2019-2020年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷含解析(IV)

2019-2020年高三上学期第一次模拟数学（理）试卷含解析(IV)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
2．已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，则A∩∁R B=（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）
3．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1
4．如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）
A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6
5．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C． D．
6．定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m （m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．πC．D．π
7．已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2B．3 C．5D．5
9．若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，
则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）
A．B．C．D．
10．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）A．26 B．32 C．36 D．48
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．已知α∈（π，2π），cosα=﹣，tan2α= ．
12．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为．
13．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： 23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．
14．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是．
15．抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．
17．已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m恒成立，求m
的最大值．
18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结
果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
19．如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA ∥PO，DA=AO=PO．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．
20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
21．在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y 轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．
2015年山东省威海市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知i是虚数单位，若z（1+3i）=i，则z的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解答：解：由z（1+3i）=i，得，
∴z的虚部为．
故选：A．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．已知集合A={x|x2≥1}，B={x|y=}，则A∩∁R B=（）
A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．
解答：解：由A中不等式解得：x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
由B中y=，得到1﹣log2x≥0，即log2x≤1=log22，
解得：0＜x≤2，即B=（0，2]，
∴∁R B=（﹣∞，0]∪（2，+∞），
则A∩∁R B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），
故选：B．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
3．设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y=2 B．x+y＞2 C．x2+y2＞2 D．xy＞1
考点：充要条件．
分析：先求出的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件．
解答：解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x=3，y=﹣10满足x+y≤2当不满足
所以是x+y≤2的充分不必要条件．
所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．
故选B
点评：本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例．4．如图程序框图中，若输入m=4，n=10，则输出a，i的值分别是（）
A．12，4 B．16，5 C．20，5 D．24，6
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，a的值，当a=20时，满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．
解答：解：模拟执行程序，可得
m=4，n=10，i=1
a=4，
不满足条件n整除a，i=2，a=8
不满足条件n整除a，i=3，a=12
不满足条件n整除a，i=4，a=16
不满足条件n整除a，i=5，a=20
满足条件n整除a，退出循环，输出a的值为20，i的值为5．
故选：C．
点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的i，a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
5．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C． D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．
解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．
∴双曲线的渐近线方程为y=±3x
∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，
此时，离心率e==．
故选：C．
点评：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
6．定义：|=a1a4﹣a2a3，若函数f（x）=，将其图象向左平移m （m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）
A．B．πC．D．π
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由题意可得解析式f（x）=2sin（x﹣），平移后所得到的图象解析式可求得y=2sin （x+m﹣），由m﹣=kπ+，k∈Z，即可求m的最小值．
解答：解：由题意可得：f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），
将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y=2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣=kπ+，k∈Z，
故解得：m（m＞0）的最小值是．
故选：B．
点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．
7．已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．解答：解：∵函数f（x）=，
则y=f（2﹣x）=，
故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，
故选：A．
点评：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．
8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2B．3 C．5D．5
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积．
解答：解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；
且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，
球的半径为×=；
∴该组合体的体积为
V=V三棱柱+V球=×2××5+π×=5+π．
故选：D．
点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
9．若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，
则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（）
A．B．C．D．
考点：几何概型；简单线性规划．
专题：应用题；概率与统计．
分析：利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．
解答：解：画出不等式组表示的平面区域，
∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，
∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．
∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个
其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个
则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．
故选：D．
点评：本题考查了古典概型概率的计算方法，乘法计数原理，分类计数原理，属于基础题10．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且•=2，∠BAC=30°若△MBC，△MAB，△MCA的面积分别为x，y，z，记f（x，y，z）=++，则f（x，y，z）的最小值为（）
A．26 B．32 C．36 D．48
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：综合题；不等式的解法及应用．
分析：先由条件求得AB•AC=4，再由S△ABC=AB•AC•sin30°=1，可得x+y+z=1．再由f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z），利用基本不等式求得它的最小值．
解答：解：∵•=2，∠BAC=30°，
∴AB•AC•cos30°=2，∴AB•AC=4．
∵S△ABC=AB•AC•sin30°=1=x+y+z．
∴f（x，y，z）=++=（++）（x+y+z）
=1+4+9++++++≥14+4+6+12=36，
即f（x，y，z）=++的最小值为36，
故选：C．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．已知α∈（π，2π），cosα=﹣，tan2α= ﹣．
考点：二倍角的正切．
专题：三角函数的求值．
分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
解答：解：∵α∈（π，2π），cosα=﹣，
∴sinα=﹣=﹣，tanα==2，
∴tan2α===﹣，
故答案为：．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．
12．采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8 ．
考点：系统抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=12n﹣9，由496≤12n﹣9≤600，求得正整数n的个数，即为所求．
解答：解：∵600÷50=12，
∴由题意可得抽到的号码构成以3为首项、以12为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为a n=3+12（n﹣1）=12n﹣9．
落入区间[496，600]的人做问卷C，
由 496≤12n﹣9≤600，
即505≤12n≤609
解得42≤n≤50．
再由n为正整数可得 43≤n≤50，
∴做问卷C的人数为50﹣43+1=8，
故答案为：8
点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．
13．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9 ．
考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），累加由等差数列的求和公式可得a m，验证可得．
解答：解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，
设m3的“分裂”数中第一个数为a m，
则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，
