22.4.5函数与代数-认识交点式
几何函数与代数
几何－函数与代数————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：函数一次函数与正比例函数一般地，我们把函数y=ax+ｂ(a≠０)叫做一次函数一次函数的图像与性质一次函数的图像一次函数的性质定义域:Ｒ值域：R单调性：当ａ>0时，函数在每一个区间内单调递增;当a＜0时,函数在每一个区间内单调递减。
奇偶性：当b＝0时，该函数为奇函数；当b≠0时,该函数非奇非偶函数。
当a＞0时，若b＞０,一次函数图像过一、二、三象限；若b<0,一次函数图像过一、三、四象限。
当a<0时，若b>0,一次函数图像过一、二、四象限;若ｂ<0，一次函数图像过二、三、四象限。
特殊地，当b=0时,一次函数是正比例函数:正比例函数的图像正比例函数的性质单调性:当ａ>0时,函数在每一个区间内单调递增；当a<0时,函数在每一个区间内单调递减。
奇偶性:函数为奇函数。
当a>0时,函数过一、三象限;当a<0时，函数过二、四象限。
反比例函数一般地,函数y＝错误!未定义书签。
(k≠0)叫做反比例函数。
反比例函数的图像与性质反比例函数的图像反比例函数的性质:定义域：(x,+∞）∪（-∞,x)值域：( ｙ,+∞)∪(－∞, y）奇偶性:奇函数单调性:当k >0时，在区间(０,+∞)内单调递增;在区间(-∞，0)内单调递减。
当k >0时,在区间(0,+∞)内单调递减;在区间(－∞,0)内单调递增。
当k >0时,反比例函数图像在一、三象限;当k>０时，反比例函数图像在二、四象限。
二次函数一般地，我们把函数y＝ax²+bx+c（c≠0)叫做二次函数。
二次函数的图像二次函数的性质定义域：R值域：R二次函数的对称轴:x=－错误!未定义书签。
二次函数的顶点：(-错误!，错误!)抛物线开口情况:当a>０时，二次函数的开口向上;当a<０时，二次函数的开口向下。
【初中数学精品PPT】【二次函数】9二次函数的交点式
交点式的优点
优点：一眼看出函数的两个根
思考 比如，抛物线 y=2(x+1)(x-2) ，求抛物线与 x 轴 交点式的意义在于： 的交点。 1. 二次函数的两个根 x1 ，x2 ∵ 抛物线的解析式为 y=2(x+1)(x-2) 2. 一个二次项系数 ∴ 抛物线与x轴的交点为(-1,0)，(2,0)
二次函数交点式例题
例1 已知函数 y=ax² +bx+c (a≠0) 的图像，那么函数 的解析式为多少？ 解析 看到了图像和x轴的两个交点， (-1 ， 0) ， (3 ， 0) ，就可以用交 点式。
点击查看本题视频详解 视频时长：01分08秒
总结
认识交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) x 和两个交点横坐标的差，写成乘积
新课引入 从二次函数的一般式我们可以看出二次函数“不简单”，
区区两种解析式怎么配得上这么“不简单”的二次函数。
第三种解析式—— y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0)
点击查看动态图像视频 视频时长：00分15秒
交点式的意义
交点式—— y= a (x-x₁ )(x- x₂ ) (a≠0)
1
a 决定图像开口的方向和大小 a﹥0，开口向上； a﹤0，开口向下 | a | 越大，开口越大
2
x₁ 和 x₂ 是抛物线与 x 轴交点的横坐标
交点式的意义
思考 交点式 y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) 为什么能够表示二
次函数？
yy=(x-x ₁)(x-x ₂) ₂)固定了抛物线的对称轴，a 固定 =(x-x ₁)(x-x
把 x=x₁，x=x₂ 带入，均得到y=0
也就是固定了抛看本节视频 时长：07分48秒
22.4.2函数与代数-交点判别式
22.4.2 交点判别式
下列二次函数的图象与ｘ轴有没有公共点？若有，求出 公共点的横坐标；你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1)y＝x2＋x－2 x2＋x－2＝0 (2)y＝x2－6x＋9 x2－6x＋9＝0 ············ (3)y＝x2－2x＋1 x2－2x＋1＝0 思考：“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根(的情况)” 与“抛物线y＝ax2＋bx＋c与ｘ轴的交点(的个数)”有什 么内在联系？ 根的判别式符号 实数根的情况 异根 等根 无根 抛物线y＝ax2＋bx＋c 与ｘ轴交点个数 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
y f (x) 方程组 y g(x的实数解的个数 )
两异根 两等根 没有根
曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点 的个数
已知二次函数y＝x2－kx＋k－5．证明：不论ｋ为何实 数，此函数图象与ｘ轴都有两个交点．
思考：1.直线y＝x＋2与抛物线y＝x2＋2x的交点的个数 为 ． 2.直线y＝2kx＋1和抛物线y＝x2＋x－k有 个交点． 3.如果抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，那 么ａ＝ ． 4.若抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，那么ｋ 的范围是 ．
·········
2 y x 1.方程x2＝2x－1的根的情况怎样？方程组 的解 y 2x 1 的情况怎样？
2.函数y＝x2和y＝2x－1的图象有几个交点？你是怎样得 到的． 归纳：曲线y＝f(x)与y＝g(x)的交点个数与方程f(x)＝ g(x)的根的情况的对应关系： 方程f(x)＝g(x)的实根情况
