南阳市第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南阳市第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC 中，若2cosCsinA=sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
2． 如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
3． 已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，使得2
π
=
∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x x
x f 3log 4
)(-=
在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）
A ．)(q p ⌝∧
B ．q p ∧
C ．q p ∧⌝)(
D ．q p ∨⌝)( 4． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 不等式≤0的解集是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）
B ．[﹣1，2]
C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
D ．（﹣
1，2]
6． 已知集合A={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A ∪B 等于（ ）
A ．{﹣1，0，1，2，4}
B ．{﹣1，0，2，4}
C ．{0，2，4}
D ．{0，1，2，4}
7． 已知全集为R ，集合{}
|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()
R A B =ð（ ）
A ．{}2,0,2-
B ．{}2,2,4-
C ．{}2,0,3-
D ．{}0,2,4 8． 若关于x 的不等式07|2||1|>-+-++m x x 的解集为R ，则参数m 的取值范围为（ ） A ．),4(+∞ B ．),4[+∞ C ．)4,(-∞ D ．]4,(-∞
【命题意图】本题考查含绝对值的不等式含参性问题，强化了函数思想、化归思想、数形结合思想在本题中的应用，属于中等难度.
9． 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A ．
=
B ．∥
C ．
D ． 10．双曲线
E 与椭圆C ：x 29＋y
23＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
为π，则E 的方程为（ ） A.x 23－y 2
3＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 25－y 2
＝1 D.x 22－y 2
4
＝1 11．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（ ）
A ．48
B ．±48
C ．96
D ．±96
12．已知函数f （x ）=2ax 3﹣3x 2+1，若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（0，1） C ．（﹣1，0）
D ．（﹣∞，﹣1）
二、填空题
13．设实数x ，y 满足
，向量=（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．若∥，则实数m 的最大值
为 ． 14．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
15．下列说法中，正确的是 ．（填序号）
①若集合A={x|kx 2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x 与y=2﹣x 的图象关于y 轴对称； ③y=（
）﹣x
是增函数；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0．
16．在数列中，则实数a=，b=．
17．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=．
18．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为．
三、解答题
19．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．
20．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
21X
（I）求该运动员两次都命中7环的概率；
（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．
22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O 为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．
23．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）若，∈，试比较与的大小。

24．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上任意一点P（x，y）变换为点P（2x+y，3x）．（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M﹣1；
（Ⅱ）求曲线4x+y﹣1=0在矩阵M的变换作用后得到的曲线C′的方程．
南阳市第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵A+B+C=180°，
∴sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+sinCcosA=2cosCsinA ， ∴sinCcosA ﹣sinAcosC=0，即sin （C ﹣A ）=0， ∴A=C 即为等腰三角形． 故选：D ．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查和角的三角函数，比较基础．
2． 【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD 与四面体OABC 一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥；对于③取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r ，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3， ∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD 与四面体OABC 一样时，即取CD=3，AD=BD=2 此时点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD ，此时存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB ，AD=BD ，此时CD 垂直面ABD ，即存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等，故③正确； 先找到四面体OABC 的内接球的球心P ，使半径为r ，只需PD=r 即可 ∴存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上，故④正确 故选D 3． 【答案】A 【解析】
试题分析：命题p ：2
π
=
∠APB ,则以AB 为直径的圆必与圆()
()1132
2
=-++y x 有公共点,所以
121+≤≤-n n ,解得31≤≤n ,因此,命题p 是真命题.命题：函数()x
x
x f 3log 4-=
，()0log 144
3<-=f ,()0log 3
4
333>-=
f ,且()x f 在[]4,3上是连续不断的曲线,所以函数()x f 在区间()4,3内有零点，因此,命题是假命题.因此只有)(q p ⌝∧为真命题．故选A ．
考点：复合命题的真假．
【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P 满足2
π
=
∠APB ,因此在以AB 为直径的圆上,又点P 在圆
1)1()3(22=-++y x 上，因此P 为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数
x x
x f 3log 4
)(-=是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.
