河南省中原名校高二数学上学期第一次联考试卷 理(含解

河南省中原名校2014-2015学年高二上学期第一次联考数学试卷
（理科）
一、选择题（每题5分）
1．（5分）若△ABC的三角A：B：C=1：2：3，则A、B、C分别所对边a：b：c=（）
A．1：2：3 B．1：：C．1：：2 D．1：2：
2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）
A．B．C．D．
3．（5分）若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据≈1.732）（）
A．110米B．112米C．220米D．224米
4．（5分）在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（）A．B．C．5 D．
5．（5分）在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2﹣c2），则角C应为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
6．（5分）如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为（）
A．3 B．4 C．6 D．7
7．（5分）△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n的值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（5分）等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为S，T，R，则（）
A．S2+T2=S（T+R）B．R=3（T﹣S）C．T2=SR D．S+R=2T
10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11=200，则4a5﹣2a3的值为（）
A．80 B．60 C．40 D．20
11．（5分）己知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：3a1﹣a82+3a15=0，且a8=b10，则b3b17=（）A．9 B．12 C．l6 D．36
12．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式为（）
A．a n=2n﹣1 B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）在△ABC中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为．
14．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为．
15．（5分）已知数列{a n}为：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a50=．
16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣3，a k+1=，S k=﹣12，则正整数k=．
三、解答题（共6小题）
17．（1）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，求a n；
（2）数列的前n项的和S n=2n2+n，求数列的通项公式．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=b．
（1）求证：B≤；
（2）当•=﹣2，b=2时，求△ABC的面积．
20．（14分）已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量，，且．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．
21．设数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，己知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=lna2n+1，n=1，2，3…，求数列{b n}的前n项的和T n．
22．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1．
（1）证明数列{}是等差数列；
（2）若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
河南省中原名校2014-2015学年高二上学期第一次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分）
1．（5分）若△ABC的三角A：B：C=1：2：3，则A、B、C分别所对边a：b：c=（）
A．1：2：3 B．1：：C．1：：2 D．1：2：
考点：正弦定理．
专题：计算题．
分析：通过三角形的内角和，以及三个内角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理即可求出结果．
解答：解：因为△ABC的三角A：B：C=1：2：3，A+B+C=180°；
所以△ABC的三角A=30°，B=60°；C=90°，
由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=：：1=1：：2．
故选C．
点评：本题考查三角形的内角和，正弦定理的应用，考查计算能力．
2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=（）
A．B．C．D．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：由正弦定理将3sinA=5sinB转化为5b=3a，从而将b、c用a表示，代入余弦定理即可求出cosC，即可得出∠C．
解答：解：∵b+c=2a，
由正弦定理知，5sinB=3sinA可化为：5b=3a，解得c=b，
由余弦定理得，cosC==，
∴C=，
故选：B．
点评：本题考查等差数列的性质，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
3．（5分）若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据≈1.732）（）
A．110米B．112米C．220米D．224米
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用CD表示出AD，BD，让QD减去BD等于80，即可求得CD长．
解答：解：设CD=x，
在Rt△ACD中，∠A=30°，∴AD=CDtan60°=x，
在Rt△CDB中，∠CBD=45°，∴BD=x，
∵AB=80米，
∵x﹣x=80
∴x=40（+1）≈110米
故选：A．
点评：本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
4．（5分）在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（）A．B．C．5 D．
考点：余弦定理．
专题：三角函数的求值．
分析：在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，进而确定出BD与CD的长，再三角形ABD与三角形ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB与cos∠ADC，根据两值互为相反数求出AD的长即可．
解答：解：在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，
利用余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=27+9﹣27=9，即BC=3，
∴BD=1，CD=2，
在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=，
在△ADC中，由余弦定理得：cos∠ADC=，
∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC，即=﹣，
解得：AD=（负值舍去），
故选：A．
点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5．（5分）在△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系是S=（a2+b2﹣c2），则角C应为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：计算题．
分析：用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得
2abcosC=a2+b2﹣c2，进而整理求得sinC和cosC的关系进而求得C．
解答：解：由三角形面积公式可知S=absinC，
∵S=，
∴absinC=
由余弦定理可知2abcosC=a2+b2﹣c2
∴sinC=cosC，即tanC=1，
∴C=45°
故选B
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式．