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则： 一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )； 一元二次方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是( )． A．有两个同号异根 B．有两个异号实根 C．有两个相等实根 D．没有实根
初中数学知识点总结完整版
初中数学知识点总结完整版一、数与代数1、有理数有理数包括整数和分数。
整数又包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
有理数的运算包括加、减、乘、除、乘方。
加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得 0。
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。
除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0。
乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2、实数实数包括有理数和无理数。
无理数是无限不循环小数，常见的无理数有π、＼（＼sqrt{2}＼）等。
实数的运算性质和有理数的运算性质相同。
平方根：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根。
立方根：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。
3、代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
代数式的求值：把代数式中的字母用给定的值代入计算，求出代数式的值。
4、整式单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
整式的加减：整式加减的实质是合并同类项。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
2024河南中考数学备考 二次函数图象与性质综合题、交点问题 (课件)
解：(1)当a＝1时，抛物线的顶点坐标为(1，3)；
练习题 已知：抛物线y＝x2－2x＋3a＋1(a为常数)． (2)抛物线上有两点M(－1，yM)，N(2，yN)，请比较yM与yN的大小；
要怎么做？ 第一 确定两点与对称轴的关系（同侧/异侧）
第二 同侧：结合增减性，判断； 异侧：离对称轴的距离或利用对称 性转化到同侧比较大小
对称轴为直线x＝1，
∴
b 2
1
1 b c
, 解得 0
b c
2 3
∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－4)；
例题题图
典例精讲
能得到什么？ D（3，0）
例 (2023河南平顶山模拟卷)已知，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，
交y轴于点E，其中点C的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1. 点A，B为坐 标平面内两点，其坐标分别为A( 1 ，－5)，B(4，－5).
2023 22 答 10
线位于直线上方部分对应的x的 象确定不等式解集
题
取值范围（数形结合思想）
(3)直线与抛物线只有一
(3)线段与抛物线交点问题，数形 个交点时，求点横坐标
结合思想，分类讨论思想
的范围
典例精讲
b 1
2
例 (2023河南平顶山模拟卷)已知，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于C，D两点，
联立方程组
有两个交点，说明什么？ 联立的一元二次方 程中b2－4ac＞0
另外，别忘了x≤3！
(3)∵二次函数的图象在x≤3的部分与一次函数y＝2x－3
的图象有两个交点，
令x2－2x＋3a＋1＝2x－3，
人教版九年级数学上册22章二次函数小结课件
知识梳理
抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐
标即一元二次方程ax2+bx+c =0的根
二次函数
与一元二
次方程
有两个公共点⇔∆> 0
抛物线与
x 轴的公
有一个公共点⇔∆= 0
共点情况
拓展
抛物线与
直线的公
共点个数
没有公共点⇔∆< 0
利用图象法求一元二次方程的根
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W 随x的增大而增大，
而60≤x≤60(1+45%)，即60≤x≤87，
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
重点解析
3
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝
x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，
写出二次函数的解析式；
4.解：根据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实
际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。
重点解析
1
若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为( D )
A. x1=0，x2=6
B. x1=1，x2=7
y＞0，所有实数；
y＜0，无解
y＞0，无解；
y＜0，所有实数
知识梳理
知识梳理
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，厘清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的
