2020年甘肃省天水一中高考数学二模试卷(文科) (含解析)

2020年甘肃省天水一中高考数学二模试卷(文科)
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.已知集合M={−1,0，1}，N={0,1，2}，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表
示的集合为()
A. {0,1}
B. {−1,0，1}
C. {−1,2}
D. {−1,0，1，2}
2.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中
去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()
A. 方差
B. 极差
C. 中位数
D. 平均数
3.已知向量a⃗=(0,−2√3)，b⃗ =(1,√3)，则向量a⃗在b⃗ 上的投影为()
A. 3
B. √3
C. −√3
D. −3
4.利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是
否爱好某项运动，利用2×2列联表，由计算可得K2≈7.245，参照下表：得到的正确结论是() P(K2≥k0)0.010.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
5.执行如图所示的程序框图，则输出的b=()
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
6.已知函数f(x)=|2x−1|，当a<b<c时，f(a)>f(b)>f(c)，那么
正确的结论是()
A. 2a>2b
B. 2a>2c
C. 2−a<2c
D. 2a+2c<2
7.已知双曲线x2
a +y2=1的一条渐近线倾斜角为5π
6
，则a=()
A. 3
B. −√3
C. −
√33
D. −3
8. 已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. α//β，m ⊂α，n ⊂β⇒m//n
B. l ⊥β，α⊥β⇒l//α
C. m ⊥α，m ⊥n ⇒n//α
D. α//β，l ⊥α⇒l ⊥β
9. 函数f (x )=sinx
x 2+1的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
10. 设函数f(x)=lg(1+2|x|)−1
1+x 4，则使得f(3x −2)<f(−4)成立的x 的取值范围是( )
A. (−2
3,1) B. (−2
3,2)
C. (−∞,−2
3)
D. (−∞,−2
3)∪(2,+∞)
11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acos B −bcos A =c
3，则acos B
acos A+bcos B 的最
大值为( )
A. √2
B. √22
C. √32
D. 2√33
12. 已知椭圆C ：x 2
a 2+
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的左、
右焦点分别为F 1、F 2，过F 2的弦AB 满足∠AF 1B =120°，且|AF 1|、|F 1B|、|AB|成等差数列，则椭圆C 的离心率为( )
A. √2
2
B. √32
C. √77
D. √1313
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数z 1
z 2
对应的点位于第______ 象限．
14. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与圆心在原点的单位圆(半径
为1的圆)交于第二象限内的点A(x A ,4
5)，则sin2α=______.(用数值表示)
15.已知3a=4b=√12，则1
a +1
b
=______．
16.三棱锥S−ABC的各顶点都在同一球面上，若AB=3，AC=5，BC=7，侧面SAB为正三角形，
且与底面ABC垂直，则此球的表面积等于______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服
务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调査，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),⋯,[90,100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
频率分布表
组别分组频数频率
第1组[50,60)80.16
第2组[60,70)a▆
第3组[70,80)200.40
第4组[80,90)▆0.08
第5组[90,100]2b
合计▆▆
(1)求a,b,x,y的值；
(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的2人中至少一人来
自第5组的概率．
18.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是AB的中点．
(1)证明：BC1//平面MCA1；
(2)若AB=A1M=2MC=2，BC=√2，求点C1到平面MCA1的距离．
19.已知{a n}的前n项和S n=4n−n2．
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；
}的前n项和T n．
(Ⅱ)求数列{7−a n
2n
20. 已知f(x)=e x −mx ．
(Ⅰ)若曲线y =lnx 在点(e 2,2)处的切线也与曲线y =f(x)相切，求实数m 的值； (Ⅱ)试讨论函数f(x)零点的个数．
21. 已知，
抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F 在x 轴上，抛物线上一点M(−3,m)到F 的距离为4， (1)求m 的值，并求出抛物线C 的方程．
