广东对外贸易大学附中2022年高三数学一轮复习单元能力提升练习：推理与证明

广东对外贸易大学附中2022年高三数学一轮复
习单元能力提升练习：推理与证明
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时刻120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观看下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=依照上述规律，333333123456+++++=( )
A ． 219
B ． 220
C ． 221
D ． 222 【答案】C
2．给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.下列函数中不满足其中任何一个等式的是( )
A ．()3x f x =
B ．()sin f x x =
C ．2()log f x x =.
D ． ()tan f x x = 【答案】B
3．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P 的轨迹为椭圆 B ．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n 项和Sn 的表达式
C ．由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆22
221x y a b
+=的面积S=πab
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 【答案】B
4．关于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，如此反复操作，则第2021次操作后得到的数是( )
A ．25
B ．250
C ．55
D ．133
【答案】D
5．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a b c ，，中至少有一个是偶数”正确的假设为( )
A ．a b c ，，差不多上奇数
B ．a b c ，，差不多上偶数[来源:1]
C ．a b c ，，中至少有两个偶数
D ．a b c ，，中至少有两个偶数或差不多上奇数 【答案】A
6．已知数列{}n a 中,11,a =前n 项和为n S ，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线
10x y -+=上，则123
111
1
n
S S S S +++
+
=( ) A ． 21
n
n + B ．2(1)n n +
C ． (1)
2
n n + D ．2(1)n n +
【答案】A
7．用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么不管如何染，至少有5个球是同色的。

其假设应是( )
A ．至少有5个球是同色的
B ．至少有5个球不是同色的
C ． 至多有4个球是同色的
D ．至少有4个球不是同色的
【答案】C
8．设n 为正整数，n
n f 13
12
1
1)(++++= 经运算得，2
3)2(=f ，
27
)32(,3)16(,25)8(,2)4(>>>
>f f f f 观看上述结果，可估量出一样结论( ) A ．212)2(+>n n f B ． 22
)(2+≥n n f
C ． 22)2(+≥n f n
D ． 2
2
)2(+>n f n
【答案】C
9．设实数,,a b c 都大于0，则3个数：1
a b +，1b c +，1c a
+的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2 D ．至少有一个不小于2
【答案】D
10．设∈c b a ，，（0，+∞），则三个数b a 1+，c b 1+，a
c 1
+的值( ) A ．都大于2 B ．都小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2 【答案】D
11．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A ．某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此估量各班人数都超过50人；
B ．由三角形的性质，估量空间四面体的性质；
C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，因此菱形的对角线互相平分；
D ．在数列}{n a 中，)1(21,1111--+=
=n n n a a a a ，由此归纳出}{n a 的通项公式.
【答案】C 12．求形如()()g x y
f x 的函数的导数，我们常采纳以下做法：先两边同
取自然对数得：ln ()ln ()y g x f x ,再两边同时求导得
'''11
()ln ()()()()
y g x f x g x f x y f x =+，因此得到：'''1
()[()ln ()()()]()
y f x g x f x g x f x f x ，运用此方法求得函数1x
y
x 的一个单调递
增区间是( )
A ．(e,4)
B ．(3,6)
C ．(0,e)
D ．(2,3) 【答案】C
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．设A 、B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x|x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B}，已知A ＝{x|y ＝2x －x2}，B ＝{y|y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝
【答案】[0,1]∪(2，＋∞) 14．设函数()(0)2
x
f x x x =
>+,观看:[来源:1ZXXK] 依照以上事实，由归纳推理可得： 当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .
【答案】
n
n x x
2)12(+-
15．图（1）～（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”,则()(1)f n f n --= ____________．（答案用含n 的解析式表示）
【答案】4(1)n -
16．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则
10____a =。

【答案】1000
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．若,0x y >且2x y +>，求证
12x y +<和12y
x
+<中至少有一个成立。

【答案】假设12x y +≥且12y
x
+≥，则12,12x y y x +≥+≥ 因此 ()()1122x y y x +++≥+，即2x y +≤，与题设矛盾。

因此假设不成立，原命题成立。

18．观看（1）170tan 15tan 70tan 5tan 15tan 5tan =︒︒+︒︒+︒︒ (2）155tan 10tan 55tan 25tan 25tan 10tan =︒︒+︒︒+︒︒ (3）140tan 30tan 40tan 20tan 30tan 20tan =︒︒+︒︒+︒︒
由以上三式成立，推广到一样结论，写出一样结论，并证明。

【答案】由以上三式中的三个角分别为（1）5°,15°,70°它们的和为90°（2）10°，25°，55°它们的和为90°（3）20°，30°，40°它们的和为90°，
可归纳出：若γβα,,都不为)(2
Z k k ∈+π
π，且2
π=γ+β+α 则：1tan tan tan tan tan tan =γβ+γα+βα[来源:学&科&网]
证明如下：[来源:学*科*网]
若π=γk ，)(Z k ∈则结论明显成立。

若π≠γk ，)(Z k ∈由2
π=γ+β+α得：γ-π=β+α2
则：γγ=γ-π=β+αtan 1
cot )2tan()tan(
又β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+
则：βα-=β+αtan tan 1tan )tan (tan
则：1tan tan tan tan tan tan =γβ+γα+βα
19．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。

求证：0)(=x f 无整数根。

【答案】假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈
而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数‘
或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。

()0f x ∴=无整数根。

20．ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：
c
b a
c b b a ++=
+++3
11 【答案】要证原式，只要证3,1a b c a b c c a
a b b c a b b c
+++++=+=++++即
即只要证222,c a b ac +=+
而0
2,60A C B B +==由余弦定理，有cosB=
222122
a c
b a
c +-= 整理得222,c a b ac +-=
因此结论成立，即c
b a
c b b a ++=
+++3
11 21．设,0,0,0>>>z y x
(Ⅰ）比较2x x y +与34
x y
-的大小；
(Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：3332
x y z xy yz zx
x y y z z x ++++≥+++． 【答案】（Ⅰ）0)(4)(4322≥+-=--+y x y x y x y x x ，∴234x x y
x y -≥+ . (Ⅱ）由（1）得.4
323xy
x y x x -≥+ 类似的3234y y yz y z -≥+，3234
z z zx
z x -≥+， 又2222
221[()()]02
x y z xy yz zx y z z x ++-++=+-+-≥（）（x-y ）；
22．.4
1
x )z 1(,z )y 1(,y )x 1(:).1,0(z ,y ,x :不可能都大于求证已知---∈
【答案】假设三个式子都大于41
，
即（1-x ）y >41, (1-y)z>41, (1-z)x>4
1
,
三个式子相乘得:
(1-x ）y · (1-y)z ·(1-z)x>
3
41
① ∵0<x<1 ∴x(1-x)≤(2x 1x -+)2=4
1
同理:y(1-y)≤41, z(1-z)≤4
1
,
∴（1-x ）y · (1-y)z ·(1-z)x ≤34
1
②[来源:Zxxk ]
明显①与②矛盾,因此假设是错误的,故原命题成立.。