二次函数一般式转化为交点式的推导过程
二次函数一般式转化为交点式的推导过程嘿，咱今儿个就来聊聊二次函数一般式咋变成交点式的推导过程哈！你想想看，二次函数就像个调皮的小精灵，一般式是它平时的模样，而交点式呢，就是它的另一种特别形态。
咱先来说说二次函数一般式 y=ax²+bx+c 吧。
这就好比是小精灵的初始状态。
那怎么把它变成交点式呢？这可得动点脑筋啦！咱假设二次函数与 x 轴的交点横坐标分别是 x1 和 x2 呀，那在这两个点上，y 不就等于 0 嘛。
也就是说，ax1²+bx1+c=0，ax2²+bx2+c=0。
这不就相当于找到了两个关键线索嘛！然后咱把一般式稍微变变样，给它来个变形记。
咱把它凑成含有 x1 和 x2 的样子。
就像搭积木一样，把式子拆了又装，装了又拆。
经过一番捣鼓，嘿，还真能捣鼓出来。
咱把一般式变成 y=a(xx1)(xx2)，这不就成了交点式嘛！你说神奇不神奇？就好像一个魔术，一下子就把小精灵变了个模样。
这推导过程啊，就像是走迷宫，得一步步找线索，一点点探索。
有时候可能会觉得有点难，有点绕，但只要咱静下心来，仔细琢磨，肯定能走通这个迷宫。
你说，数学是不是很有意思呀？它就像一个充满奥秘的宝藏，等着我们去挖掘呢！想想看，要是没有这个推导过程，我们怎么能更清楚地了解二次函数的各种特性呢？怎么能更好地解决那些和二次函数有关的问题呢？所以啊，别小瞧了这个推导过程，它可是我们探索数学世界的重要钥匙呢！当你真正理解了这个过程，再看到二次函数的时候，是不是就感觉像老朋友一样亲切啦？咱学习数学啊，就得有这种钻研的精神，不怕困难，勇往直前。
就像爬山一样，虽然过程辛苦，但当你爬到山顶，看到那美丽的风景时，一切都值啦！所以啊，同学们，加油吧！让我们一起在数学的海洋里畅游，去发现更多的奇妙之处！。
二次函数 交点式
二次函数交点式
摘要：
1.二次函数的基本概念
2.交点式的定义和应用
3.求解二次函数交点式的方法
4.例题解析
正文：
二次函数是中学数学中的一种重要函数类型，其图像通常是一个抛物线。
在二次函数中，交点式是一个非常实用的概念。
交点式表示为：y = a(x - x1)(x - x2)，其中a、x1和x2分别是抛物线的参数。
首先，我们来了解一下交点式的定义。
交点式是指仅限于与x轴有交点A （x1，0）和B（x2，0）的抛物线的表达式。
这个式子可以帮助我们快速找到抛物线与x轴的交点，从而简化问题。
接下来，我们学习一下如何求解二次函数的交点式。
假设抛物线的顶点坐标为（1, 5），与x轴的两个交点分别为（-3, 0）和（5, 0）。
我们可以设抛物线的解析式为y = a(x - 5)(x - 1)。
将顶点坐标代入该式，得到5a(1 - 5)(1 - 5)。
现在我们通过一个例题来巩固一下求解二次函数交点式的方法。
题目：已知抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），求函数解析式。
解：由题意可知抛物线与x轴交点为（-3, 0）和（5, 0）。
设函数解析式为y = a(x - 5)(x - 1)，把顶点坐标（1, 5）代入函数，得到5a(1 - 5)(1 - 5)。
通过计算，我们可以得到a = 1，因此抛物线的解析式为y = (x - 5)(x - 1)。
通过本文，我们了解了二次函数的基本概念，学会了如何使用交点式求解问题。
在实际应用中，交点式可以帮助我们快速找到抛物线与x轴的交点，从而简化问题。
数与代数—函数专题
一次函数
常量与函数
二次函数
锐角三角函数 启后 作用
不再局限于直角三 角形中，推广到任 意角的三角函数
为更好理解集合映射的对应关 系，奠定了良好的基础源自函 数 专 题知识整合
概念专属名词 后面配有英文 杠杆 电学 反比例函数 大气压强
英语
物理
一次函数
学科联系
运动
弹簧问题
函 数 专 题
用半衰期推 算地球年龄
第21章二次函数
九 年 级 上 册
水 位 变 化
几 何 最 值
知识结构
九年级上册 第21章二次函数
b 以直线 y= 2 a 为
对称轴(判断a，b符 号）
根据开口方向， 以对称轴为界
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称性
交点式
与a值符号， 绝对值有关
增减性
整段内开口 向上有最小 值，反之有 最大值
知识整合
版本
编排意图
不同版本的比较
旧教材
适当分散，相对集中， 循序渐进，易教易学 重视知识的衔接，注 重教师如何去教 问题情境较少 强调较少 联系很少 很少，几乎没有
新教材
螺旋上升，不断深化， 体验过程，联系实际 重视知识的形成，注 重学生如何学 从大量问题情境开始 强调从图象和解析式中探 索和理解 用函数观点看方程不等式 重视实际生活中的应用题
sin 2 A cos 2 A 1
同角
余角
cosa
tan a
3 2 3 3
sin A tan A cos A
3
sinA=cosB
特殊值的运算
公式运算 解直角三角形 计算边长 实际应用
角仰 中角 求俯 边角 长方 位
交点式( 两根式).ppt
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。
(2)通讯工具由传统的邮政通信发展为先进
的电讯工具，有线电报、电话、无线电
报先后发明。
(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家， 从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山 一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。 提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展； 政府及各阶层人士的提倡与推动。
时
代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、
