =-，则其标准方程是 A ．22x y = B ．22y x =
C ．22x y =-
D ．22y x =-
【答案】B
【解析】抛物线的准线方程是1
2
x =-，
∴抛物线的开向右，可设方程为22(0)y px p =>
1
22
p -
=-，1p ∴=，得22p = 因此，得到抛物线的标准方程为：22y x = 故选B ．
3．抛物线2
30x y +=的准线方程为 A ．3
4
x =
B ．3
2
x =-
C ．34y =
D ．3
2
y =-
【答案】C
【解析】抛物线230x y +=即：23x y =-的准线方程为：3
4
y =． 故选C ．
4．抛物线方程为2
4x y =，动点P 的坐标为(1,)t ，若过P 点可以作直线与抛物线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则直线AB 的斜率为
A ．
12 B ．12
-
C ．2
D ．2-
【答案】A
【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，两点代入抛物线的方程：211
222
44x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减可得
1212
124
y y x x x x -+=
-， 而由题意可得12212x x +=⨯=，所以直线的斜率12121221
442
y y x x k x x -+====-， 故选A ．
5．若椭圆
22
1(0)2x y p p p
+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
【答案】C
【解析】由椭圆22
1(0)2x y p p p
+=>
，得c
∴
椭圆的焦点坐标为(0)
，0)，
抛物线的焦点坐标为(
2
p
，0)， ∴
2
p
=
，解得4p =， 故选C ．
6．抛物线2
2(0)x py p =>的焦点与双曲线
22
1169
x y -=的右焦点的连线垂直于双曲线的一条渐近线，则p 的值为 A ．
52
B ．
403
C ．
203
D
【答案】B
【解析】由双曲线的方程可得右焦点坐标为：(5,0)渐近线的方程为：340x y ±=，而由抛物线的方程的的坐标为(0,)2
p
，
所以两个焦点连线的斜率为：2510
p
p
=--，
由题意可得4103p -
=-，解得40
3
p =
，
故选B ．
7．已知P 为抛物线2
4y x =上一点，Q 为圆2
(6)1x y -+=上一点，则||PQ 的最小值为
A 1
B ．2
C ．1
D ．21-【答案】C
【解析】设点P 的坐标为21
(4m ，)m ，圆22(6)1x y -+=的圆心坐标(6,0)A ，
22222211
||(6)(16)2020416PA m m m ∴=-+=-+，
||25PA ∴，
Q 是圆22(6)1x y -+=上任意一点，
||PQ ∴的最小值为1，
故选C ．
8．抛物线216
x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为
A ．6
B ．2
C 1+
D 1+ 【答案】A
【解析】拋物线2
16
x y =的焦点为(0,4)F ，
圆22680x y x +-+=的圆心为(3,0)C ，半径1r =，
F 到圆C 6r =．
故选A ．
9．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(2,)A m 是抛物线C 上的一点，且||4AF =，则抛物线C 的方程是 A ．24y x = B ．28y x = C ．216y x = D ．232y x =
【答案】B
【解析】由题意可得||242
p
AF =+=，解得4p =， 则抛物线C 的方程是28y x =． 故选B ．
10．顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为 A ．28x y = B ．24x y = C ．28y x = D ．24y x =
【答案】A
【解析】顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为28x y =． 故选A ．
11．已知直线l 与抛物线2
6y x =交于A ，B 两点，直线l 的斜率为3，线段AB 的中点M 的横坐标为
1
2
，则||AB = A
B
C
D
【答案】B
【解析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，01(,)2
M y ，则2116y x =，2
2
26y x =， 两式相减得121212()()6()y y y y x x +-=-， 所以
121212
6
3y y x x y y -==-+，解得122y y +=，得01y =， 所以1(,1)2M ，得直线1
:32
l y x =-与26y x =，
联立得219904x x -+
=，则121x x +=，121
36
x x =
，
所以||AB =， 故选B ．
12．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于P ，
Q 两点，满足3PF FQ =，点P 在准线l 上的射影为M ，若PMF ∆
，则p =
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】如图所示，点P ，Q 在准线l 上的投影分别为M ，N ，PQ 的延长线交准线于点A ，
，
由抛物线的定义可设||||QF QN t ==，||||3PF PM t ==， 由~AQN APM ∆∆得||2AQ t =，所以3
APM π
∠=，
所以PMF ∆
故边长为2，所以||2PM =，
因为||3||AF t PF ==，故点F 为AP 的中点， 所以点F 到AM 的距离||
12
PM p ==， 故选A ．
13．设抛物线2
:2(0)C y px p =>上一点(,2)M m 到焦点的距离为2，则该抛物线C 的焦点坐标为 A ．1
(2
，0)
B ．1
(0,)2
C ．(1,0)
D ．(0,1)
【答案】C
【解析】2
2y px =的焦点为(2p ，0)，依题意有4222
pm
p
