高三数学文科第二次调研考试卷试题 2

2021届高三第二次调研考试
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学试题〔文科〕
第一卷〔选择题，一共50分〕
一．选择题：本大题一一共l0小题，在每一小题给出的四个选项里面．只有一项是哪一项符合题目要求的．每一小题5分，满分是50分．
1.命题“,11a b a b >->-若则〞的否命题是( )．
A.,11a b a b >-≤-若则
B.,11a b a b >-<-若则
C.,11a b a b ≤-≤-若则
D. ,11a b a b <-<-若则
2.为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文→密文〔加密〕，承受方由密文→明文〔解密〕，加密规那么为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当承受方收到密文14,9,23,28时，那么解密得到的明文为〔 〕．
A ． 4，6，1，7
B ． 7，6，1，4
C ． 6，4，1，7
D ． 1，6，4，7 3.向量(21,4)c x →
=+，(2,3)d x →
=-，假设//c d →→
，那么实数x 的值等于〔 〕．
A. 21-
B. 21
C. 6
1 D. 61
-
4.倍，那么椭圆的离心率等于〔 〕．
A ．
1
2
B ．2
C
D ．2
5.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：
该小组的平均成绩为81．
环，那么成绩为8环的人数是〔 〕． A ．5 B ．6 C ．4 D ．7
6. 以下函数为奇函数的是〔 〕．
A
．00x y x <=≥))
B ．3x y =
C ．x
y 2= D ．x y 2log =
7. 以下四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图一样的是〔 〕．
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
8.假如执行下面的程序框图，那么输出的S =〔 〕． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 9.将函数sin(2)3
y x π
=-
的图象先向左平移
6
π
，然后将所得图象上 所有的点的横坐标变为原来的2倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象 对应的函数解析式为〔 〕．
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A ．cos y x =-
B ．sin 4y x =
C ．sin y x =
D ．sin()6
y x π
=-
10.全集R ，集合a+b
E={x|b<x<}F={x|ab<x<a},M={x|b<x ab}2
≤，,假设a>b>0，
那么有( )． A .M=E F B .M=E F C .R M=E (F) D .R M=(E)F
第二卷〔非选择题，一共100分〕
二．填空题：本大题一一共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每一小题5分，满分是20分．
11．化简：2
(1)i i
+= ．
12. )(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意R x ∈，都有：1()
(2)1()
f x f x f x -+=
+，又
,4
1
)2(,21)1(==
f f 那么=)2007(f ． 13.假设实数x y 、满足条件0
12-2+10x y x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，那么目的函数2z x y =+的最大值为
_____ ．
14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆2
2cos 30ρρθ+-=上的动点到直线
cos sin 70ρθρθ+-=的间隔 的最大值是 ．
15. (几何证明选讲选做题)如右图所示，AB 是圆O 的直径，
AD DE =，10AB =，8BD =，那么cos BCE ∠= ．
三．解答题：本大题一一共6小题，满分是80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.〔本小题12分〕 在△ABC 中，a b c 、、是角A B C 、、所对的边，且满足
222a c b ac +-=．
(Ⅰ)求角B 的大小；
(Ⅱ)设(sin ,cos 2),(6,1)m A A n ==--，求m n ⋅的最小值.
