九年级上册期末试卷(提升篇)(Word版 含解析)

九年级上册期末试卷（提升篇）（Word 版 含解析） 一、选择题
1．已知34
a b =（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．43b a = D ．43a b =
2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在（ ）
A ．⊙O 上
B ．⊙O 外
C ．⊙O 内
3．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2
S 乙的大小关系是（ ）
A ．2S 甲＞2S 乙
B ．2S 甲＝2S 乙
C ．2S 甲＜2S 乙
D ．无法确定
4．在△ABC 中，若|sinA ﹣
12|+（22﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°
B ．75°
C ．105°
D ．120° 5．如图，已知正五边形ABCD
E 内接于O ，连结,BD CE 相交于点
F ，则BFC ∠的度
数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．90︒
6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．
的是( )
A ．12DE BC =
B ．AD AE AB A
C = C ．△ADE ∽△ABC
D ．:1:2AD
E ABC S S =
7．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A ．8，10
B ．10，9
C ．8，9
D ．9，10 8．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为d ，若关于x 的方程x 2-2x+d=0有实数根,则点P ( )
A ．在⊙O 的内部
B ．在⊙O 的外部
C ．在⊙O 上
D ．在⊙O 上或⊙O 内部
9．sin60°的值是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（ ） A ．最小值―3 B ．最小值3 C ．最大值―3 D ．最大值3
11．如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是点E ，22.5CAO ∠=，6OC =，则CD 的长为( )
A ．62
B ．32
C ．6
D ．12
12．如图，在⊙O 中，AB 为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD 等于（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．70°
D ．80°
二、填空题
13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向_____颜色的可能性大．
14．关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则关于x 的方程2(3)0a x m b +++=的解是________．
15．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则
1y __________2y ．（填“>”“<”“=”）
16．将抛物线y=﹣2x 2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________； 17．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35
，则tanA 等于 ． 18．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，D ，E 两点分别在边AC ，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
19．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．
20．一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
21．如图，直线y=12
x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D 在反比例函数y=
k x 的图象上，CD 平行于y 轴，S △OCD =52
，则k 的值为________．
22．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．
23．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2
r cm
=，扇形的圆心角120
θ=，则该圆锥的母线长l为___cm．
24．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是
____________．
三、解答题
25．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．
（2）说明代数式3x2+1没有不变值；
（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．
26．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上．
（1）直接写出A、B、C、D坐标；
（2）点P在第四象限，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值
范围．
27．A 箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B 箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5；现从A 箱、B 箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树形（状）图或列表的方法求：
（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率．
（2）如果取出A 箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B 箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．
28．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且BFE C ∠=∠.
（1）求证：ABF EAD .
（2）若4AB =，3BE =，72
AD =，求BF 的长.
29．小亮晚上在广场散步，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；
（2）小亮的身高为1.6m ，当小亮离开灯杆的距离OB 为2.4m 时，影长为1.2m ，若小亮离开灯杆的距离OD ＝6m 时，则小亮（CD ）的影长为多少米？
30．（1）如图①，AB 为⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为点Q ．说明△APQ ∽△ABP ；
（2）如图②，⊙O 的半径为7，点P 在⊙O 上，点Q 在⊙O 内，且PQ ＝4，过点Q 作PQ 的垂线交⊙O 于点A 、B ．设PA ＝x ，PB ＝y ，求y 与x 的函数表达式．
31．如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为
1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，S的最大值是多少；
（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；
（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
32．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交
于点C(0，53
3
)．
（1）求该函数的表达式；
（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；
①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为；
②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解.
【详解】
解：由34
a b ，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确；
B.由等式性质可得：4a=3b ，错误；
C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确；
D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键. 2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可知当∠C=90°时，点C 在圆上，由由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质可知点C 在圆外.
【详解】
解：∵以AB 为直径作⊙O ，
当点C 在圆上时,则∠C=90°
而由题意∠C ＝88°，根据三角形外角的性质
∴点C 在圆外．
故选：B ．
【点睛】
本题考查圆周角定理及三角形外角的性质，掌握直径所对的圆周角是90°是本题的解题关键.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.