m =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，解得1m =，2p =， 所以，抛物线的标准方程为24y x =． 焦点坐标(1,0)． 故选C ．
14．已知抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点0(2,)A y 在抛物线C 上，若||2AF =，则p = A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】A
【解析】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,)2p F ，准线方程为2p
y =-，
0(2,)A y 在抛物线C 上，可得024py =，即02py =，①
由||2AF =，结合抛物线的定义可得022
p
y +=，② 由①②解得2p =，01y =， 故选A ． 二．填空题
15．若抛物线经过点1
(1,)2
-，(2,2)，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】22x y =
【解析】由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：2x my =， 将(2,2)点代入可得222m =，可得2m =，及抛物线的方程为：22x y =， 显然1
(1,)2
-也在该抛物线上，
故答案为：22x y =．
16．已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 ． 【答案】24y x =
【解析】动点M 到点(1,0)A 的距离等于它到直线1x =-的距离， 由抛物线的定义可知：点M 的轨迹是抛物线， 设方程为22(0)y px p =>，12
p
=，2p ∴=． ∴方程为24y x =．
故答案为：24y x =．
17．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，D 为C 上互相不重合的三点，且||AF 、||BF 、||DF 成等差数列，若线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，则B 的坐标为 ． 【答案】(1,2)或(1,2)-
【解析】由抛物线的方程可得焦点(1,0)F ，准线方程为：1x =-
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(D x ，3)y ，1||1AF x =+，2||1BF x =+，3||1DF x =+， 由||AF 、||BF 、||DF 成等差数列可得2132(1)2x x x +=++，所以13
22
x x x +=，所以线段AD 的中点的坐标13
(
2
x x +，13)2y y +，
因为线段AD 的垂直平分线与x 轴交于(3,0)E ，
所以线段AD 的垂直平分线的斜率为13
1312132632y y y y k x x x x ++==++--，又3131
AD y y k x x -=-，
所以3113
311316
y y y y x x x x -+=--+-，
即
31
2
3131441()6()
x x x x x x -=----，因为13x x ≠， 所以可得132x x +=，所以13
212
x x x +=
=， B 在抛物线上，代入抛物线的方程可得2
2
41y =⨯，焦点22y =±， 所以B 的坐标为：(1,2)或(1,2)-． 故答案为：
(1,2)-或(1,2)．
18．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，则||AB = ． 【答案】16
【解析】抛物线24y x =上的焦点(1,0)F ，设1
(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则可设直线
AB 的方程为1)y x =
-， 联立方程21)4y x y x ⎧=
-⎪⎨⎪=⎩
，整理得21410x x -+
=， 由韦达定理可得：1
214x x +=，121x x =， 12||()16AB x x ∴==+，
线段AB 的长度16； 故答案为：16．
19．已知直线l 与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点(A 点在第一象限），4OA OB =-，M 坐标为(4,0)，当ABM ∆的面积最小时，线段OA 的长度为 ．
【答案】
【解析】设l 的方程为x my n =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立抛物线方程可得2440y my n --=， 所以有124y y m +=，124y y n =-，
22
2
2121112()4416
y y y y x x n ===，
2121244OA OB x x y y n n =+=-=-，所以2440n n -+=，
解得2n =，设(2,0)N ，
12121
||||2
ABM S MN y y y y ∆=-=-
当0m =时，ABM ∆的面积最小， 此时l 的方程为2x =，
A 点的坐标为，OA =．
||OA =．
故答案为： 三．解答题
20．求适合下列条件的曲线的标准方程: （1）抛物线的对称轴为x 轴，过点(3,2)-
（2）双曲线的焦点在y 轴上，虚轴长为8，离心率为5
3
；
【答案】（1）2
4
3
y x =-；（2）221916y x -=．
【解析】（1）抛物线的对称轴为x 轴，过点(3,2)-，
22y px ∴=或22y px =-，(0)p >，
当22y px =，(0)p >时，把(3,2)-代入，得：46p =-，解得2
3
p =-，不合题意；
当22y px =-，(0)p >时，把(3,2)-代入，得：46p =，解得23
p =， ∴抛物线方程为24
3
y x =-．
（2）双曲线的焦点在y 轴上，虚轴长为8，离心率为5
3
，
∴设双曲线方程为22
221y x a b
-=，(0,0)a b >>，
且28b =，5
3
c a =，222c a b =+，
解得3a =，4b =，
∴双曲线方程为22
1916
y x -=．
21．已知点(0,1)A ，(1,2)B ，C 是抛物线24x y =上的动点． （1）求ABC ∆周长的最小值；