6．（5分）如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为（）
A．3 B．4 C．6 D．7
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：设出三角形三边分别为n﹣1，n，n+1，则n+1对的角θ为钝角，利用余弦定理表示出cosθ，根据cosθ＜0求出n的范围，确定出n的值，找出最长边即可．
解答：解：设三角形三边分别为n﹣1，n，n+1，则n+1对的角θ为钝角，
由余弦定理得：cosθ=＜0，即（n﹣1）2+n2＜（n+1）2，
解得：0＜n＜4，即n=2，3，
当n=2时，三边长为1，2，3，此时1+2=3，不合题意，舍去；
当n=3时，三边长为2，3，4，符合题意，即最长边为4．
故选：B．
点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
7．（5分）△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，则角B等于（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
考点：等差数列的性质；等差数列的通项公式；正弦定理．
专题：等差数列与等比数列；解三角形．
分析：由题意可得2b•cosB=a•cosC+c•cosA，再利用正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公式，化简可得 cosB=，由此求得B的值．
解答：解：由题意可得2b•cosB=a•cosC+c•cosA，再利用正弦定理可得
2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
∴sin2B=sin（A+C），即 2sinBcosB=sinB．
由于sinB≠0，∴cosB=，∴B=60°，
故选B．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，正弦定理、两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．
8．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=﹣11，a5+a6=﹣4，S n取得最小值时n的值为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：【解法一】求出{a n}的通项公式a n，在a n≤0时，前n项和S n取得最小值，可以求出此时的n；
【解法二】求出{a n}的前n项和S n的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n 的值．
解答：解：【解法一】在等差数列{a n}中，设公差为d，
∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，
∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4；
∴d=2，
∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，
由2n﹣13≤0，得n≤，
∴当n=6时，S n取得最小值；
【解法二】在等差数列{a n}中，设公差为d，
∵a1=﹣11，a5+a6=﹣4，
∴（a1+4d）+（a1+5d）=﹣22+9d=﹣4，
∴d=2，
∴前n项和S n=na1+=﹣11n+=n2﹣12n，
∴当n=6时，S n取得最小值；
故选：A．
点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题．
9．（5分）等差数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为S，T，R，则（）
A．S2+T2=S（T+R）B．R=3（T﹣S）C．T2=SR D．S+R=2T
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的“片段和”仍成等差数列可得S，T﹣S，R﹣T成等差数列，由等差中项可得．
解答：解：由等差数列的“片段和”仍成等差数列，
可得：S，T﹣S，R﹣T成等差数列，
∴2（T﹣S）=S+R﹣T
变形可得R=3（T﹣S），
故选：B
点评：本题考查等差数列的性质，得出“片段和”仍成等差数列是解决问题的关键，属基础题．
10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11=200，则4a5﹣2a3的值为（）
A．80 B．60 C．40 D．20
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质可得a7的值，而要求的式子可转化为2a7，可得答案．
解答：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=200，
∴5a7=200，解得a7=40，
设等差数列的公差为d，
则4a5﹣2a3=4（a7﹣2d）﹣2（a7﹣4d）=2a7=80
故选：A
点评：本题考查等差数列的性质，得出a7的值，并把要求的式子转化为a7是解决问题的关键，属中档题．
11．（5分）己知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：3a1﹣a82+3a15=0，且a8=b10，则b3b17=（）A．9 B．12 C．l6 D．36
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：运用等差数列的性质，等比数列的性质求解．
解答：解：∵等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：3a1﹣a82+3a15=0，
且a8=b10，
∴a=3a1+3a15=6a8，a8=6，a8=0（舍去），
b10=6
b3b17=b102=36
故选：D
点评：本题综合考查了等差等比数列的定义，性质．
12．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式为（）
A．a n=2n﹣1 B．C．D．
考点：等比关系的确定．
专题：计算题．
分析：由a n+1=2a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2，从而可得{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求所求．
解答：解：∵a n+1=2a n+1，
∴a n+1+1=2（a n+1），a1+1=2
∴{a n+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
根据等比数列的通项公式可得，a n+1=2•2n﹣1=2n
即a n=2n﹣1
故选C．
点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了构造法，同时考查了计算能力，属于基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）在△AB C中，已知2a=b+c，sin2A=sinBsinC，则△ABC的形状为等边三角形．
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题．
分析：利用正弦定理化简sin2A=sinBsinC，得到a2=bc，与2a=b+c联立得到a=b=c，可得出三角形ABC为等边三角形．
解答：解：由正弦定理化简sin2A=sinBsinC，得到a2=bc，
又2a=b+c，即a=，
∴a2==bc，即（b+c）2=4bc，
∴（b﹣c）2=0，即b=c，
∴2a=b+c=b+b=2b，即a=b，
∴a=b=c，
则△ABC为等边三角形．
故答案为：等边三角形
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，以及等边三角形的判定，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
14．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，n∈N*，若a3=16，S20=20，则S10值为110．
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：本题可根据等差数列的前n项和的一上性质{S（k+1）m﹣S km}是以m2d为公差的数列，本题中令m=5，每五项的和也组成一个等差数列，再由数列中项知识求出前五项的和，由此建立方程求出公差，进而可求出S10的值
解答：解：由题意a3=16，故S5=5×a3=80，
由数列的性质S10﹣S5=80+25d，S15﹣S10=80+50d，S20﹣S15=80+75d，
故S20=20=320+150d，解之得d=﹣2
又S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110
故答案为：110
点评：本题考点是等差数列的性质，考查等差数列前n项和的性质，以及数列的中项的运用，本题技巧性较强，属于等差数列的性质运用题，解答本题，要注意从题设条件中分析出应该用那个性质来进行转化．