【详解】
解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2
S 乙
故选：A
【点睛】
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得，sinA-12=0，
即sinA=12， 解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C ．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.
【详解】
解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725
︒=︒，
∴∠BOE=144°，
∴
1
36
2
DBC COD
∠=∠=︒，
1
72
2
BCE BOE
∠=∠=︒，
∴18072
BFC DBC BCF
∠=︒-∠-∠=︒.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
6．D
解析：D
【解析】
∵在△ABC中，点D、E分别是AB 、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=1
2
BC，
∴△ADE∽△ABC，AD AE
AB AC
=，
∴2
1
()
4
ADE
ABC
S DE
S BC
==.
由此可知：A、B、C三个选项中的结论正确，D选项中结论错误.
故选D.
7．D
解析：D
【解析】
试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，
最中间的数是9，则中位数是9；
10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；
故选D．
考点：众数；中位数．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
先根据条件x 2 -2x+d=0有实根得出判别式大于或等于0，求出d的范围，进而得出d与r
的数量关系，即可判断点P和⊙O的关系..
【详解】
解：∵关于x的方程x 2 -2x+d=0有实根，
∴根的判别式△=（-2） 2 -4×d≥0，
解得d≤1，
∵⊙O的半径为r=1,
∴d≤r
∴点P在圆内或在圆上.
故选：D.
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，由点到圆心的距离和半径的数量关系对点和圆的位置关系作出判断是解答此题的重要途径，即当d>r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d<r 时，点在圆内.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据特殊角的三角函数值解答即可.
【详解】
sin60°=，
故选C.
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.
【详解】
∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），
∴-3=1-m+n，
∴n=-4+m，
代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.
∴代数式mn+1有最小值-3.
故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．
解析：A 【解析】 【分析】
先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以2322
CE OC =
=，从而得到CD 的长． 【详解】
∵CD AB ⊥，AB 为直径，
∴CE DE =， ∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，
∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=，
∴OCE ∆为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴2263222
CE OC ==⨯=， ∴262CD CE ==.
故选A ．
【点睛】
本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OD ，根据∠AOD =2∠ACD ，求出∠AOD ，利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
连接OD ．
∵∠ACD =20°，∴∠AOD =2∠ACD =40°．
∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ADO =
12
（180°﹣40°）=70°． 故选C ．
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
二、填空题
13．红
【解析】
【分析】
哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．
【详解】
∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，
∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．
故答案为：红．
【点睛】
解析：红
【解析】
【分析】
哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．
【详解】
∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，
∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．
故答案为：红．
【点睛】
本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大．
14．x1＝－12，x2＝8
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x ＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x 来求解．
【详解】
解：∵关于x 的方程的解是，（a ，m ，b 均为常数，a≠0），
∴方程变形为，即
解析：x 1＝－12，x 2＝8
【解析】
【分析】
把后面一个方程中的x ＋3看作一个整体，相当于前面方程中的x 来求解．
【详解】
解：∵关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是19x =-，211x =（a ，m ，b 均为常数，
∴方程2(3)0a x m b +++=变形为2
[(3)]0a x m b +++=，即此方程中x ＋3＝－9或x ＋3＝11，
解得x 1＝－12，x 2＝8，
故方程2(3)0a x m b +++=的解为x 1＝－12，x 2＝8．
故答案为x 1＝－12，x 2＝8．
【点睛】
此题主要考查了方程解的含义．注意观察两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算． 15．【解析】
抛物线的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x1>x2>1 时，y1>y2 .
故答案为>
解析：12y y >
【解析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .
故答案为> 16．【解析】
【分析】
根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.
【详解】
根据题意：平移后的抛物线为.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关
解析：()2
231y x =-+-
【解析】
【分析】
根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.
【详解】
根据题意：平移后的抛物线为()2231y x =-+-.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键.
【解析】
试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，∴.
∴可设.
∴根据勾股定理可得.
∴.
考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：
43
. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝
35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.
∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33
BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.