（2）若C 位于直线AB 右下方，求ABC ∆面积的最大值．
【答案】（1）3AB BD +=；（2）1．
【解析】（1）由抛物线的方程24x y =可得焦点F 坐标(0,1)，与A 重合，准线方程为：1y =- 所以ABC ∆的周长为：AB BC AC ++，过C 作CM 垂直于准线于D ，则AC CD =，
所以周长为：AB BC CD AB BD +++，当B ，C ，D 在一条直线上时，周长最小，过B 作准线的垂线交抛物线于M ，交准线于D ，这时M 与C 重合，
而AB 213BD =+=
所以周长的最小值为3AB BD +=， （2）直线AB 所在的直线方程为：21
110
y x -=
+-，即1y x =+， 设过C 与直线AB 平行，且与抛物线相切时C 到直线AB 的距离最大， 设过C 的切线方程为：y x b =+，由题意1b <，
联立直线与抛物线的方程：24y x b
x y
=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x x b --=，
则△16160b =+=，解得1b =-， 所以过C 的切线方程为：1y x =-，
所以两条平行线间的距离
d =，即C 到直线AB
所以11||2
2122
ABC S AB d ∆=
==，
所以三角形ABC 的最大面积为1．
22．已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5
||2
MF =． （1）求C 的方程；
（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-且OAB ∆的面积为16，求l 的方程．
【答案】（1）22x y =；（2）4y =±+． 【解析】（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p =，又025
||()222
p p MF y p =--=+=，1p ∴=， ∴抛物线的方程为22x y =，
（2）直l 的斜率显然存在，设直线:l y kx b =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，2
2)2y
由22y kx b x y =+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --= 122x x k ∴+=，122x x b =-
由，121212242
OA OB y y x x b
k k x x =
==-=-，4b ∴= ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，
原点O 到直线l 的距离
d =，
2
11||1(1622OAB S d AB k ∴=⨯=+，
243264k ∴+=，解得k =±
所以直线方程为：4y =±+．
23．已知抛物线2:2(0)E y px p =>恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，//AB CD ，AD 的延长线与抛物线E 的准线的交点1
(,0)2
M -．
（1）求抛物线E 的方程；
（2）证明：BD 经过抛物线E 的焦点．
【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：根据题意，1(,0)2
M -为抛物线E 的准线与对称轴的交点， ∴122
p =，则1p =， ∴抛物线E 的方程为22y x =；
（2）证明：设1(A x ，1)y ，1(B x ，1)y -，2(D x ，2)y ，
设直线AD 的方程为1()2
y k x =+， 联立方程组21()22y k x y x
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2222(2)04k k x k x +-+=， ∴1214x x =且120x x <<，1212x x ∴<<． 设BD 与x 轴的交点坐标为(n ，0)(0)n >，直线BD 的方程为11()y y x n x n
-=--， 与方程2
2y x =联立，得2222
21112221112(2)0()()()y y n y n x x x n x n x n -++=---． 解得212x x n =，∴214n =，即12n =． 故BD 经过抛物线E 的焦点．
24．已知抛物线2:4C x y =，过点(0,2)D 的直线l 交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线，两切线相交于点P ．
（1）记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，证明1k ，2k 为定值；
（2）记PAB ∆的面积为PAB S ∆，求PAB S ∆的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2
）
【解析】（1）证明：因为A ，B 两点在曲线2
4x y =上，故设A ，B 的坐标分别为211(,)4x x ，222(,)4
x x ． 因为214y x =，所以2x y '=，则112x k =，222x k =． 设直线l 的斜率为k ，则其方程为2y kx =+，由24,2,
x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2480x kx --=，△216320k =+>，124x x k +=，128x x =-， 所以1212122224
x x x x k k =⨯==-，所以12k k 为定值． （2）解：设P 点坐标为(,)x y ，
由（1）知切线PA 的方程为2121()42
x x y x x -=-① 切线PB 的方程为2222()42
x x y x x -=-②， ①-②得122
x x x +=； ①2x ⨯--②1x ⨯得124
x x y =． 由（1）知2x k =，2y =-，所以P 点坐标为(2,2)k -，
所以12||()AB x x =+ 因为点P 到直线AB 的距离2
d =
所以2
11||422PAB S AB d ∆=⨯=⨯=
因为222k +，所以当0k =时，PAB S ∆的最小值为。