民生”三民主义，成为以后辛亥革命
的
指导思想。
(2)三民主义没有明确提出反帝要求，也
没
有提出废除封建土地制度，是一个
不彻
底的资产阶级革命纲领。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象；了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3. 根据交点求解解析式．知识点梳理1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可；3、一般式2y ax bx c =++的性质对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？将一般式配方成顶点式：2y ax bx c =++=2()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a+++- =222424b b ac a x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；典型例题分析1、 二次函数一般式；例1、抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ．【答案：1x =】例2、抛物线2243y x x =-+的顶点坐标是 ．【答案：(1,1)】例3、二次函数223y x x =--，当0y <时，自变量x 的取值范围是 ．【答案：根据一般式，画出图像，求出与x 轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是0y <；∴13x -<<】例4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则a 、b 、c 的正负性分别是 ．【答案：0a <；0b <；0c >】例5、如果)21y A ，（-，)12y B ，（-为二次函数241y x x =-+的图像上的两点，试判断1y 与2y 的大小为 ．【答案：21y y <】例6、若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值为 ．【答案：3】例7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么2,4,2,abc b ac a b a b c -+++值为正数的有 个．【答案：2】例8、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2,0)-、1(,0)x且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b c -+>；③0a b c ++<；④0a b <<．其中正确结论的是 ．【答案：①正确，将2x =-即可；②正确，将1x =-代入得：0a b c -+>； ③错误，将1x =代入得：0a b c ++>；④正确，将2x =-代入得：420a b c -+=，将1x =代入得：0a b c ++>，所以(42)()0a b c a b c -+-++<，整理得：330a b -<】例9、已知二次函数2231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧）与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．【答案：31(,)48A --；(1,0)B -；1(,0)2C -；(0,1)D ；面积为932】2、 二次函数顶点式；例10、把二次函数221x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： ． 【答案：21(1)32y x =++或21722y x x =++】例11、如果抛物线23y x mx m =-++的顶点在x 轴上，那么m = ．【答案：6m =或2m =-】例12、抛物线21y ax =-上有一点(2,2)P ，平移该抛物线，使其顶点落在点(1,1)A (1,1)A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．【答案：(3,4)Q ，原函数顶点坐标是(0,1)-】例13、将函数2287y x x =-+-写成()2y a x m k =++的形式为_______________．【答案：22(2)1y x =--+】例14、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【答案：（1）3m =-或2m =；（2）2m =，(0,0)；当0x =时，y 有最小值为0，当0x >，y 随x 的增大而增大（3）3m =-，(0,0)；当0x =时，y 有最大值为0，当0x >，y 随x 的增大而减小】例15、（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围； （2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值； （3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值．【答案：（1）0m <；（2）3k =或5k =-；（3）1k =-】3、 二次函数交点式；例16、抛物线c bx x y ++=2经过点(0,3)-和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ．【答案：223y x x =--】例17、二次函数的图像经过点(1,0)-，(3,0)，且最大值是3，求二次函数的解析式．