18．∠B=∠1或
【解析】
【分析】
此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A ，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】
此题答案不唯
解析：∠B=∠1或
AE AD AC AB = 【解析】
【分析】
此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A =∠A ，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】
此题答案不唯一，如∠B =∠1或
AD AE AB AC
=． ∵∠B =∠1，∠A =∠A ，
∴△ADE ∽△ABC ； ∵
AD AE AB AC
=，∠A =∠A ， ∴△ADE ∽△ABC ；
故答案为∠B=∠1或AD AE AB AC
=
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题. 19．4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第
解析：4
【解析】
【分析】
根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．
【详解】
解：由图可知，
第一行1个数，
第二行2个数，
第三行3个数，
…，
则第n行n个数，
故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝
(1)
2
n n+
，
∵当n＝63时，前63行共有6364
2
⨯
＝2016个数字，2020﹣2016＝4，
∴2020在第64行左起第4个数，
故答案为：64，4．
【点睛】
本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 20．3
【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中
解析：3
【解析】【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
21．【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：把x=2代入y=x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D
解析：【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：把x=2代入y=1
2
x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得
出D的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
解：∵点C在直线AB上，即在直线y=1
2
x﹣2上，C的横坐标是2，
∴代入得：y=1
2
×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，
∵CD∥y轴，S△OCD=5
2
，
∴1
2CD×OM=
5
2
，
∴CD=5
2
，
∴MD=5
2﹣1=
3
2
，
即D的坐标是（2，3
2
），
∵D在双曲线y=k
x
上，
∴代入得：k=2×3
2
=3．
故答案为3．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
22．【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
解析：20 3
【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】
123////l l l ，
AB DE BC EF
∴=， 3,5,4AB BC DE ===，
345EF
∴=， 解得203
EF =
， 故答案为：203
． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
23．【解析】
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长cm ，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点睛】
本
解析：【解析】
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，
设圆锥的母线长为R ，则：
1204180
R ππ⨯=， 解得6R =，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π．
24．15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=1
2
×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
三、解答题
25．（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1
【解析】
【分析】
（1）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A的值；
（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程3x2﹣x+1＝0没有实数根，进而可得出代数式3x2+1没有不变值；
（3）由A＝0可得出方程x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，进而可得出△＝0，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，
即x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴A＝2﹣（﹣1）＝3．
故答案为﹣1和2；3．
（2）依题意，得：3x2 +1＝x，
∴3x2﹣x+1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，
∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．
（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，
∴b1＝﹣3，b2＝1．
答：b的值为﹣3或1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．
26．（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣3
2
)；（2）存在，(
1
2
，﹣
15
4
)；（3）
﹣157
36
＜t＜﹣1
【解析】
【分析】
（1）可通过二次函数的解析式列出方程，即可求出相关点的坐标；
（2）存在，先求出直线BC和直线BD的解析式，设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E
（x，0），H（x，1
2
x﹣
3
2
），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出点P坐标；
（3）求出直线y＝1
3
x+t经过点B时t的值，再列出当直线y＝
1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣
3只有一个交点时的方程，使根的判别式为0，求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】
解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，
当x＝0时，y＝﹣3；当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∵D为OC的中点，
∴D（0，﹣3
2
）；
（2）存在，理由如下：
设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，将点B（3，0）代入y＝kx﹣3，解得k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
设直线BD的解析式为y＝mx﹣3
2
，
将点B（3，0）代入y＝mx﹣3
2
，
解得m＝1
2
，
∴直线BD的解析式为y＝1
2
x﹣
3
2
，
设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则E（x，0），H（x，1
2
x﹣
3
2
），G（x，x﹣3），
∴EH＝﹣1
2
x+
3
2
，HG＝
1
2
x﹣
3
2
﹣（x﹣3）＝﹣
1
2
x+
3
2
，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣
x2+3x，
当EH＝HG＝GP时，﹣1
2
x+
3
2
＝﹣x2+3x，
解得x1＝1
2
，x2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（1
2
，﹣
15
4
）；
（3）当直线y＝1
3
x+t经过点B时，
将点B（3，0）代入y＝1
3
x+t，
得，t＝﹣1，
当直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3只有一个交点时，方程
1
3
x+t＝x2﹣2x﹣3只有一个
解，
即x2﹣7
3
x﹣3﹣t＝0，
△＝（7
3
）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，
解得t＝﹣157 36
，
∴由图2可以看出，当直线y＝1
3
x+t与抛物线y＝x2﹣2x﹣3在x轴下方有两个交点时，t
的取值范围为：﹣157
36
＜t＜﹣1时．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合，涉及了求二次函数与坐标轴的交点坐标、一次函数的解析式、解一元二次方程、确定一次函数与二次函数的图像的交点个数，灵活运用一次函数与二次函数的图像与性质是解题的关键.
