2018届高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教师用书 理

第二节 两条直线的位置关系
☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1
＝k 2。

特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行。

与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线，可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )。

(2)两条直线垂直：如果两条直线l 1、l 2斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。

与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可设为Bx －Ay ＋n ＝0。

2．两直线相交
(1)交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0的解一一对应。

(2)相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解。

(3)平行⇔方程组无解。

(4)重合⇔方程组有无数个解。

3．三种距离公式
(1)点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离为
|AB |＝x 2－x 1
2
＋y 2－y 1
2。

(2)点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为
d
(3)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离为d 4．对称问题
(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)。

(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y
2＝k ·x ′＋x
2＋b ，
可求出x ′，y ′。

微点提醒
1．对于直线l 1与直线l 2相互平行(垂直)的条件一定要注意其适用范围。

2．求解点到直线、两平行线间的距离时，注意直线方程要用一般式。

小|题|快|练
一 、走进教材
1．(必修2P 114B 组T 1)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0
D ．3x －4y －5＝0
【解析】 设所求直线上任一点的坐标为(x ，y )，关于x 轴的对称点的坐标(x ，－y )在已知的直线上，所以所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0。

故选B 。

【答案】 B
2．(必修2P 114A 组T 10改编)两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( )
A.23
5 B.2310 C ．7
D.72
【解析】 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0。

所以两条平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝7
2。

故选D 。

【答案】 D 二、双基查验
1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0
D ．x ＋2y －1＝0
【解析】 设与直线x －2y －2＝0平行的直线方程为x －2y －m ＝0，又直线过点(1,0)，所以1－m ＝0，m ＝1。

故选A 。

【答案】 A
2．若直线ax ＋y ＋5＝0与x －2y ＋7＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B.12 C ．－2
D ．－12
【解析】 直线ax ＋y ＋5＝0的斜率可记为k 1＝－a ，直线x －2y ＋7＝0的斜率可记为k 2
＝12，若两直线垂直，则k 1·k 2＝－1，即－1
2a ＝－1，得a ＝2。

故选A 。

【答案】 A
3．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________。

【解析】 在直线x －2y ＋1＝0上任取两点(1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，12，这两点关于直线x ＝1的对称
点分别为(1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
2，12，过这两点的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0。

【答案】 x ＋2y －3＝0
4．已知点A (3,2)和B (－1,4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________。

【解析】 由点到直线的距离公式可知 |3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|
a 2＋1。

解得a ＝－4或12。

【答案】 －4或1
2
5．(2016·呼和浩特模拟)点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离的最大值等于________。

【解析】 点P (－1,3)到直线l ：y ＝k (x －2)的距离为 d ＝3|k ＋1|1＋k 2＝3
1＋2k k 2
＋1，由于2k
k 2
＋1≤1，
当且仅当k ＝1时取等号， 所以d ≤32，
即距离的最大值等于32。

【答案】 3 2
12＝________。

(2)已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________。

【解析】 (1)直线l 1：ax ＋2y －6＝0的斜率为－a
2，在y 轴上的截距为3。

又因为直线l 1与直线l 2平行，所以直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0的斜率存在且等于－1
a －1，在y 轴上
的截距为－(a ＋1)。

由两直线平行得，－a
2＝－1
a －1且3≠－a －1，解得a ＝2或a ＝－1。

(2)解法一：∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，
即a
2＝－1，解得a ＝－2。

解法二：∵l 1⊥l 2，∴a ＋2＝0，a ＝－2。

【答案】 (1)2或－1 (2)－2 反思归纳
当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜
率不存在的特殊情况。

同时还要注意x 、y 的系数不能同时为零这一隐含条件。

在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。

【变式训练】 已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：
(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2。

【解析】 (1)解法一：当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1
不平行于l 2。

当sin α≠0时，k 1＝－1
sin α，k 2＝－2sin α。

要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±2
2。

所以α＝k π±π
4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等，在y 轴上截距不等。

故当α＝k π±π
4，k ∈Z 时，l 1∥l 2。

解法二：由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2
α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π
4，k ∈Z 。

又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1。

故当α＝k π±π
4，k ∈Z 时，l 1∥l 2。

(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z 。

故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2。

【答案】 (1)α＝k π±π
4(k ∈Z ) (2)α＝k π(k ∈Z )
12l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程。

【解析】 解法一：先解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，
得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53， 则直线l 的方程为y －2＝－5
3(x ＋1)， 即5x ＋3y －1＝0。

解法二：由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1， 故l 的方程为5x ＋3y －1＝0。

解法三：由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0。

其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，
代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0。

【答案】 5x ＋3y －1＝0 反思归纳 常用的直线系方程
(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；
(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R )；
(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋
C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R )，但不包括l 2。