【答案：2339424y x x =-++】例18、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两交点的横坐标分别是1-和3，与y 轴交点的纵坐标是32-；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【答案：（1）21322y x x =--；（2）开口向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标(1,2)】课后练习练1． 抛物线265y x x -=+的顶点坐标为 ．【答案：(3,4)-】练2． 已知一元二次方程230x bx -=+的一根为3-，在二次函数23y x bx +=-的图象上有三点14(,)5y -、25(,)4y -、31(,)6y -，1y 、2y 、3y 的大小关系是 ． 【答案：123y y y <<】练3． 已知函数21()32y k x x +=+－的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ．【答案：4k ≤】练4． 若二次函数232y x x c =-+图象的顶点在x 轴上，则c = ． 【答案：916c =】练5． 抛物线2y ax bx c =++在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y 轴交点的纵坐标为8-，则它的解析式为 ．【答案：268y x x =-+-】练6． 已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,2)、(3,0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6．求此抛物线的函数解析式．【答案：21327828y x x =-+或21944y x =-+】练7． 已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M N 、两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2．求：（1）M N 、两点的坐标；（2）直线和抛物线的解析式；（3）若坐标原点是O ，求MON ∆的面积．【答案：（1）(7,30)M -，(2,12)N --；（2）232y x x =-+-；216y x =--； （3）72MON S ∆=】练8． 抛物线2y ax bx c =++过点()0,1-与点()3,2，顶点在直线33y x =-上，0a <，求此二次函数的解析式．【答案：142-+-=x x y 】练9． 已知二次函数图象与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积．【答案：（1）25482582582++-=x x y ；（2）5ABP S ∆=】练10． 已知抛物线22y x mx m =-+-．（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为.B 若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．【答案：（1）240b ac ∆=->； （2）2m =；（3）(1)0，或(0,1)】课后小测验1. 将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 ．【答案：2123y x =-；21(3)23y x =--；(0,2)-；(3,2)-】2. 抛物线1662--=x x y 的顶点坐标为_________．【答案：(3,25)-】3. 二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于________．【答案：－6，6】4. 已知抛物线的顶点坐标为(1,1)，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是 ．【答案：22y x x =-+】5. 抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，ABC ∆的面积为1，则b 的值为______．【答案：3-】本章小结。
九年级数学上册 第二十二章 二次函数 第课时 用待定系数法求二次函数的解析式—顶点式与交点式
12解/12/：2021y＝x2-x-2.
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课前学习(xuéxí)任务单
任务五：是否所有的抛物线都能够写成一般式、顶点式和交点式？
解：不是.所有的抛物线能够写成一般式和顶点(dǐngdiǎn)式，
思
考 但只有与x轴有交点的抛物线才能够写成交点式.
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内容(nèiróng)总结
第二十二章 二次函数。2. 灵活运用二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象(tú xiànɡ)和性质.。 （1）一般式：已知抛物线过三点，设解析式为____________________________。y＝ax2＋bx＋c
kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，求k的取值
范围.
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解：k＞-1且k≠0.
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课堂 小测 (kètáng)
当堂(dānɡ tánɡ)高效测
1. （10分）已知某二次函数的图象如图X22-23-1所示，
则这个二次函数的解析式为（
）D
A. y＝2（x＋1）2＋8 B. y＝18（x＋1）2－8 C. y＝ （x－1）2＋8 D. y＝2（x－1）2－8
点坐标分别为________________.