27．（1）2
9
；（2）
5
9
．
【解析】
【分析】
（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．列举出符合题意：“两张卡片上的数字恰好相同”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
（2）列举出符合题意：“两张卡片组成的两位数能被3整除”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可
【详解】
（1）由题意可列表：
∴一共有9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好相同的概率是2
9
；
（2）由题意可列表：
∴一共有9种情况，两张卡片组成的两位数能被3整除的有5种情况，
∴两张卡片组成的两位数能被3整除的概率是
59． 考点：列表法与树状图法．
28．（1）见解析；（2）
145 【解析】
【分析】
（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE ＝∠C ，根据等角的补角相等可得出∠ADE ＝∠AFB ，根据AB ∥CD 可得出∠BAF ＝∠AED ，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系，有了AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，这样就能求出BF 的长了．
【详解】
（1）证明：在平行四边形ABCD 中，
∵∠D ＋∠C ＝180°，AB ∥CD ，
∴∠BAF ＝∠AED ．
∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，
∴∠AFB ＝∠D ，
∴△ABF ∽△EAD ．
（2）解：∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，
∴BE ⊥AB ．
∴∠ABE ＝90°． ∴2222345AE AB BE =+=+=．
∵△ABF ∽△EAD ，
BF AB AD EA
∴=， 4752
BF ∴=．
145BF ∴=
．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
29．（1）如图，BE 为所作；见解析；（2）小亮（CD ）的影长为3m ．
【解析】
【分析】
（1）根据光是沿直线传播的道理可知在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则可得到小亮站在AB 处的影子；
（2）根据灯的光线与人、灯杆、地面形成的两个直角三角形相似解答即可． 【详解】
（1）如图，连接PA 并延长交直线BO 于点E ，则线段BE 即为小亮站在AB 处的影子：
（2）延长PC 交OD 于F ，如图，则DF 为小亮站在CD 处的影子，
AB ＝CD ＝1.6，OB ＝2.4，BE ＝1.2，OD ＝6，
∵AB ∥OP ，
∴△EBA ∽△EOP ，
∴
,AB EB OP EO =即1.6 1.2,1.2 2.4OP =+ 解得OP ＝4.8，
∵CD ∥OP ，
∴△FCD ∽△FPO ，
∴CD FD OP FO =，即1.64.86
FD FD =+， 解得FD ＝3
答：小亮（CD ）的影长为3m ．
【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定及性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质解答．
30．（1）见解析；（2）56y x
=
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理可证∠APB ＝90°,再根据相似三角形的判定方法：两角对应相等，两个三角形相似即可求证结论；
（2）连接PO ，并延长PO 交⊙O 于点C ，连接AC ，根据圆周角定理可得∠PAC ＝90°，∠C ＝∠B ，求得∠PAC ＝∠PQB ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图①所示：
∵AB 为⊙O 的直径
∴∠APB ＝90°
又∵PQ ⊥AB
∴∠AQP ＝90°
∴∠AQP ＝∠APB
又∵∠PAQ ＝∠BAP
∴△APQ ∽△ABP ．
（2）如图②，连接PO ，并延长PO 交⊙O 于点C ，连接AC ．
∵PC 为⊙O 的直径
∴∠PAC ＝90°
又∵PQ ⊥AB
∴∠PQB ＝90°
∴∠PAC ＝∠PQB
又∵∠C ＝∠B （同弧所对的圆周角相等）
∴△PAC ∽△PQB
∴=PA PC PQ PB
