2021-2022学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年江苏省南京市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知{M x
x A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（ ） A ．{}2,4 B ．{}6,8 C ．{}1,3,5 D ．{}1,3,6,8
【答案】C
【分析】根据集合M 的定义求解即可
【详解】因为集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，{M x
x A =∈∣且}x B ∉， 所以1,3,5M ，
故选：C
2．命题“30,0x x x ∀+”的否定是（ ） A ．30,0x x x ∀+< B ．30,0x x x ∀<+ C ．30,0x x x ∃+< D ．30,0x x x ∃+
【答案】C
【分析】全称命题否定为特称命题即可
【详解】命题“30,0x x x ∀+”的否定是“30,0x x x ∃+<”， 故选：C
3．已知01x <<，若2
2log ,2,x a x b c x ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】B
【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出,,a b c 的范围，即可判断,,a b c 的大小关系.
【详解】当01x <<时，2
2log 0,2,101x x x ><<<，
故a c b <<， 故选：B.
4．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，
不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深21CD =-，锯道2AB =，则图中ACB 的长度为（ ）
A ．
2
π B 2 C ．π
D 2π
【答案】B
【分析】设圆的半径为r ，根据勾股定理可求得r 的值，求出AOB ∠，利用扇形的弧长公式可求得结果.
【详解】设圆的半径为r ，则)
21OD r CD r =-=-，1
12
AD AB =
=， 由勾股定理可得2
2
2
OD
AD
OA ，即(
)
2
2211r r ⎡⎤-
+=⎣
⎦
，解得2r =
所以，2OA OB ==2AB =，所以，222OA OB AB +=，故2
AOB π
∠=，
因此，222
ACB π
==
. 故选：B.
5．要得到函数3sin 25y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（ ）
A ．将函数3sin 5y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）
C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π
个单位． D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10
π
个单位
【答案】D
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数3sin 5y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到1
3sin 2
5π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图象，故A 错误；
将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变），得到
3sin 210π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭y x 的图象，故B 错误；
将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位得到23sin 25π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
y x 图象，故C 错误；
D. 将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位得到3sin 25y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，故
D 正确. 故选：D.
6．已知,b c ∈R ，关于x 的不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，则关于x 的不等式210cx bx ++>的解集为（ ） A ．1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C ．()1,1,2∞∞⎛
⎫--⋃+ ⎪⎝
⎭
D ．()1,1,2∞∞⎛⎫
--⋃+ ⎪⎝⎭
【答案】A
【分析】由利用韦达定理可得,b c ，代入所求不等式解不等式即可. 【详解】因为不等式20x bx c ++<的解集为()2,1-，
所以2121-=-+⎧⎨=-⨯⎩b c 即1
2=⎧⎨=-⎩
b c ，
不等式210cx bx ++>等价于2210x x -++>， 解得1
12
x -<<.
故选：A. 7．函数()2
()ax b
f x x c +=
+的图象如图所示，则（ ）
A ．0,0,0a b c <<<
B ．0,0,0a b c ><>
C ．0,0,0a b c >><
D ．0,0,0a b c ><<
【答案】D
【分析】通过函数的定义域可求出c 的范围，由(0)f 可判断b 的范围，由函数图象与x 轴的交点可判断a 的范围
【详解】函数的定义域为{}x x c ≠-， 由图可知0c ->，则0c <， 由图可知2
(0)0b
f c =
<，所以0b <， 由()0f x =，得0ax b +=，b x a
=-， 由图可知0b
a -
>，得0b a
<，所以0a >， 综上，0a >，0b <，0c <， 故选：D
8．设函数()()2cos 2,3,33x f x x x x ⎛⎫
=-+∈- ⎪⎝⎭
，则不等式()()()121f x f f x ++<-的解
集是（ ） A ．()2,1-- B ．()2,1- C ．()1,2- D ．()1,2 【答案】A
【分析】由函数单调性结合特值去排除错误选项即可简单快捷地解决此题. 【详解】()()2cos 2,3,33x f x x x x ⎛⎫
=-+∈- ⎪⎝⎭
()()()22cos 2cos 233x x f x x x x x f x -⎡⎤⎛⎫
-=---+=--+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
则函数()f x 为()3,3-上的奇函数.