a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，
…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），
以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），
∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，
∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个
故答案为：9
点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题．14．已知偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣，且当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，若在区
间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，则实数a的取值范围是[5，+∞）．
考点：抽象函数及其应用；函数的零点与方程根的关系．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：根据f（x+1）=﹣，可得f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函
数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得函数在[﹣1，3]上的解析式．根据题意可得函数y=f （x）的图象与y=log a（x+2有4个交点，即可得实数a的取值范围．
解答：解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣，故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期为2的周期函数．
再由f（x）是偶函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，可得当x∈[0，1]时，f（x）=x2，
故当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2 ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x﹣2）2．
由于函数g（x）=f（x）﹣log a（x+2）有4个零点，故函数y=f（x）的图象与y=log a（x+2）有4个交点，
所以可得1≥log a（3+2），
∴实数a的取值范围是[5，+∞）．
故答案为：[5，+∞）．
点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15．抛物线y2=12x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为．
考点：抛物线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用抛物线的定义得出PM垂直于抛物线的准线，设M（﹣3，m），则P（9，m），求出△PMF的边长，写出有关点的坐标，得到外心Q的坐标，△FPM的外接圆的半径，从而求出其方程．
解答：解：据题意知，△PMF为等边三角形，PF=PM，
∴PM⊥抛物线的准线，F（3，0）
设M（﹣3，m），则P（9，m），等边三角形边长为12，如图．
在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐标为（3，±4）．则△FPM的外接圆的半径为4，
∴则△FPM的外接圆的方程为．
故答案为：．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力
三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．
（Ⅰ）求A，B，C；
（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求A，B，C；
（Ⅱ）通过S△ABC=3+，以及正弦定理即可求a，c．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，
∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即 sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，
得 sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．
∴C﹣A=B﹣C，或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）．
即 2C=A+B，得，
∴，
∵，
则，或（舍去）
∴．
（Ⅱ）∵
又∵，
即，
∴．
点评：本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．
17．已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m恒成立，求m 的最大值．
考点：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）法一：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式．
（Ⅰ）法二：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式．
（Ⅱ）求出，利用错位相减法求出，转化T n≥m恒成立，为
（T n）min≥m，通过{T n}为递增数列，求解m的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）
∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，
即4a3=a1，于是，∵q＞0，∴；
∵a1=1，∴．
（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）
当q=1时，不符合题意；
当q≠1时，，
∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，
∵q＞0，∴，
∵a1=1，∴．
（Ⅱ）∵，∴，∴，
∴（1）
∴（2）
∴（1）﹣（2）得：
=∴
∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m
∵
∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，
∴m≤1，∴m的最大值为1．
点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力．
18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结
果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．
解答：解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k 表示第k局乙获胜，
则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5
（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，
P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，
或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
故分布列为：
X 2 3 4 5
P
E（X）=2×+3×+4×+5×=．
点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．
19．如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又PO⊥平面ABC，DA ∥PO，DA=AO=PO．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．
分析：（Ⅰ）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．
解答：（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，
由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO．从而，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．
又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB⊂平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB．
故CO⊥PD．
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD．
（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．
则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），
∴，
由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，
设平面BDC的法向量为，∴，∴，
令y=1，则x=1，z=3，∴，
∴，
由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．
点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力．
20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f
（x）在点（1，1）处的切线方程．
（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．
（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用
第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），
∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，
∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．
（Ⅱ），定义域为（0，+∞），
，
①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，
∵x＞0，∴x＞1+a
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．
②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，
综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．
当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，
即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．
由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
∴，∴，
∵，∴；
②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，
∴a≤﹣2，
③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，
∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2
此时不存在x0使h（x0）≤0成立．
综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．
点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．
21．在△ABC中，A，B的坐标分别是，点G是△ABC的重心，y 轴上一点M满足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（Ⅰ）求△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与轨迹E相交于P，Q两点，若在轨迹E上存在点R，使四边形OPRQ为平行四边形（其中O为坐标原点），求m的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）设C（x，y），由点G是△ABC的重心，可得G，由y轴上一点M满
足GM∥AB，可得．由|MC|=|MB|，利用两点之间的距离公式可得
，即可得出；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，由△＞0，可得 2k2﹣m2+6＞0，由四边形OPRQ为平行四边形，可得，可得R（x1+x2，y1+y2），利用根与系数的关系可得R．由点R在椭圆上，代入椭圆方程化为
2m2=k2+3．结合△＞0，即可解出m的取值范围．
解答：解：（I）设C（x，y），∵点G是△ABC的重心，
∴G，
∵y轴上一点M满足GM∥AB，∴．
∵|MC|=|MB|，
∴，
化为即为△ABC的顶点C的轨迹E的方程；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为（3+k2）x2+2kmx+m2﹣6=0，
由△＞0，化为 2k2﹣m2+6＞0，
∴，．
∵四边形OPRQ为平行四边形，
∴，
∴R（x1+x2，y1+y2），y1+y2=k（x1+x2）+2m=，
∴R．
∵点R在椭圆上，
∴=6，化为2m2=k2+3．
代入△＞0，可得m2＞0，
又2m2≥3，解得或m．
∴m的取值范围是∪．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其质、三角形重心性质定理、重心与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。