又∵⊙O 的半径为7，即PC ＝14，且PQ ＝4，PA ＝x ，PB ＝y
∴144x y
= ∴56y x
=
． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定及其性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是综合运用所学知识．
31．(1)当t 为
52秒时，S 最大值为185；（2）2013； （3）52或2513或4013． 【解析】
【分析】
（1）过点P 作PH ⊥AC 于H ，由△APH ∽△ABC ，得出=PH AP BC AB
，从而求出AB ，再根据535PH t -，得出PH=3﹣35t ，则△AQP 的面积为：12AQ•PH=12t （3﹣35
t ），最后进行整理即可得出答案；
（2）连接PP′交QC 于E ，当四边形PQP′C 为菱形时，得出△APE ∽△ABC ，
=AE AP AC AB ，求出AE=﹣45t+4，再根据QE=AE ﹣AQ ，QE=12QC 得出﹣95t+4=﹣12
t+2，再求t 即可； （3）由（1）知，PD=﹣
35t+3，与（2）同理得：QD=﹣95t+4，从而求出
△APQ 中，分三种情况讨论：①当AQ=AP ，即t=5﹣t ，②当
PQ=AQ ，③当PQ=AP ﹣t ，再分别计算即可．
【详解】
解：（1）如图甲，过点P 作PH ⊥AC 于H ，
∵∠C=90°，
∴AC ⊥BC ，
∴PH ∥BC ，
∴△APH ∽△ABC ， ∴=PH AP BC AB
， ∵AC=4cm ，BC=3cm ，
∴AB=5cm ， ∴5=35
PH t -， ∴PH=3﹣
35t ， ∴△AQP 的面积为： S=12×AQ×PH=12×t×（3﹣35t ）=﹣310（t ﹣52
）2+185，
∴当t 为52
秒时，S 最大值为185cm2． （2）如图乙，连接PP′，PP′交QC 于E ，
当四边形PQP′C 为菱形时，PE 垂直平分QC ，即PE ⊥AC ，QE=EC ，
∴△APE ∽△ABC ， ∴=AE AP AC AB
， ∴AE=(5)4=5AP AC t AB ⋅-⨯=﹣45
t+4 QE=AE ﹣AQ ═﹣
45t+4﹣t=﹣95t+4， QE=12QC=12（4﹣t ）=﹣12
t+2， ∴﹣
95t+4=﹣12t+2， 解得：t=
2013， ∵0＜2013
＜4， ∴当四边形PQP′C 为菱形时，t 的值是
2013s ； （3）由（1）知，
PD=﹣35t+3，与（2）同理得：QD=AD ﹣AQ=﹣95
t+4
∴， 在△APQ 中，
①当AQ=AP ，即t=5﹣t 时，解得：t 1=
52；
②当PQ=AQ =t 时，解得：t 2=2513，t 3=5；
③当PQ=AP ﹣t 时，解得：t 4=0，t 5=4013； ∵0＜t ＜4，
∴t 3=5，t 4=0不合题意，舍去，
∴当t 为52s 或2513s 或4013
s 时，△APQ 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查相似形综合题．
32．（1）234353y x x =+；（2）①(23；②点E (23． 【解析】
【分析】
（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a 53，解得：a ＝﹣3 （2）①点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，即可求解；
②t ＝AE +
22DE ，t ＝AE +22DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小，即可求解． 【详解】
（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，
故﹣5a ＝533，解得：a ＝﹣33
， 故抛物线的表达式为：234353y x x =+； （2）①函数的对称轴为：x ＝2，
点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求， 由点B 、C 的坐标得，BC 的表达式为：y 3+53，
当x＝2时，y＝3，故答案为：(2，3)；
②t＝AE+1
2 DE，
过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝1
2 DE，
t＝AE+1
2
DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，
则直线A(E)H的倾斜角为：30°，
直线AH的表达式为：y＝
3
3
(x+1)
当x＝2时，y3
故点E(23．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．。