又当03x ≤<时，2
()cos 23x m x x =-+单调递增，且0y >
当03x ≤<时，()n x x =单调递增，且0y ≥ 则()2cos 23x f x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
为[)0,3上单调递增函数，
又函数()f x 为()3,3-上的奇函数，
则()f x 为()3,3-上单调递增函数，且当03x ≤<时()0f x ≥
当0x =时，不等式()()()121f x f f x ++<-可化为，()20.f <不成立. 则选项BC 错误； 当3
2
x =
时，不等式()()()121f x f f x ++<- 可化为，()3312122f f f ⎛⎫⎛⎫
++<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即()51222f f f ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
但是()510,20,022f f f ⎛⎫⎛⎫
>>-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则此不等式不成立，故32x =不是不等式的解.
则选项D 错误：只能选A. 故选：A 二、多选题
9．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <
B C ．21x y -< D ．
11
x y
x y <++ 【答案】BCD
【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错. 【详解】对于A ，取2,3
3
x y π
π
=
=
满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；
对于B ，1
2y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确；
对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，
011(1)(1)
x y x y
x y x y --=<++++，故11x y x y <++，故D 正确， 故选：BCD.
10．已知函数(),y f x x =∈R ，对于任意()()(),,x y f x y f x f y ∈+=+R ，则 A ．()f x 的图象经过坐标原点 B ．()()33f x f x = C ．()f x 单调递增 D ．()()0f x f x -+=
【答案】ABD
【分析】对于A ，令0x y ==可判断，对于B ，分别令y x =和2y x =化简计算即可，对于C ，利用单调的定义判断，对于D ，令y x =-进行判断
【详解】对于A ，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，得(0)0f =，所以()f x 的图象经过坐标原点，所以A 正确，
对于B ，令y x =，则()()22f x f x =，再令2y x =，则
()()()32()2()3()f x f x f x f x f x f x =+=+=，所以B 正确，
对于D ，令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-，因为(0)0f =，所以()()0f x f x -+=，所以D 正确，
对于C ，任取12,x x R ∈，且12x x <，由D 选项可知22()()f x f x -=-，所以
121212()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-，而12()f x x -的符号不确定，所以不能确定函
数的单调性，所以C 错误， 故选：ABD
11．已知函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．函数()f x 的图象关于点,06
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称
B ．函数()f x 的图象关于直线23
x π
=
对称
C ．若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x 的值域为⎡⎣ D ．函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】AD
【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A ；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B ；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C ；求解正弦型函数的递减区间判断选项D.
【详解】选项A ：2sin 26603f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，则函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭对称.
判断正确； 选项B ：222sin 2013
33f π
ππ⎛⎫⎛
⎫=⨯-=≠±
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，则函数()f x 的图象不关于直线23x π=对称. 判断错误；
选项C ：由02
x π≤≤
，可得223
3
3x π
π
π-
≤-
≤
，则2sin 223x π⎛
⎫-≤ ⎪⎝
⎭，
即若0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.判断错误； 选项D ：由3222232k x k πππππ+≤-≤+，可得5111212