17．(本小题14分)：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； 〔Ⅲ〕求三棱锥A-BDE 的体积．
18．〔本小题12分〕有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是
0.30.20.10.4、、、．
(Ⅰ)求他乘火车或者飞机来的概率； (Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；
〔Ⅲ)假如他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
19.〔本小题14分〕设函数d cx bx x a x f +++=
43
)(23
的图象关于原点对称，)(x f 的
图象在点(1,)P m 处的切线的斜率为6-，且当2=x 时)(x f 有极值． (Ⅰ)求a b c d 、、、的值； (Ⅱ)求()f x 的所有极值．
20. (本小题14分)圆1C ：2
2
2x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点(1,1)；圆2C 的
圆心在射线20(0)x y x -=≥上，圆2C 过原点，且被直线l 截得的弦长为 (Ⅰ)求直线l 的方程； (Ⅱ)求圆2C 的方程．
21．〔本小题14分〕数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且1
12
n n T b +
=． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列{}n b 是等比数列；
(Ⅲ) 记n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项和n S ．
2021届高三第二次调研考试 数学试题〔文科〕参考答案
1.解析：命题“,11a b a b >->-若则〞的否命题是：“,11a b a b ≤-≤-若则〞，应
选C ．
2.解析：由，得：2146
294232314287
a b a b c b c d c d d +==⎧⎧⎪⎪+==⎪⎪
⇒⎨⎨+==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩，应选C ．
3.解析：假设//c d →
→
，那么3(21)4(2)0x x +--=，解得1
2
x =．应选B ． 4.
解
析
：
由
题
意
得
2a a =⇒=，
又
2222
a b c b c a e =+⇒=⇒=⇒=
． 应选B ．
5.解析：设成绩为8环的人数是x ，由平均数的概念，得：
728938.1(23)5x x x ⨯++⨯=++⇒=．
应选A ．
6.解析：A 是偶函数；C 是指数函数；D 是对数函数．应选B ．
7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为一样的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为一样的等腰三角形，俯视图为正方形．应选D ．
8.解析：程序的运行结果是2550100642=+⋅⋅⋅+++=s ，选C ． 9.解析：sin(2)3
y x π
=-
的图象先向左平移
sin[2()]sin 2663
y x x π
ππ
⇒=+-=，横坐标变为原来的2倍1sin 2()sin 2
y x x ⇒==．答案：C ． 10.
解
析
：
特
殊
值
法
：
令
2,1
a b ==，
有
3
E={x|1<x<}2
≤，．应选C ．
题号 11
12
13
14
15
答案
2
13
2 422+
35
11.解析：2(1)22i i
i i
+==．
12.解析：令1=x ，那么1(1)1(3)1(1)3f f f -=
=+，令2=x ，那么1(2)3
(4)1(2)5
f f f -==+，
同理得,4
1
)6(,21)5(==
f f 即当*N x ∈时，)(n f 的值以4为周期， 所以1
(2007)(50143)(3)3
f f f =⨯+==．
13.解析：由图象知：当函数2z x y =+的图象过点1
(,1)2
时，
2z x y =+获得最大值为2．
14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆
22(1)4x y ++=上的动点到直线70x y +-=的间隔 的最大值就是圆心(1,0)-到直
线70x y +-=的间隔 d 再加上半径2r =．故填422+． 15. (几何证明选讲选做题)解析：连结AD BE 、， 那么在ABD ∆和BCE ∆中：0
90ADB BEC ∠=∠=， 且ABD CBE ∠=∠，所以DAB ECB ∠=∠， 故3cos cos 5
BCE DAB ∠=∠=
． 三．解答题：本大题一一共6小题，满分是80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．
O
y
x
12
12
1
解：(Ⅰ)∵2
2
2
a c
b a
c +-=，∴2221
cos 22
a c
b B a
c +-=
=， ………………3分 又∵0B π<<，∴3
B π
=
． ……………………………………………5分
〔Ⅱ〕6sin cos 2m n A A ⋅=-- ……………………………………………6分
22311
2sin 6sin 12(sin )22
A A A =--=--， ………………………8分
∵203
A π<<，∴0sin 1A <≤． ……………10分
∴当sin 1A =时，获得最小值为5-． …………12分
17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．
解：(Ⅰ)证明：连结BD ，那么BD //11B D ， …………1分
∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥． 又C =AC
CE ，∴BD ⊥面ACE ． ………………4分
∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，
∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 〔Ⅱ〕证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE
1B F ，
∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．
∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF
CF C =，1B E