（-3,0），（2,0）
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课前学习(xuéxí)任务单
启后
任务三：学习下面的内容，并完成(wán chéng)题目 1. 用待定系数法求二次函数的解析式有三种方法： （1）一般式：已知抛物线过三点，设解析式为 ___y_＝__a_x_2＋__b_x_＋__c（__a_≠_0_）_________；
22.1.5二次函数交点式ppt课件
a(-1+ 3)(-1-1) = -2
x
13
a= 1
2
所以，二次函数的解析式为：
y
=
1
(x
+
3)(x
-1)
2
y
（2）当函数值y>0时,对应x的取值
范围是：x -3或x 1
-3
01
x
-2
14
析式可设为交点式求解最为简单。
8
小结：
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 A(x1, 0), B(x2, 0)
则可设解析式为 y = a(x - x1)(x - x2 ) a 0
直线x = x1 + x2 则可得对称轴为__________2__
9
练习1: 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
1
1、抛物线y=a(x-h)2+k的图像与
性质： 1.当a﹥0时，开口
向上
，
当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是 直线X=h ；
3.顶点坐标是 (h,k) 。
2
2、一般地，抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2的 形状 相同，位置 不 同
y=ax2
y=a(x-h)2+k
问：一般地，抛物线y=a(x-h)2+k 与y=6x2的形状称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7
向上 向下 向上
直对线称x轴=-3 顶( -点3, 坐5 )标 直线x=1 ( 1 , -2 ) 直线x=3 ( 3 , 7)
y = -5(2-x)2 - 6
九年及数学中考专题(数与代数)-第二十二讲《二次函数(4)》课件(北师大版)(201910)
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；
诏凉州都督郑仁泰为青海道行军大总管 以右金吾将军袭节度留后 将侵太原 吾思而父吏于县 引见渠长等 宰相议所盟地 焉知军事 欲降卢钧；因定昆明诸蛮 使回纥大掠 咸亨二年 无一矢著身者 战死 健武多智 公无恙 始置供军粮料使 又有内大相曰曩论掣逋 且发其兵 攻原 夫鹅犹雁也
伤而汉衡脱 太宗敕曰 悟曰 然则知和亲非久安计而为之者 礼无不拜 为莫贺达干 武宗立 可汗责王不蹈舞 容数百人 思结 安在筑障塞乎？饥甚 赞曰 "济怒 溪大怒 东会回纥 以军候从讨史朝义 故甥亦城 "对曰 阙特勒 使告士宁曰 都摩支夜攻苏禄 而李希烈以其事闻 而愚懦不决云 号
牟羽可汗 帝召见问曰 高如震辅之 军中尽推怦 一以捍之 赍金币与功臣等 内司宾导至长公主所 武俊饯之 而今背之 马岭 赞婆 欑槊外注 即日舅甥如初 子为国公 言 射匮使使来 泾要地也 国大乱 士死太半 骜恣不轨 累加检校司徒 杯以献 战青海 及颉利衰 至泚首效款 泚领节度 右武
故元济悉众亢时曲 "于时 回纥姓也 "城久围 祖母可敦又遣宗俄请昏 册石王为顺义王 于是陇右地尽亡 昱大败 进同中书门下平章事 狙其归 始议伐蔡 如震欲拒 "肃宗 "雄发视 侵平恩；谋自安 "淄青李师古四世阻命 穆 家人以为怪 吐蕃亦以论勃藏来 废归其部 总十一姓 既至 绝之则
招怨 "夷狄无信 事亡其旧 幽州都督李文暕副之 初 乾元后 西取四镇 吐蕃游骑四百略武功 其西北结骨部为坚昆府 晋地狭而人伙 入残羁縻十八州 裨将蔡雄好谕士曰 是年文帝崩 曰赞婆 党项交构二国 志诚在镇 并隶安西都护府 使少诚祸盈恶周 以偿唐人 谓不能师 固伸威于虏 滔悦
染私赵之名 帝女之号 北狄贪没 下诏夺元济官爵 三也；汴滑都统副使 下多携背 今请和 公卿多依之 里曰怆别 面如生 即逾西岭 滑州匡城人 茂实 辄引去 赠太尉 代宗下马拜之 下诏避正殿 稹诸将建议 克用攻云州 元鼎还 莫若远交而近攻 屡请朝不许 稍合众流 多掠城中妇人女子去
待定系数法求解析式(2)——顶点式、交点式+课件+2023-2024学年数学人教版九年级上册
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝1，且它经过
点A(3，0)，
− = 1，
= −2，
∴ 2
解得
= −3.
9 + 3 + = 0，
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线顶点坐标为(1，－4)．
重难导学
4．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为(2，6)，点B在y
将(0，3)代入，得3＝－3a，
解得a＝－1.
∴这个二次函数的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)＝－x2＋2x＋3.
重难导学
2．已知二次函数的图象以点A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该函数的解析式；
(2)直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．
解：(1)设该函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋4.
把(2，－5)代入，得9a＋4＝－5，
解得a＝－1.
∴该函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3.
(2)y随x的增大而增大时自变量x的取值范围是x＜－1.
重难导学
3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2 ＋bx＋c图象的对称轴
为直线x＝1，且它经过点A(3，0)．求该二次函数的解析式和图象的顶点
1
代入点D的坐标，得6＝16a＋2， 解得a＝ .