(2)直线l 过点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，求线段AB 长的最小值．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,
y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．
(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
)与C1交于O，P两点，与C2交于O，Q两点，且Q为OP的中点，
(2)已知射线θ=α(0<α<π
2
求α．
23.设x，y，z∈R，且x+y+z=1．
(1)求(x−1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；
(2)若(x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥1
成立，证明：a≤−3或a≥−1．
3
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：阴影部分表示集合为[(C U M)∩N]∪[M∩(C U N)]
∵集合M={−1,0，1}，N={0,1，2}，
∴[(C U M)∩N]∪[M∩(C U N)]={−1,2}
故选：C．
判断阴影部分对应的集合，通过集合运算求解即可．
本题考查Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．
2.答案：C
解析：
本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．
根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，
7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选C．
3.答案：D
解析：
由两向量的坐标求出两向量夹角的余弦值，代入投影公式得答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是基础题．
解：由a⃗=(0,−2√3)，b⃗ =(1,√3)，得：
cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗
|a⃗ |⋅|b⃗|=−√3
2
，
∴向量a⃗在b⃗ 上的投影为|a⃗|cos<a⃗,b⃗ >=2√3×(−√3
2
)=−3．故选D．
4.答案：B
解析：解：独立性检验的方法计算得K 2≈7.245，参照临界值表，得7.245>6.635， 所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”． 故选：B ．
根据题意参照临界值表即可得出正确的结论． 本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
5.答案：D
解析：
本题主要考查了程序框图的基本结构，属于基础题．根据程序框图依次计算程序运行的结果，直到满足a >b ，即可输出b =2．
解：该程序的运行过程为：a =1，b =10，a <b ，继续循环；b =8，a =2，a <b ，继续循环；b =6，a =3，a <b ，继续循环；b =2，a =5，a >b ，跳出循环，输出b =2． 故选D ．
6.答案：D
解析：解：∵函数f(x)=|2x
−1|，∴f(x)={2x −1,x ≥01−2x ,x <0．
画出函数图象，
可知：函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,+∞)上单调递增．
当0≤a <b <c 时，f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，不满足f(a)>f(b)>f(c)，因此必有a <0．
当a <0<c 时，1−2a >2c −1，化为2a +2c <2；
当a <b <c ≤0时，f(x)在区间(−∞,0]上单调递减．∴1>1−2a >1−2c ≥0，∴2c ≤1，2a <1， ∴2a +2c <2． 综上可知：D 一定正确． 故选：D ．
函数f(x)=|2x
−1|，可得f(x)={
2x −1,x ≥0
1−2x ,x <0
.画出函数图象．利用函数图象的单调性和已知条件
可得：当0≤a<b<c时，不满足f(a)>f(b)>f(c)，因此必有a<0.当a<0<c时，1−2a>2c−1，化为2a+2c<2；当a<b<c≤0时，f(x)在区间(−∞,0]上也满足2a+2c<2．
本题考查了分段函数的图象与性质、分类讨论、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于难题．7.答案：D
解析：解：由双曲线x2
a +y2=1，得其渐近线方程为y=
√−a
，
又双曲线x2
a +y2=1的一条渐近线倾斜角为5π
6
，
∴
−a =tan5π
6
=−√3
3
，即√−a=√3．
得a=−3．故选：D．
由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得
−a =tan5π
6
=−√3
3
，则a的值可求．
本题考查双曲线的性质，考查双曲线的渐近线方程，是基础的计算题．
8.答案：D
解析：解：若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若l⊥β，α⊥β，则l//α或l⊂α，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故C错误；
若α//β，l⊥α根据线面垂直的判定方法，易得l⊥β，故D正确；
故选D
由面面平行的性质，可以判断A的对错，由线面平行的定义及判定方法可判断B，C的真假，由线面垂直的定义及判定方法，可以判断D的正误．
本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面垂直和平行的定义、性质、判定方法是解答此类问题的关键．
9.答案：A
解析：
此题利用函数的奇偶性和特殊值即可求解．。