2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年福建省莆田第九中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．数列{}n a 的通项公式2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】B【解析】二次函数()2328f x x x =-的对称轴为281424633x -=-==， 数列中的项为二次函数自变量为正整数时对应的函数值，据此可得：数列{}n a 各项中最小项是第5项. 本题选择C 选项.2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a =（ ） A. -4 B. -6 C. -8 D. -10 【答案】B【解析】试题分析： 134,,a a a 成等比数列，所以()()22314111,23a a a a d a a d =⋅+=⋅+，解得18a =-，216a a d =+=-.【考点】等差数列与等比数列.3．已知如下程序框图，则输出的i 是（ ）A ．9B ．11C ．13D ．15 【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5 经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7 经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9 经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出． 【考点】程序框图．4．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A. a b a b -=- B. 22a b < C. 2b aa b+> D. 2ab b <【答案】A 【解析】若110a b<<，则： 0b a <<，据此有： a b a b -≠-，实际上： a b a b -=--22a b <，2b a a b +≥=， 20,b a ab b <<∴< ，本题选择A 选项.点睛：不等式的性质及其应用： (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．5．已知数列{}n a 是递增的等比数列， 149a a +=， 238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于（ ） A. 122n +- B. 33n - C. 21n - D. 121n +-【答案】C【解析】由题意结合等比数列的性质可得： 1423149{ 8a a a a a a +===，据此可得： 140,0a a >>，结合数列单调递增可得： 141,8a a ==， 则数列的公比：2q ==， 结合等比数列前n 项和公式可得：数列{}n a 的前n 项和等于()1122112nnn S ⨯-==--.本题选择C 选项.6．下列结论，不正确的是（ ）A. 若p 是假命题， q 是真命题，则命题p q ∨为真命题.B. 若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题.C. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆命题为假命题.D. 命题“,x y R ∀∈， 220x y +≥”的否定是“00,x y R ∃∈， 22000x y +<”.【答案】C【解析】A . 若p 是假命题， q 是真命题，则命题p q ∨为真命题.该命题正确.B . 若p q ∧是真命题，则命题p 和q 均为真命题.该命题正确.C . 命题“若sinx siny =，则x y =”的逆命题为“若x y =，则sinx siny =”， 该命题为真命题.原命题错误.D . 命题“,x y R ∀∈， 220x y +≥”的否定是“00,x y R ∃∈， 22000x y +<”.该命题正确.本题选择C 选项.7．设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“a b”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设向量,a b的夹角为θ，若“a b a b ⋅= ”，则cos 1,0θθ==，此时“a b”，即充分性成立； 反之，若“a b”，当cos θπ=时，“a b a b ⋅=- ”，即必要性不成立； 综上可得：“a b a b ⋅= ”是“a b”的充分不必要条件.本题选择A 选项.8．若变量,x y 满足约束条件458{13 02x y x y +≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为（ ）A.315 B. 6 C. 235D. 4 【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点41,5⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值23325z x y =+=. 本题选择C 选项.点睛：(1)求目标函数最值的一般步骤为：一画、二移、三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．(2)在约束条件是线性的情况下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值．在解答选择题或者填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验．9．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 线段C. 不存在D. 椭圆或线段 【答案】D【解析】当0a >时，由均值不等式的结论有： 96a a +≥=，当且仅当3a =时等号成立.当96a a +=时，点P 的轨迹表示线段12F F ,当1296a F F a+>=时，点P 的轨迹表示以12F F 位焦点的椭圆,本题选择D 选项.点睛：椭圆定义中的常数必须大于|F 1F 2|，在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”.10．方程()10x x k --=有三个不相等的实根，则k 的取值范围是（ ） A. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭ C. 10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可得函数y k =与函数()()()()()111{11x x x y x x x x x -≥=-=--<有三个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得k 的取值范围是1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.11．已知θ是三角形的一个内角，且1sin cos 2θθ+=，则方程22sin cos 1x y θθ-=表示（ ）A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线 【答案】B【解析】由题意可得： 2213sin 2sin cos cos ,sin cos 048θθθθθθ++=∴=-<， 据此可得,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合1sin cos 02θθ+=>可得： sin cos 0θθ>->，则11sin cos θθ<-，所给方程化为标准型即： 22111sin cos x y θθ+=-， 则方程221x sin y cos θθ-=表示焦点在y 轴上的椭圆. 本题选择B 选项.12．如图， 12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， ,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A.B. C.32D. 【答案】D【解析】因为2,1a b c ==⇒=22212||412AF AF c +==，由椭圆定义可得1224AF AF a +==，所以12216124AF AF ⋅=-=，又因为12AF AF -==a '=，所以双曲线的离心率c e a ===D 。