15．（5分）已知数列{a n}为：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a50=．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：由题意，每个分数的分子与分母的和，等于2的有1个，等于3的2个，等于4
的3个，等于5的4个，等于6的5，
解答：解：，
，，
，，，
，，，，
…，
依由观察可知，第k行分子分母之和为k+1，且分母从1逐渐增大到k 那么前k行共有的项数n=
易知，因为＜50＜=55，
故则a50一定在第10行，
当k=9时，n=45，a45=，
所以n=46，a46=，
故a50=
故答案为：
点评：本题主要考查了归纳推理的问题，关键是寻找规律，属于中档题．
16．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣3，a k+1=，S k=﹣12，则正整数k=13．
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件，利用等差数列的前n项和公式得到S k+1=（﹣3+）=﹣12+，由
此能求出结果．
解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，
a1=﹣3，a k+1=，S k=﹣12，
∴S k+1=（﹣3+）=﹣12+，
解得k=13．
故答案为：13．
点评：本题考查等差数列的前n项和公式的合理运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用．
三、解答题（共6小题）
17．（1）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，求a n；
（2）数列的前n项的和S n=2n2+n，求数列的通项公式．
考点：数列的求和．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（1）在数列的前n项和中取n=1求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1求n≥2时的通项公式，验证首项后得答案；
（2）在数列的前n项和中取n=1求得首项，再由a n=S n﹣S n﹣1求n≥2时的通项公式，验证首项后得答案．
解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=5；
当n≥2时，．
∴；
（2）当n=1时，；
当n≥2时，=4n﹣1．
验证n=1时上式成立．
∴a n=4n﹣1．
点评：本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，注意验证n=1时通项是否成立，是基础题．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
考点：解三角形．
专题：计算题．
分析：（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin （A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC，整理可求A
（2）由（1）所求A及S=可求bc，然后由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）
2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c，进而可求b，c
解答：解：（1）∵acosC+asinC﹣b﹣c=0
∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC
∵sinC≠0
∴sinA﹣cosA=1
∴sin（A﹣30°）=
∴A﹣30°=30°
∴A=60°
（2）由
由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
即4=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12
∴b+c=4
解得：b=c=2
点评：本题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c=b．
（1）求证：B≤；
（2）当•=﹣2，b=2时，求△ABC的面积．
考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）由余弦定理得，将已知a+c=b代入，然后配方得到cosB≥0得出B≤；
（2）由，得accosB=2，再由b2=a2+c2﹣2accosB=12和已知，
得出ac=4，利用三角形的面积公式求出面积．
解答：（1）证明：（1）∵△ABC中，a+c=b，
∴=，
∴B≤；（当且仅当a=c时取得等号）．…（7分）
（2）∵，
∴accosB=2，
b2=a2+c2﹣2accosB=12，
∴a2+c2=16，b=2，…（11分）
又，
∴ac=4，
∴，
∴，
∴．…（14分）
点评：本题考查三角形中的余弦定理、正弦定理的应用以及三角形的面积公式，是一道中档题．
20．（14分）已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量，，且．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出cosC 的值，即可确定出C的度数；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得到2c=a+b，已知等式利用平面向量的数量积运算化简，将cosC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值．
解答：解：（1）∵=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），
∴•=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=，
∵C为三角形内角，
∴C=；
（2）∵sinA，sinC，sinB成等差数列，
∴2sinC=sinA+sinB，
利用正弦定理化简得：2c=a+b，
∵•=18，
∴abcosC=ab=18，即ab=36，
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，
将a+b=2c，ab=36代入得：c2=4c2﹣108，即c2=36，
解得：c=6．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
21．设数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，己知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=lna2n+1，n=1，2，3…，求数列{b n}的前n项的和T n．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）设出等比数列的公比，由已知列首项和公比的方程组，求解方程组得首项和公比，然后代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把a2n+1代入b n=lna2n+1，得到数列{b n}是等差数列，然后利用等差数列的前n项和公式得答案．
解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），
由已知得，解得．
∴；
（2）由b n=lna2n+1，得
，
b n+1﹣b n=2（n+1）ln2﹣2nln2=2ln2．
∴数列{b n}是等差数列，
∴．
点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是中档题．22．已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1．
（1）证明数列{}是等差数列；
（2）若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n对n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
考点：数列与不等式的综合；函数恒成立问题；等差关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知推导出a1=4，，由此能证明是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由，得a n=（n+1）•2n，2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n等价于5﹣λ＞，记，由此能求出λ的取值范围．
解答：（1）证明：当n=1时，，解得a1=4，
，
当n≥2时，，
∴，
∴==1，
又，
∴是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）解：由（1）知，即a n=（n+1）•2n，
∵a n＞0，∴2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n等价于5﹣λ＞，
记，n≥2时，=，
∴n≥3时，，（b n）max=b3=，
∴，．
点评：本题考查等差数列的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．。