【变式训练】 已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为__________。

【解析】 解法一：设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，
并且满足⎩⎪⎨⎪⎧
4x 0＋y 0＋3＝0，
－2－x 0－－y 0－5＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
x 0＝－2，y 0＝5，
因此直线l 的方程为y －2
5－2＝x －－
－2－－
，
即3x ＋y ＋1＝0。

解法二：设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0。

由⎩⎪⎨⎪⎧
kx －y ＋k ＋2＝0，
4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4。

由⎩
⎪⎨⎪⎧
kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3。

则－k －5k ＋4＋－5k －15
5k －3＝－2，解得k ＝－3。

因此直线l 的方程为y －2＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋1＝0。

【答案】 3x ＋y ＋1＝0
(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；
(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

【解析】 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过
P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，
此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2。

若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0。

由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝3
4。

此时l 的方程为3x －4y －10＝0。

综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0。

(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图。

由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1
k OP ＝2。

由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0。

所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线， 最大距离为|－5|
5＝5。

(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线。

【答案】 (1)x ＝2或3x －4y －10＝0 (2) 5 (3)不存在，理由见解析 反思归纳 利用距离公式应注意
1．点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； 2．两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等。

【变式训练】 (1)平行于直线3x ＋4y －2＝0，且与它的距离是1的直线方程为__________________。

(2)直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线
l 的方程。

【解析】 (1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠－2)， 则d ＝|－2－c |
32＋42＝1，解得c ＝3或c ＝－7， 所求直线方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0。

(2)当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在。

设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)，即kx －y －2k －5＝0，
则点A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －－－2k －5|k 2＋1＝|k －3|
k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1
＝|3k ＋11|k 2＋1， ∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝1
2， 解得k ＝－1或k ＝－17。

∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0。

【答案】 (1)3x ＋4y ＋3＝0或3x ＋4y －7＝0 (2)x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0
(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 对称的直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程。

【解析】 (1)设A ′(x ，y )，
再由已知
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0。

解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－33
13，y ＝413。

所以
A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3313，413。

(2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上。

设对称点为M ′(a ，b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1。

解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
613，3013。

设m 与l 的交点为N ，则由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －3y ＋1＝0，
3x －2y －6＝0，得N (4，3)。

又因为m ′经过点N (4,3)，
所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0。

(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，
则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，
因为P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0。

【答案】 (1)A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
－3313，413 (2)9x －46y ＋102＝0
(3)2x －3y －9＝0
反思归纳 1.关于中心对称问题的处理方法：
若点M x 1，y 1
及N
x ，y 关于P a ，b 对称，则由中点坐标公式得
(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求直线方程。

2．关于轴对称问题的处理方法： (1)点关于直线的对称
若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，而且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1
＋x 2
2＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
y 1
＋y 2
2＋C ＝0，y 2－y 1x 2
－x 1
·⎝ ⎛⎭⎪⎫
－A B ＝－1，
可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中
B ≠0，x 1≠x 2)。

(2)直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

【变式训练】 光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到
y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，则BC 所在的直线方程为
__________。

【解析】 作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，
D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)。

由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C 。

故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －1
1＋2， 即10x －3y ＋8＝0。

【答案】 10x －3y ＋8＝0
112a ＋1)y ＋3＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( )
A ．0或2
B ．0或－2
C ．2
D ．－2
解析 由l 1⊥l 2得(1－a )a ＋a (2a ＋1)＝0， ∴a ＝0或a ＝－2。

故选B 。

答案 B
2．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析 依题意，注意到直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是
⎩⎪⎨⎪⎧
－a
3＝－1a －2，
3a －2≠31，a ≠0，a －2≠0，
解得a ＝－1。

故选C 。

答案 C
3．(2017·衡阳模拟)若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p ＞0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )
A.1
a 2
＋1
b 2
＝1
p 2
B.1
a 2
－1
b 2
＝1p 2
C.1
a 2＋1
p 2＝1
b
2
D.1a 2p 2＝1
b 2
解析 由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2
，
∴1
a 2＋1
b 2＝1p 2。

故选A 。

答案 A
4．(2016·昆明模拟)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0
上，且线段AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，10a ，则线段AB 的长为________。

解析 依题意，a ＝2，P (0,5)，
设A (x,2x )，B (－2y ，y )，
由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，
解得x ＝4，y ＝2，
所以A (4,8)，B (－4,2)，
|AB |＝＋2＋－2＝10。

答案 10
5．(2016·抚顺模拟)已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)。

(1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标。

(2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程。

解析 (1)直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，
由⎩⎪⎨⎪
⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，
所以直线l 恒过定点(－2,3)。

(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，
当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大。

又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，
所以直线l 的斜率k l ＝－5。

故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，
即5x ＋y ＋7＝0。

答案 (1)直线l 恒过定点(－2,3)
(2)5x ＋y ＋7＝0。