成都四七九自主招生试卷及答案

成都石室中学2012年外地生入学考试数学试卷
注意：全卷分 卷和Ⅱ卷，全卷满分 分 分钟完成．
第 卷（共 分）
一、选择题（本大题共 个小题，每题 分，共 分）
．已知实数 ， 满足以2-x （ ）2 ，则 等于
． ． ． ．
．若实数 、 、 满足 ，且 ，则函数 的图象可能是（ ）
． ． ． ．
．下列四个多项式：①
2 2；② 2一 2；③ 2；④ 2 2，其中能用平方差公式分解因式的有
．①② ．①③ ．②④ ．②③
．若不等式组⎩⎨⎧+m x x x ＞＜2-47的解集是 ，则 的取值范围是
． ． ≤ ． ≥ ．
．如图，表示阴影区域的不等式组为
．已知抛物线 ： 2
，将抛物线 平移得到抛物线 ，若两条抛物线 ， 关于直线 对称，则下列平移方法中，正确的是 ．将抛物线 向右平移25
个单位 ．将抛物线 向右平移 个单位
．将抛物线 向右平移 个单位 ．将抛物线 向右平移 个单位
．假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给 个同学，假设每通知一个同学需要 分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为
分钟 ． 分钟 ． 分钟 ． 分钟
．已知 1-x x -5（ ， 均为实数），则 的最大值与最小值的差为（ ） ． 2 ． 2 ．3 2 ． 2
．如图，用邻边长分别为 ）的矩形硬纸板裁出以 为直径的两个半圆，再截除与矩形的两个半圆均相切的两个小圆，把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则 与 满足的关系式是
如果关于 的方程 2 2
至少有一个正根，则实数 的取值范
围是 ．3 ≤ ． 3 ≤ ． 3≤ ≤ 第Ⅱ卷（共 分）
二、填空题（本大题共 个小题，每小题 分，共 分）
．函数 2-x 3x 1
-有意义，则 的取值范围是
已知一组数据 ， ， ， ， ， 的中位数是 ，那么 的值等于
．已知 2 ，那么代数式 3 的值是
如图， ， 分别是平行四边形 的边 ， 上的点， 与 相交于点 ，
与于点 ，若 APD △ 2， BQC △ 2，则阴影部分的面积为 2
已知直线 经过正方形 的顶点 ，过点 和点 分别作直线 的垂线 和 ，为点 ，点 ，如果 ， ，那么
．已知 ， ， 是三个非负实数，满足 ， ，若 ，则 的最小值的和为
三、解答题（本大题共 小题，计 分，写出必要的推算或演算步骤．）
． 分 根据题意回答下列问题：
如果（ 一 ）2 ，其中 ， 为有理数，那么 ，
如果（ 2） 一（ 一2） ，其中 ， 为有理数，求 的值 ．（ 分）逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校 年校园文化
一一环境文化建设的重点项目之一，该项目 年 月 日正式动工，经过四个多月的紧张施工，于 年 月 日竣工。

若该工程拆除旧设施每平方米需 元，建造新设施每平方米需要 元 计划拆除旧设施与建造新设施共 平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建设施只完成了计划的 而拆除旧设施则超过了计划的 ，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．
求原计划拆、建面积各是多少平方米？
若绿化 平方米需要 元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？
（ 分）已知 2 ，若 为整数，在使得 为完全平方数的所有 的值中，设 的最大值为 ，最小值为 ，次小值为 ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）
求 ， ， 的值；
对 ， ， 进行如下操作：任取两个求其和再除2，同时求其差再除以2，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于 证明你的结论
（ 分）已知：如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 上一点， ⊥ 于点 ，
过点 作⊙ 的切线，交 的延长线于点 ，连结
求证： 与⊙ 相切；
连结 并延长交 于点 ，若 ∠ 32
，求 的长．
（ 分）已知：在 △ 中，∠ °， ，∠ °。

， 是边 上的中线，直线 ， 是边 延长线上一点， 交直线 于点 ，将△ 沿 翻折得△ ，射线 交直线 于点 ．
如图 ，当 ⊥ 时，求 的值；
如图 ，当点 在点 的右侧时；
①求证：△ ∽△
②设 ，△ 的面积为 ，求 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围； 如果△ 的面积为 3，求 的长，
（ 分）如图， ∥ ， ∥ ， ， 分别是 和 的中点，过 的直线依
次交 ， ， ， 于点 ， ， ， ，求证：