k x k ππ
ππ+≤≤+，
即函数()f x 的单调递减区间为()511,1212k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z .判断正确. 故选：AD
12．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当(]0,1x ∈时，
()
f x = ）
A ．()32f -=-
B ．函数()f x 是周期函数
C ．不等式()0f x >的解集是{}442,x k x k k <<+∈Z
D ．当关于x 的方程()f x mx =恰有二个不同的解时，2m = 【答案】BC
【分析】计算出()3f -的值，可判断A 选项；利用周期性的定义可判断B 选项；求出不等式()0f x >在22x -≤≤上的解，结合周期可判断C 选项；数形结合可判断D 选项. 【详解】对于A ，()()()3112f f f -=--==，A 错；
对于B ，由已知可得()()()42f x f x f x +=-+=，故函数()f x 为周期函数，B 对； 对于C ，由奇函数的性质可得()00f =，则()()200f f =-=，()()220f f -==，
当(]0,1x ∈时，()0f x =>，
当[)1,0x ∈-时，(]0,1x -∈，则()()0f x f x =--<， 当()1,2x ∈时，()21,0x -∈-，则()()20f x f x =-->， 当()2,1x ∈--时，()20,1x +∈，则()()20f x f x =-+<. 故当22x -≤≤时，不等式()0f x >的解为02x <<，
又因为函数()f x 的周期为4，故不等式()0f x >的解集是{}442,x k x k k <<+∈Z ，C 对；
对于D ，作出函数()f x 与函数y mx =的部分图象如下图所示：
由图可知，当2m =时，直线2y x =与函数()f x 的图象有三个交点，D 错. 故选：BC. 三、填空题
13．已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________ 【答案】
22
【分析】根据三角函数定义即可求解．
【详解】由于角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，所以1
tan x x
θ=
=，得1x = 所以222sin 11θ=
=
+214．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1
C θ，空气温度为0 C θ，则t 分钟后物体的温度θ(单位： C )满足：()010e kt
θθθθ-=+-．若当
空气温度为30C 时，某物体的温度从90C 下降到60C 用时14分钟．则再经过28分钟后，该物体的温度为________℃． 【答案】37.5
752
【分析】由已知条件得出030θ=，190θ=，50θ=，代入等式()010θθθθ-=+-kt
e ，求
出-kt e ，再代入()42309030θ-=+-k
e 即可得出结论.
【详解】由题知030θ=，190θ=，60θ=， 所以，()1460309030-=+-k
e
，可得1412
-=
t
e
， 再经过28分钟后，该物体的温度为
()()()3
421430903030903037.5θ--=+-=+-=k k e e ，
故答案为：37.5.
15．已知正实数x 、y 满足22342x xy y ++=，则95x y +的最小值为________．
【答案】【分析】分析可得()()32x y x y ++=，再利用基本不等式可求得95x y +的最小值. 【详解】因为正实数x 、y 满足22342x xy y ++=，即()()32x y x y ++=， 由基本不等式可得()()
95233x y x y x y +=+++≥= 当且仅当()()
()()23332x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎨++=⎪⎩
时， 等号成立，故95
x y +的最小值为
故答案为：四、双空题
16．设函数()1,22
11log , 4.22
x a x f x x x ⎧
-+-<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩
， 若()1,f f -=⎝⎭
a =则________．若函数()
f x 有最小值，且无最大值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1
2
--0.5 3[,1)2--
【分析】
由()1,2f f ⎛-= ⎝⎭可得121log a +=，从而可求出a 的值，先求出每段函数的值域，然后由() f x 有最小值，且无最大值，可得21
122
a a +<⎧⎪
⎨-+≥-⎪⎩，从而可求得实数a 的
取值范围
【详解】因为()1,22
11log , 4.
22x a x f x x x ⎧
-+-<⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩
，
()1,f f -=⎝⎭
所以1
2
1log a +=112a +=，
解得1
2a =-，
当122x -≤<时，1
22
a x a a -+<-+≤+， 当
1
42
x <≤时，122log 1x -≤<，
因为函数() f x 有最小值，且无最大值， 所以21
122a a +<⎧⎪
⎨-+≥-⎪⎩，解得312a -≤<-，
所以实数a 的取值范围是3
[,1)2--，
故答案为：1
2
-，3[,1)2--
五、解答题
17．已知集合{}212200,,{1,}M x
x x x N x x m x =-+<∈=-<∈R R ∣∣∣∣． (1)当2m =时，求M N ⋂；
