九年级数学下册3.3垂径定理教案

课题：3.3垂径定理
教学目标：
1.经历探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程.
2.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．
3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
教学重点与难点：
重点：探索圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理的过程．
难点：运用垂径定理及其逆定理解决有关问题．
教学过程：
一、复习回顾，开辟道路
我们知道圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，
如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
(1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?
(2)图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由．
处理方式：学生前后四人一组，分工合作，互相帮助，动手画圆、
剪圆，按轴对称图形的探究方法探究，寻找活动过程中产生的直径、弦、
弧等关系并总结.给学生留出充分的时间在小组内讨论、交流，教师要
深入到小组中讨论、指导.
我们组将这个图沿着直径CD折叠，发现AM与BM重合，∠CMA与∠CMB重合，∠DMA与∠DMB重合，AC⌒与BC⌒重合，AD⌒与BD⌒重合，所以等量关系有:AM=BM, ∠CMA=∠CMB=900，∠DMA=∠DMB=900，AC⌒=BC⌒，AD⌒=BD⌒．（板书）结合这个图形，该定理的符号语言如何叙述？
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．
设计意图：在教师的引导下探究了垂径定理，并要求学生能快速、准确的将该定理的三种语言进行转化.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨，体会研究图形的多种方法．
二、例题讲解，学以致用
已知：如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
处理方式：求证：AM=BM，AC⌒=BC⌒，AD⌒=BD⌒
证明：连接OA，OB，则OA=OB．
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM．
∴AM=BM,∠AOC=∠BOC.
∴AC⌒=BC⌒ AC⌒与BC⌒ .
∵∠AOD=180°-∠AOC,
∠BOD=180°-∠BOC
∴∠AOD=∠BOD°.
∴AD⌒=BD⌒．
处理方式：引导学生有意识的归纳、总结证明的方法，通过充分交流，让所有学生都能够对解决问题的基本策略进行反思，体会解决这类问题的基本思路，形成个人的解决问题的风格．
设计意图：让学生理解证明的方法，培养学生熟练证明的能力，提高证明过程的准确性和推理的能力.借此培养学生合作意识.
三、尝试成功，探究创新
活动内容：
还是这个图形，如果我把条件稍微改变，你还能利用刚才的探究方法推导出一些新的结论吗？（多媒体出示）
如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD，交AB于M．
（1)此图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和
理由．
处理方式：类比刚才的探究垂径定理的方法，学生先独立思考，然后让学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识．完后教师在课件上展示解题思路，让学生明白平
分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，就得加上一个限制条件，那么该结论如何叙述？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（板书）
它和垂径定理有什么区别？
设计意图：在垂径定理的逆定理的环节的处理上，学生可以类比垂径定理的探讨方法，所以这里尽量的放给学生，并让学生再次体会研究图形的多种方法，教师此时只要起到辅助、提升的作用即可．
四、例题讲解，学以致用
活动内容：
例1 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中»CD，点O是»CD的圆心)，其中CD＝600m，E为»CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m，求这段弯路的半径．处理方式：让学生明白要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为
已知OE⊥CD，所以CF＝1
2
CD＝300cm，OF＝OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，解：连结
OC，设弯路的半径为r m，则OF＝(r－90)m，∵OE⊥CD，
∴CF＝1
2
CD＝
1
2
×600＝300(m)．
据勾股定理，得
OC2＝CF2＋OF2，
即r2＝3002＋(r－90)2，
解这个方程，得r＝545．
∴这段弯路的半径为545m．
设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．
五、巩固提升展示自我
活动内容：赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：通过这道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．
五、总结概括，整理知识
通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？本节课的学习值得思考的还有是什么？ 处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.
六、达标测试，反馈纠正
1．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB .则下列结论错误．．
的是（ ） A 、»»AD BD
B 、AF =BF
C 、OF =CF
D 、∠DBC =90°
2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD =8，OP =3，则⊙O 的半径为 .
3．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是 .
处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
第2题 第3题 第1题
设计意图：在题目的设计上，我尽量的遵循由易到难、层次分明的原则．通过这3个题目达到落实新知的目的，又将知识进一步延伸，拓广学生的思维.
七、布置作业，落实目标
课本习题P76习题3.3 1，2
板书设计：。