．（ 分）如图，已知抛物线 41 2 41 41
（ 是实数且 ）
与 轴正半轴分别交于点 ， 点 位于点 的左侧 ，与 轴正半轴交于点 ．
求 ， 两点的坐标（用含 的代数式表示）；
请你探索在第一象限内是否存在点 ，使得四边形 的面积等于 ，且△ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由；
请你进一步探索在第一象限内是否存在点 ，使得△ ，△ 和△ 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况） 如果存在，求出点 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
成都石室中学 年外地生入学考试数学试卷
一、选择题（本大题共 个小题，每题 分，共 分）
二、填空题（本大题共 个小题，每小题 分，共 分）
≥ 且 ≠ 或
三、解答题（本大题共 小题，计 分，写出必要的推算或演算步骤．）
解： ，一 ；……………………………………………………（ 分） 整理，得 2 （ 一 — ） ．…………………………（ 分）
∵ 、 为有理数 ∴⎩
⎨⎧=--=+0520b a b a …………………………………（ 分） 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==35
35b a …………………………………………………………（ 分） ∴ －35
……………………………………………………………（ 分） 解： 由题意可设拆除旧设施 平方米，建造新设施 平方米，
则
⎩⎨⎧=+=+90009.01.19000y x y x ⇒⎩⎨⎧==45004500y x 答：原计划拆、建各 平方米．…………………（ 分）
计划资金 1 × 元
实用资金 2 × × × ×
元
∴节余资金： 元
∴可建绿化面积 200324000
平方米
答：可绿化面积 平方米． ……………………………………（ 分）
解： 设 2 2（ 为非负整数），则有 2 2 ，由 为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出），即 2 2
为非
负整数
得 （ ） ，显然： ．………………………… 分）
所以⎩⎨⎧=-=+12152p k p k 或……⎩
⎨⎧=-=+3252p k p k ，解得 或 ，……………………… 分
所以 21p
±-，得： 1 ， 2 ， 3 4 所以
…… 分
（ ）因为（2b
a +）2 （
2b a -）2 2 2 2 2 即操作前后，这三个数的平方和不变………………………………………（ 分） 而 2 2十 2
≠
所以，对 进行若干次操作后，不能得到 ．……………………（ 分） ． 证明：连结
∵ 与⊙ 相切， 为切点．
∴∠ °．
∵ ，
∴∠ ∠
∵ ⊥
∴
∵直线 是线段 的垂直平分线．
∴
∴∠ ∠
∴∠ ∠
∴∠ °． ∵ 是⊙ 的直径．
∴ 与⊙ 相切………………………………………………………………（ 分） 解：过点 作 ⊥ 于点 ，则 ∥
在 △ 中，
∵∠ °， ∠ 32
， ∴ ． ∠ ．
由勾股定理得 22-OD OB 5 ………（ 分）
在 △ 中，同理得
· ∠ 5 22-DM BD ……………………（ 分）
∵ 是 的中点， ∴ ． ∴ ．
∵ ∥ ，∴△ ∽△ ∴BF MD AB AM
∴ AM AB MD · 13536 ………（ 分）
（ ）解：∵∠ °， ，
∴ ………………………………………………
（ 分）
∵∠ °，∴∠ ∠ °，
∠ °，
∵ ∴ ………………………（ 分）
∵ ∥ ，∴∠ ∠ ° 又∵ ⊥ ，∴∠ ° ∴∠ ° ∴∠ °
∴∠ ∠
………………………………………………（ 分）
①证明：由翻折，得∠ ∠ °， ∴∠ ∠
∴ ∥ ∴∠ ∠ ………………………………………………（ 分）
∵ ∥ ，∴∠ ∠
又∵∠ ∠ ，∴∠ ∠
∵∠ ∠ ∴△ ∽△ …………………………………………（ 分）
②解：由△ ∽△ ，得BD BF BG BD
由 ，可得 ∴4x BG 4 ∴ x 16
又∵点 到直线 的距离为 3， ∴ 21 x 16
· 3，即 x 3
16 3
的取值范围为： ＜ ＜ ………………………………………………………（ 分）
解：①当点 在点 的右侧时，由题意，得 3 x 3
16 3
整理，得 2
解得 1 ， 2 （不合题意，舍去） ………………（ 分） ②当点 再点 的左侧时，由题意，得
3 3 x 316 整理得
2 解得
3
4 不合题意，舍去 ………………………………………………（ 分）
综合所述 的值为 或
证明：延长 、 。

设交点为 ，则四边形 为平行四边形
∵ 是 的中点，∴ 的延长线必过 点，且OG DG 31
………（
分）
∵ ∥ ，∴PN MN DN AN
∵ ∥ ，
∴
DN CQ