(2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的
m 存在，求出m 的取值范围；若问题中的m 不存在，请说明理由．
问题：是否存在正实数m ，使得“x M ∈”是“x ∈N ”的________？ 【答案】(1)()2,3M
N =
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）先解不等式求出集合,M N ，再求出两集合的交集即可，
（2）若选择①，则12,
0,110,
m m m -⎧>⎨+⎩且从而可求出m 的范围，若选择②，则0m >时，
12,
110,
m m -⎧⎨
+⎩不成立，从而可得结果 (1)
由212200x x -+<，得(2)(10)0x x --<，解得210x <<，
所以{}
()212200,2,10M x
x x x =-+<∈=R ∣， 当2m =时，{}
12N x x =-<，
由12x -<，得212x -<-<，解得13x ， 所以()1,3N =-， 所以()2,3M N =．
(2)
当0m >时，()1,1N m m =-+，
选择①充分条件，则有M N ⊆，则12,
0,110,m m m -⎧>⎨
+⎩且解得9m ， 在正实数m ，使得“”x M ∈是“x ∈N ”的充分条件，
M 的取值范伟为[)9,+∞． 选择②必要条件，则有N M ⊆，
0m >时，12,
110,m m -⎧⎨+⎩
不成立，
所以不存在正实数m ，使得“x M ∈”是“x ∈N ”的必要条件． 18．已知函数
()()()2sin cos sin 2x x f x x πππ+-=
⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
．
(1)求73
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
值； (2)若()2f α=，求22sin sin cos 1cos ααα
α
++的值．
【答案】(1)3 (2)1
【分析】（1）先利用三角函数诱导公式化简解析式，再代入求值即可； （2）以正余弦函数齐次化切法求值即可解决. (1)
()()()
()22
sin cos sin cos tan cos sin 2x x x x f x x
x
x πππ+---=
=
=⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
77tan tan 3333f πππ⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
(2)
由()tan 2f αα==，
可知
2222222sin sin cos sin sin cos tan tan 11cos sin 2cos 2tan αααααααα
αααα
+++===+++． 19．如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在圆周上．记梯形ABCD 的周长为y ．
(1)设CAB θ∠=，将y 表示成θ的函数； (2)求梯形ABCD 周长的最大值．
【答案】(1)2
4sin 4sin 4,0,4y πθθθ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭
(2)5
【分析】小问1：过O 作OE CD ⊥交CD 于E ，连接CO ，则2,22
COB EOC π
∠θ∠θ==-，
分别求出各边长即可得周长；
小问2：由（1）设sin t θ⎛=∈ ⎝⎭
，则2
444y t t =-++，结合二次函数性质即可求最大值． (1)
由AB 是直径，得AC BC ⊥，所以sin 2sin AD BC AB CAB ∠θ===， 过O 作OE CD ⊥交CD 于E ，连接CO ，则2,22
COB EOC π
∠θ∠θ==-，
所以22sin 2cos2CD CE OC EOC ∠θ===，
所以2
4sin 2cos224sin 4sin 4,0,4y πθθθθθ⎛⎫=++=-++∈ ⎪⎝⎭
．
(2)
设sin t θ⎛=∈ ⎝⎭
，则2
444y t t =-++，对称轴12t ⎛=∈ ⎝⎭， 所以当1
2
t =
时，y 有最大值5． 20．已知1a b c <<<，且1
log log log 2
a b a b c c +=+． (1)若3c a =，求log a b 的值； (2)求log log a b b c +的最小值． 【答案】(1)3
log 2
a b =或2
(2)2+【分析】（1）由对数的运算得37
log log 2
a a
b b +
=，解方程可得答案； （2）由1log log log 2log 2b a a a c b c b +=+⋅()2
1log 3log 04a a c c -+
，解不等式得3log 22a c +，根据1
log log log 2
a b a b c c +=+可得答案. (1)
由题意，3
31log log log 2a b a b a a +=
+，即37log log 2a a b b +
=，解得3log 2
a b =或2． (2)
因为1a b c <<<，所以log 1,log 1,log 1a b a b c c >>>，
所以1
log log log 2log 2b a a a c b c b +=+⋅
因此1log 2log 2a a c c +，即()2
1log 3log 04a a c c -+
， 解得3log 22a c
+或3
log 22
a c -， 因为log 1a c >，所以3
log 22
a c +， 故1
log log log 222
a b a b c c +=
++，
当log log 12
a b b c ==+
时取等号，
