新编秋九年级数学上册21.2二次函数的图象和性质21.2.3二次函数表达式的确定同步练习新版沪科版2

21.2.3 二次函数表达式的确定
知识点 1 已知三点求二次函数的表达式
1．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0.则这个二次函数的表达式为________．
2．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3)三点，则这个二次函数的表达式是____________．
3．如图21－2－21所示，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过A ，B ，C 三点． (1)观察图象，写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出 抛物线的函数表达式； (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴．
图21－2－21
知识点 2 已知抛物线的顶点和图象上另外一点求二次函数的表达式
4．已知某二次函数的图象如图21－2－22所示，则这个二次函数的表达式为( )
A ．y ＝2(x ＋1)2
＋8
B ．y ＝18(x ＋1)2
－8 C ．y ＝29(x －1)2
＋8
D ．y ＝2(x －1)2
－8
图21－2－22
5．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与
抛物线y ＝－2x 2
相同，则这个二次函数的表达式是( )
A ．y ＝－2x 2－x ＋3
B ．y ＝－2x 2
＋4
C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8
D ．y ＝－2x 2
＋4x ＋6
6．若一个二次函数的图象的顶点坐标为(3，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，－4)，则这个二次函数的表达式是( )
A ．y ＝13x 2－2x ＋4
B ．y ＝－13x 2
＋2x －4
C ．y ＝13
(x ＋3)2－1 D ．y ＝－x 2
＋6x －12
7．已知二次函数的图象过坐标原点，且顶点坐标是(1，－2)，则这个二次函数的表达式为__________．
8．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：
则该二次函数的表达式为____________．
9．某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为3
2米的喷水管喷水的最大高度为
4米，此时喷水的水平距离为1
2米，在如图21－2－23所示的平面直角坐标系中，求这支喷泉
的函数表达式．
图21－2－23
10．若函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的部分取值如下表所示，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数表达式是( )
A.y ＝x 2
－4x ＋3 B ．y ＝x 2
－3x ＋4
C ．y ＝x 2－3x ＋3
D ．y ＝x 2
－4x ＋8
11．如图21－2－24，抛物线y ＝ax 2
＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)，请回答下列问题：
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．
图21－2－24
12．如图21－2－25，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，AB⊥BC，且点C 在x轴上．若抛物线y＝ax2＋bx＋c以C为顶点，且经过点B，求这条抛物线的表达式．
图21－2－25
13．［2016·娄底］如图21－2－26，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点A(－1，0)，B(5，－6)，C(6，0)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图21－2－26
14．已知抛物线l：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c均不为0)的顶点为M，与y轴的交点为N.我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
(1)抛物线y＝x2－2x－3的衍生抛物线的表达式是____________，衍生直线的表达式是____________；
(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝－2x2＋1和y＝－2x＋1，求这条抛物线的表达式．
1．y ＝3x 2
－x 2．y ＝－x 2
＋2x ＋2
3．解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)，函数表达式为y ＝x 2
－2x －3. (2)抛物线顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x ＝1. 4．D [解析] 由题图知抛物线的顶点坐标是(1，－8)，所以设抛物线的表达式是y ＝a(x －1)2－8.因为点(3，0)在这个二次函数的图象上，所以0＝a×(3－1)2
－8，解得a ＝2.所以
这个二次函数的表达式为y ＝2(x －1)2
－8.
5．D
6．B [解析] 设抛物线的表达式为y ＝a(x －3)2－1，把(0，－4)代入，得a×(－3)2
－1＝－4，解得a ＝－13，所以抛物线的表达式为y ＝－13(x －3)2
－1＝－13
x 2＋2x －4.故选B .
7．y ＝2x 2
－4x [解析] 设这个二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2
－2.
根据图象过原点，得0＝a×(0－1)2
－2，
解得a ＝2.故这个二次函数的表达式是y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2
－4x.
8．y ＝x 2
＋x －2 [解析] 结合表格由二次函数的对称性可知此二次函数的图象的顶点坐标是(－12，－94)，所以可设该二次函数的表达式为y ＝a(x ＋12)2－94
，
又由题表可知该二次函数的图象经过点(－1，－2)， 所以－2＝a×(－1＋12)2－9
4
，解得a ＝1.
所以该二次函数的表达式为y ＝(x ＋12)2－94
＝x 2
＋x －2.
9．解：由题图可知，抛物线的顶点坐标为(12，4)，且经过点(0，3
2)．
设抛物线的表达式为y ＝a(x －12)2
＋4.
把点(0，3
2)代入，可求得a ＝－10.
所以这支喷泉的函数表达式为 y ＝－10(x －12
)2
＋4.
10． A
[解析] ∵x＝1时，ax 2
＝1，∴a ＝1.
将(－1，8)，(0，3)分别代入y ＝x 2
＋bx ＋c 中，得⎩
⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝8，
c ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4，
c ＝3.
∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝x 2
－4x ＋3.故选A .
11．解：(1)因为抛物线y ＝ax 2
＋2x ＋c 经过点A(0，3)，B(－1，0)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝3，a －2＋c ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝3.
所以抛物线的函数表达式为y ＝－x 2
＋2x ＋3.
(2)抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2
＋4的顶点坐标为(1，4)， 所以BD ＝BE 2
＋DE 2
＝22
＋42
＝2 5.
12．解：当x ＝0时，y ＝2，所以点B 的坐标是(0，2)． 当y ＝0时，x ＝－2，所以点A 的坐标是(－2，0)， ∴OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝45°. ∵∠ABC ＝90°， ∴OC ＝OB ＝OA ＝2，
∴点C 的坐标是(2，0)．
设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)2
，∵抛物线过点B(0，2)，∴4a ＝2，解得a ＝12.
因此抛物线的表达式为y ＝12(x －2)2
＝12
x 2－2x ＋2.
13．解：(1)设y ＝a(x ＋1)(x －6)(a≠0)，
把B(5，－6)代入，得a×(5＋1)×(5－6)＝－6， 解得a ＝1，
∴y ＝(x ＋1)(x －6)＝x 2
－5x －6.
∴抛物线的表达式为y ＝x 2
－5x －6. (2)存在．
分别过点P ，B 向x 轴作垂线PM 和BN ，垂足分别为M ，N.
设P(m ，m 2
－5m －6)，四边形PACB 的面积为S ，
则PM ＝－m 2
＋5m ＋6，AM ＝m ＋1，MN ＝5－m ，CN ＝6－5＝1，BN ＝6， ∴S ＝S △AMP ＋S 梯形PMNB ＋S △BNC
＝12(－m 2＋5m ＋6)(m ＋1)＋12(6－m 2
＋5m ＋6)(5－m)＋12×1×6 ＝－3m 2
＋12m ＋36
＝－3(m －2)2
＋48.
当m ＝2时，S 有最大值为48，这时m 2－5m －6＝22
－5×2－6＝－12， ∴P(2，－12)．
14．解：(1)y ＝－x 2
－3 y ＝－x －3
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x 2
＋1，y ＝－2x ＋1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，
y 2＝－1.
∴待求抛物线与y 轴的交点为N(0，1)，抛物线的顶点为M(1，－1)．
∴设抛物线的表达式为y ＝a(x －1)2－1，把N(0，1)代入，得1＝a×(0－1)2
－1，解得a ＝2.
∴这条抛物线的表达式为y ＝2(x －1)2－1，即y ＝2x 2
－4x ＋1.
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。