PN PQ = …………………………………………………………（ 分） ∴PN MN PN PQ DN AN DN CQ DN CQ AN + 又OQ DN OG DG
31 ∴
………（ 分）
∴ ， ，于是， ，
∴
PN
MN
PN
PQ
DN
CQ AN + ，即
………………………………………（ 分）
解：（ ） ， ， （ ，4b
）；………………………………………………………
（ 分）
（ ）假设存在这样的点 ，使得四边形 的面积等于 ，且△ 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形 设点 坐标（ ），连接 ，
则 PCOB 四边形 PCO △ POB △ 21·4b · 21
· · ∴
过 作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，垂足分别为 、 ，∴∠ ∠ ∠ °， ∴四边形 是矩形，∴∠ °
∵△ 是等腰直角三角形，∴ ，∠ ° ∴∠ ∠ ∴△ ≅△ ∴ ，即 ………………………………………（ 分）
由⎩⎨
⎧=+=164y x y
x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==526526
y x
由△ ≅△ 得 ，即516 4b 516 解得 25128
＞ 符合题意 ∴点 坐标为（516，516
） ………………………………………………（ 分）
（ ）假设存在这样的点 ，使得△ 、△ 和△ 种的任意两个三角形均相似
成都石室中学外地生初升高入学考试数学试
题
姓名： 得分：
考试时间： 分钟 满分： 分
一、选择题：（每小题 分，共 分）
．某产商品降价 后，欲恢复原价，则提价的百分数为（ ） ．
．
．
．
．小于 既不能被 整除，又不能被 整除的正整数的个数为（ ） ．
．
．
．
．三角形三条高的长度分别为 、 、 ，则三边长都取最小整数时，最短边的长度
为（ ）
．
．
．
．
．方程
223
39
37x x x x +-
=+-的全体实数根之积为（ ）
． ．－
．
．－
．若
11,x x -
=则
331x x -的值为（ ） ．
．
．
．
．已知抛物线
2
y ax bx c =++的图象经过 ， 两点，对称轴是,||1x k k =≤，则a 的取值范围是（ ）
．3
35a ≤≤
．3a ≥
．
3
5a ≤
．0a <
．已知2
513n n ++是完全平方数，则自然数n （ ）
．不存在 ．仅有一个 ．不只一个，但有有限个 ．有无穷多个
．0αβ+≠满足2310,αα+-=2310,ββ--=且
21,3αβαβ≠+的值为（ ） ．
．
．－
．
．实数,x y 满足方程
2222310,x y xy x y y +-+-+=则最大值为（ ） ．1
2 ．32 ．34-
．不存在
．抛物线
2
(0),y ax bx c a y P x =++>与轴交于点与轴交于不同两点,A B ，且 ||OA ||||23OB OP =
，则b 的所有可能值的乘积为（ ） ．72916
．94-
．92-
．8164
二、填空题（每小题 分，共 分） ．
设
,a b a =+其中为正整数，且01,b << 则
a b
a b +=
-
7
．已知,()()2a b y x c x c d x =----是抛物线与轴交点的横坐标，,a b <则化简
||||a c c b -+-的结果为 b a -
已知2y x =则y 的最大值为 978
已知点(1,2)(3,4),A 和点在坐标轴上有一点P ，使,PA PB P +最小则点的坐标为
5(0,)2
．
在
,,25,4,ABC AD BAC AB BD AC CD AD ∆∠+=-==中是的平分线若则
三、解答题：（共 分）
（本题满分
分）已知1,2,,,b c a b c α===那么的大
小关系如何 ？ c a b >>
（本题满分 分）实数,,0,0,a b c a b c ++=都不为且求
11()a b b c ++11()c a + 11()c a b +的值
3-
（本题满分 分）若关于x 的方程221
1k x kx x x x
x +-=
--只有一个解，求k 的值与方程的解
（本题满分 分）某新建储油罐装满油后，发现底部向外漏油，为安全并减少损失，需将油抽干后进行维修 现有同样功率的小型抽油泵若干台，若 台一起抽需 个小时抽干， 台一起抽需 小时抽干，要在 小时内将油罐抽干，至少需要多少台油泵一起抽？
（本题满分 分）已知开口向下的抛物线
2
812,y ax ax a x A B =-+与轴交于两
点 点A在点B的左侧 抛物线上在第一象限另有一点C 且使OCA
∆∽OBC
∆ 求
BC
OC
AC
长及的值
；
设直线
BC y
与轴交于P点 当C BP
是的中点时，求直线BP和抛物线的解析式
本题满分 分 已知
,
AO AEF EF
∆
是等腰的底上的高有,
AO EF
=延长AE到B 使,
BE AE
=过点,,
B AF C
作的垂线垂足为
求证：点O ABC
∆
是的内心。