所以log log a b b c +的最小值为2 21．已知函数()()121
,2121
x x x f x g x ++==--．
(1)利用函数单调性的定义，证明：函数()f x 在区间()0,∞+上是减函数； (2)若存在实数()1212,0x x x x <<，使得函数()f x 在区间[]12,x x 上的值域为
()()21,m m g x g x ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)()9,+∞
【分析】（1）根据函数单调性的定义按步骤证明即可；
（2）根据函数()2121
x x f x +=-的单调性，求出其值域，再结合函数()f x 在区间[]12,x x 上
的值域为()()21,m m g x g x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣
⎦，可得到相应的方程组，然后将问题变为1
2
12121x x m +=+--在()0,∞+上有两解的问题，采用换元法，利用一元二次方程在给定区间有解的条件解答
即可. (1)
f (x )212
12121
x x x +==+--，
任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则21221x x >>，
则()()(
)
(
)(
)
221
112
12222221121212121
x x x x x x f x f x -⎛
⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 由题设知21121120,20,220x x x x --->>>， 故()()()()(
)
21
1
2
1222202
121
x x x x f x f x --=
>--，
所以()()12f x f x >，
所以()f x 在区间()0,∞+上是减函数． (2)
由（1）知()f x 在区间()0,∞+上是减函数，
所以当120x x <<时，()f x 在区间[]12,x x 上单调递减，
所以函数()f x 在区间[]12,x x 上的值域为()()2121212121,,2121x x x x f x f x ⎡⎤
++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦
，
所以2221
111121
,2121
211.?2121x x x x x x m m ++⎧+=⎪⎪--⎨+⎪=+⎪--⎩ 所以
12
12121
x x m +=+--在()0,∞+上有两解， 所以()()()
22121210x x x
m ⋅-+--=在()0,∞+上有两解，
令21x t =-，则关于t 的方程()()2120t t mt ++-=在()0,∞+上有两解，
即()2
2520t m t +-+=在()0,∞+上有2解，
所以220,50,4(5)160,
m m >⎧⎪-⎪
>⎨⎪=-->⎪⎩，解得9m >， 所以m 的取值范围为()9,+∞．
22．已知函数()3
23,f x x x a x a =++∈R ．
(1)讨论函数()f x 的奇偶性；
(2)设集合()(){}{}1,,11M x
f x f x x N x x =+∈=-R ∣∣，若N M ⊆，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)[]1,1.-
【分析】（1）按参数a 分类讨论函数的奇偶性即可解决；
（2）把已知条件N M ⊆转化为[]()()1,1,1x f x f x ∀∈-+成立，是本题关键入手点，接下来按x 分类讨论去绝对值符号，保证新建函数最小值非负即可. (1)
0a =时，()3
2f x x x =+，
对()()()
()33
,()22x f x x x x x f x ∀∈-=-+-=-+=-R ，
所以()f x 是R 上的奇函数；
当a ≠0时，f (1)＝3＋3a ，f (1)3-=-＋3,a f (1)≠f (－1)，且f (1)≠－f (－1)， 所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数． (2)
因为N M ⊆，所以[]()()1,1,1x f x f x ∀∈-+， 即(x ＋1)3＋2(x ＋1)＋3a |x ＋1|≥3x ＋2x ＋3a |x |，
化简得2
11x x a x a x ++++，
因为[]1,1x ∈-，所以10x +，
所以()2
11x x a x a x ++++，
当[]0,1x ∈时，210x x a +++，所以()2
min 110x x a a +++=+，
所以1a -；
当[]1,0x ∈-时，()2
11x x a x ax ++++-，
即()2
2110x a x a ++++，
设()()2
211g x x a x a =++++，
()110g a -=-+，所以1a ，
[]1,1a ∈-时，()()010,10g a g =+-， ()()2211g x x a x a =++++的对称轴方程为21
2
a x +=-， 当21
12
a +-
-时，即112a 时， ()2211y x a x a =++++在：[]1,0-上单调递增，
所以()min ()10g x g =-成立； 当21
102
a +-<-
<，即1122a -<<时，()22(21)41430a a a +-+=-<成立，
所以()2
2110x a x a ++++恒成立；
当2102
a +-
，即1
12a --时，
()()2211g x x a x a =++++在[]1,0-上单调递减，()min ()010g x g a ==+， 综上a 的取值范围为[]1,1.-
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。