ED E =，
A
1
D 1
C 1
B 1
A E D C
B
∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 〔3〕1
22
ABD S AB AD ∆=
⋅=． ……………………………11分 112
333
A BDE
E ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=． ……………………………14分
18．析：主要考察事件的运算、古典概型．
解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来〞分别为事件A B C D 、、、，那么()0.3P A =，
()0.2P B =，()0.1P C =，()0.4P D =，且事件A B C D 、、、之间是互斥的．
(
Ⅰ
)
他
乘
火
车
或
者
飞
机
来
的
概
率
为
1()()()0.30.40.7P P A
D P A P D ==+=+=………4分 (Ⅱ)他乘轮船来的概率是()0.2P B =，
所以他不乘轮船来的概率为()1()10.20.8P B P B =-=-=． ………………8分 〔Ⅲ)由于0.4()P D ==()P A +()P C ，
所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或者汽车来的． …………………12分 19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．
解：(Ⅰ)由函数()f x 的图象关于原点对称，得()()f x f x -=-，………………1分
∴32324433
a a
x bx cx d x bx cx d -+-+=----，∴0,0b d ==． …………2分 ∴3()43
a f x x cx =+，∴2
'()4f x ax c =+． ……………………………4分
∴'(1)46 '(2)440f a c f a c =+=-⎧⎨
=+=⎩，即46
440
a c a c +=-⎧⎨
+=⎩． ……………………6分 ∴2,2a c ==-． ……………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知32()83
f x x x =-，∴22
'()282(4)f x x x =-=-．
由2
()0,40f x x >->得 ，∴22x x ><-或． …………………9分
∴()(2) ()(2)33
f x f f x f =-===-极大极小；． ………………………14分
20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．
解：(Ⅰ)〔法一〕∵点(1,1)在圆22
1:2C x y +=上， …………………………2分
∴直线l 的方程为2x y +=，即20x y +-=． ……………………………5分 〔法二〕当直线l 垂直x 轴时，不符合题意． ……………………………2分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即10kx y k --+=．
那么圆心
1(0,0)C 到直线l 的间隔 d r ==
，=解得1k =-，……4分
∴直线l 的方程为20x y +-=． ……………………………………………5分
〔Ⅱ〕设圆2C ：2
2
2
()(2)x a y a r -+-=(0)a ≥，∵圆2C 过原点，∴22
5a r =．
∴圆2C 的方程为222
()(2)5x a y a a -+-=(0)a ≥．…………………………7分
∵圆2C 被直线l 截得的弦长为∴圆心2(,2)C a a 到直线l ：20x y +-=的间隔 ：
d ==
…………………………………………9分 整理得：2
12280a a +-=，解得2a =或者14a =-． (10)
分
∵0a ≥，∴2a =． …………………………………………………………13分 ∴圆2C ：22
(2)(4)20x y -+-=． ……………………………………14分
21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．
解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，那么：21a a d =+，514a a d =+， ∵26a =，518a =，∴116418
a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴12,4a d ==． ………………………2分 ∴24(1)42n a n n =+-=-． …………………………………………4分
〔Ⅱ〕当1n =时，11b T =，由11112T b +
=，得123
b =． …………………5分 当2n ≥时，112n n T b =-，11112
n n T b --=-， ∴111=() 2n n n n T T b b ----，即11()2
n n n b b b -=-． …………………………7分 ∴11=3
n n b b -． ……………………………………………………………8分 ∴{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列． …………………………………9分 〔Ⅲ〕由〔2〕可知：1211()2()333
n n n b -=⋅=⋅． ……………………………10分 ∴11(42)2()(84)()33n n n n n c a b n n =⋅=-⋅⋅=-⋅． …………………………………11分
∴2112111114()12()(812)()(84)()3333n n n n n S c c c c n n --=++
++=⨯+⨯++-⨯+-⨯．
∴231111114()12()(812)()(84)()33333
n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯．
∴231121111148()8()8()(84)()3333333
n n n n n S S S n +-==⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 21111()[1()]41338(84)()13313
n n n -+⋅-=+⨯--⨯- 118114()(84)()333
n n n -+=-⨯--⨯． ………………………………………13分 ∴144(1)()3
n n S n =-+⋅． …………………………………………………14分 本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。