4． 【答案】D
【解析】解：∵正△ABC 的边长为a ，∴正△ABC 的高为
，
画到平面直观图△A ′B ′C ′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，
∴△A ′B ′C ′的高为=
，
∴△A ′B ′C ′的面积S==
．
故选D ．
【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
5． 【答案】D
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x ≤2， 故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．
6． 【答案】A
【解析】解：∵A={﹣1，0，1，2}，B={0，2，4}， ∴A ∪B={﹣1，0，1，2}∪{0，2，4}={﹣1，0，1，2，4}．
故选：A ．
【点评】本题考查并集及其运算，是基础的会考题型．
7． 【答案】A 【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 8． 【答案】A
9． 【答案】D
【解析】解：由图可知，，但
不共线，故
，
故选D ．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
10．【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，
渐近线方程为y ＝±b
a x ，即bx ±ay ＝0，
由题意得E 的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即
|6b |b 2
＋a
2
＝1，
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝5，
∴E 的方程为x 25－y 2
＝1，故选C.
11．【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{a n }中，a 1=3，公比q=2， ∴a 2=3×2=6，
=384，
∴a
2和a 8的等比中项为=±48．
故选：B ．
12．【答案】D
【解析】解：若a=0，则函数f （x ）=﹣3x 2
+1，有两个零点，不满足条件．
若a ≠0，函数的f （x ）的导数f ′（x ）=6ax 2
﹣6x=6ax （x ﹣），
若 f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
若a ＞0，由f ′（x ）＞0得x ＞或x ＜0，此时函数单调递增，
由f ′（x ）＜0得0＜x ＜，此时函数单调递减，
故函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （），若x 0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件．
若a ＜0，由f ′（x ）＞0得＜x ＜0，此时函数递增，
由f ′（x ）＜0得x ＜或x ＞0，此时函数单调递减，
即函数在x=0处取得极大值f （0）=1＞0，在x=处取得极小值f （）， 若存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
则f （）＞0，即2a （）3﹣3（）2
+1＞0，
（）2
＜1，即﹣1＜＜0，
解得a ＜﹣1， 故选：D
【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．
二、填空题
13．【答案】 6 ．
【解析】解：∵ =（2x ﹣y ，m ），=（﹣1，1）．
若∥， ∴2x ﹣y+m=0， 即y=2x+m ，
作出不等式组对应的平面区域如图： 平移直线y=2x+m ，
由图象可知当直线y=2x+m 经过点C 时，y=2x+m 的截距最大，此时z 最大．
由
，
解得，代入2x﹣y+m=0得m=6．
即m的最大值为6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．
14．【答案】2．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．15．【答案】②④
【解析】解：①若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一个元素，则k=1或k=0，故错误；
②在同一平面直角坐标系中，y=2x与y=2﹣x的图象关于y轴对称，故正确；
③y=（）﹣x是减函数，故错误；
④定义在R上的奇函数f（x）有f（x）•f（﹣x）≤0，故正确．
故答案为：②④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了集合，指数函数的，奇函数的图象和性质，难度中档．
16．【答案】a=，b=．
【解析】解：由5，10，17，a﹣b，37知，
a﹣b=26，
由3，8，a+b，24，35知，
a+b=15，
解得，a=，b=；
故答案为：，．
【点评】本题考查了数列的性质的判断与归纳法的应用．17．【答案】﹣5．
【解析】解：求导得：f′（x）=3ax2+2bx+c，结合图象可得x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0，
故，解得
故==﹣5
故答案为：﹣5
18．【答案】．
【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，
∴a2﹣4a＞0，
解得a＞4，
∵a是正整数，
∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：∵AC=BC=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=CM，CM⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，
∴EM2+MC2=EC2，
∴CM⊥EM；
（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，
则MC与平面EAC所成的角为45°．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=﹣1﹣=，
∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a＜．
21．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P（A）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10
且P（ξ=7）=0.04，
P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，
P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，
所以A1O⊥AC．
又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，
交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，
所以A1O⊥平面ABC．
（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，
令y=1，得所以．
．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．
（Ⅲ）设，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
23．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由
所以
（2）由（1）和，
所以
故
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为P′（x′，y′），
则即=，
∴M=．
又det（M）=﹣3，
∴M﹣1=；
（Ⅱ）设点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下所得的点为A′（x′，y′），
则=M﹣1=，
即，
∴代入4x+y﹣1=0，得，
即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．
【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．。