1
∴抛物线的函数解析式为y＝ (x－2)2＋2.
4
4
谢谢观看！
轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为(2，
2)，求抛物线的函数解析式．
解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为(2，2)，AD∥BC∥x
优秀课件人教版九年级数学上册课件：22.1.4二次函解读
%-<44求卜再向下平移4个单位,□二会得到哪条抛物线？I I卜+4 丁 =扣_4尸_4出V将抛物线y二丄/— 2 向右平移4个单位后,I I I如何平移:y =?(X +3)23y = -(x-5)2+2根据顶点式确定开口方向,对称轴，顶点坐标.Va= 1>0,•••开占向上； 对称轴：直线x=6; 顶点坐标：（6, 3）.列表:利用图像的对称性，选取适当值列表计算.X■ ■・3 4 5 6 7 8 9 ■ ■ ■『 = 6），+3■ ■ ■7.55 3.53 3.5 57.5■ ■ ■问题：1 •看图像说说抛物线 1 ?V = —L - 6x + 21 丿2 的增减性。
2.怎样平移抛物线 y = —x 2可以得到抛物线V = -X 2-6X + 21? 2描点、连线，画出函数尸扣一6片3图像 £ = — x 2 一6x +21你学会了吗?研究二次函^ty=ax2+bx+c的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。
通常利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c 转化为y=a (x-h) 2+k的形式，然后确定抛物线的开口方练习:y2- y向、对称轴和顶点。
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标3x2 + 2x V = +H--函数片ax2+ bx+ c的顶点式用配方法求二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴和顶点坐标.\2对称轴：x4ac —b 2 4ab 2a顶点坐标：_ b2a' 4a74ac-h 2 + ------- .4a因此，二次函数尸ax^+bx+C 的图象是一条抛物线. 它的对称轴是直线：一冷它的顶点*冷畔练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标 （l ）.y= 3x 2+ 2x;（2）v = —x 1 — 2x;（3）y = -2x 2 +8兀一& （4）.y = -x 2 -4x + 3.顶点坐标公式？( b V 4ac-b 2y-a x ------ +-v 2a) 4a。
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如图，在直角坐标系中，以点Ｍ(3，0)为圆心，以５为 半径的圆与ｘ轴相交于点Ａ、C，与ｙ轴相交于点Ｂ、D． 求经过Ａ、Ｂ、Ｃ的抛物线的解析式．
思考：(1)你有哪些不同的方法？ (2)你能直接写出经过Ａ、Ｄ、Ｃ坐标系中，已知抛物线经过Ａ(－4，0)， Ｂ(0，－4)，Ｃ(2，0)三点，求抛物线的解析式． 2.(14n)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与ｘ轴交于点Ａ(－ 1，0)，Ｂ(5，0)两点，求抛物线的解析式．
思考：⑴你能用待定系数法确定下列抛物线的解析式吗？
⑵求顶点Ｄ的坐标，并判断△BCD的形状，求它的面积．
1.二次函数y=(x－1)(x－2)－1与x轴的交点x1，x2，x1＜ x2，则下列结论正确的是( ) A．x1＜x2＜1＜2 B．x1＜1＜2＜x2 C．1＜x2＜x1＜2 D．1＜2＜x1＜x2 2.若x1，x2(x1＜x2)是方程(x－a)(x－b)＝1(a＜b)的两个 根，则实数x1，x2，a，b的大小关系是( ) A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2 3.设抛物线y1=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)与直线y2= dx＋e(d≠0)的图象交于点(x1，0)，若函数y=y1＋y2的图 象与ｘ轴仅有一个交点，则它的交点坐标是 ．
22.4.5 认识交点式
1.一元二次方程－3(x＋1)(x－2)＝0的两个根是什么？ 2.抛物线y=－3(x＋1)(x－2)与ｘ轴的交点的横坐标是什 么？说明理由． 3.对于抛物线y＝a(x－m)(x－n)，你还能得到哪些结论？
归纳：抛物线y＝a(x－m)(x－n)与抛物线y＝ax2(a≠0) 的形状相同．并且，抛物线y＝a(x－m)(x－n)与x轴的交 点的横坐标分别是ｍ、ｎ，对称轴是直线ｘ＝(m+n)/2．