二、填空题13．已知,x y 满足约束条件50,{0, 3.x y x y x -+≥+≥≤则24z x y =+的最大值为__________.【答案】38【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()3,8处取得最大值2463238z x y =+=+=.14．为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为[)45,55， [)55,65， [)65,75， [)75,85，[)85,95，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.【答案】64【解析】结合频率分布直方图可得，平均分为：()()()()()500.02010600.04010700.02510800.01010900.0051064⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，即这些学生的平均分为64分.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.15．椭圆2249144x y +=内有一点P （3,2），过P 点的弦恰好以P 点为中点，则此弦所在的直线方程为 ． 【答案】23120x y +-=【解析】试题分析：设过点p 的直线与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点其中点()0,0M x y ，则将两点代入题意方程作差可得：20122120x y y b x x a y -=--，即2012212023ABx y y b k x x a y -==-=--．所以直线方程为()2233y x -=--，整理可得23120x y +-=，故答案为23120x y +-=．【考点】椭圆中点弦问题．16．若方程22141x y t t +=--所表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①若C 为椭圆，则14t <<； ②若C 为双曲线，则4t >或1t <； ③曲线C 不可能是圆； ④若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则312t <<.其中真命题的序号为__________（把所有正确命题的序号都填在横线上）. 【答案】②【解析】当410t t -=->，即52t =时，方程22141x y t t +=--所表示的曲线为圆，则说法①③错误；若C 为双曲线，则()()410t t --<，解得： 4t >或1t <，说法②正确； 若C 表示椭圆，且长轴在x 轴上，则410t t ->->，解得： 512t <<，则说法④错误；综上可得：真命题的序号为②.三、解答题17．已知命题0:p x R ∃∈，使得200210ax x -->成立；命题q ：方程()230x a x a +-+=有两个不相等正实根；（1）若命题p ⌝为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1a ≤-；(2) 10a -≤≤或1a ≥. 【解析】试题分析：(1)由题意可得： 0{a <∆≤，求解不等式有： 1a ≤-. (2)由题意有命题p q 、一真一假，分类讨论可知： 当p 真q 假时， 10a -≤≤或1a ≥， 当p 假q 真时无解；则实数a 的取值范围是10a -≤≤或1a ≥. 试题解析：（1）:p x R ⌝∀∈， 2210ax x --≤不恒成立. 由0{a <∆≤得1a ≤-. （2）设方程()230x a x a +-+=两个不相等正实根为12x x 、命题q 为真12120{00 1 0x x a x x ∆>⇔+>⇔<<>由命题“p 或q ”为真，且“p 且q ”为假，得命题p q 、一真一假①当p 真q 假时，则1{001a a >-≤≥或得10a -≤≤或1a ≥②当p 假q 真时，则1{01a a ≤-<<无解；∴实数a 的取值范围是10a -≤≤或1a ≥.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， *N n ∈，且364a a +=， 55S =-， 求（1）n a ， n S（2）设n T 是数列{}n a 的前n 项和，求n T .【答案】(1) 27n a n =-， 26n S n n =-；(2) 226,3{ 618,3n n n n T n n n -≤=-+>.【解析】试题分析：(1)由题意首先求得公差2d =，据此有27n a n =-， 26n S n n =-；(2)当4n <时， 0n a <，当0n >时， 0n a >，据此分类讨论可得：226,3{618,3n n n n T n n n -≤=-+>.试题解析：（1）由题意可得： 53355,1S a a ==-∴=-，则： 6614,5a a -+=∴=， 数列的公差为： 63263a a d -==-，通项公式： ()3327n a a n d n =+-=-， 首项为1275a =-=-，据此可得前n 项和26n S n n =-.（2）由270n a n =-≤得当4n <时， 0n a <，当0n >时， 0n a > 则3,3{2,3n n n S n T S S n -≤=->即226,3{618,3n n n n T n n n -≤=-+>点睛：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．19．已知),sin a x x =，()sin b x x = ，函数()f x a a a b =⋅+⋅ .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知32f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()0,απ∈，求α的值. 【答案】(1)π；(2) 23πα=. 【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式有： ()2226f x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.则函数()f x 的最小正周期为T π=.(2)由32f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得162sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.则566ππα+=， 23πα=.试题解析：（1）()223f x cos x sin x =++222x cos x ++2226sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由32f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2236sin πα⎛⎫++= ⎪⎝⎭.∴162sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵()0,απ∈，∴7,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴566ππα+=，∴23πα=.20．如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直， 4PD PC ==， 6AB =， 3BC =.点E 是CD 边的中点，点F G 、分别在线段AB BC 、上，且2AF FB =， 2CG GB =. （1）证明： PE FG ⊥；（2）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：(1)由题意结合线面垂直的判断定理可证得PE ⊥平面ABCD ，结合线面垂直的定义可得PE FG ⊥；(2)连接AC ，则PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角，结合余弦定理可得直线PA 与直线FG试题解析：（1）证明：∵PD PC =且点E 为CD 的中点，∴PE DC ⊥，又平面PDC ⊥平面ABCD ，且平面PDC ⋂平面ABCD CD =， PE ⊂平面PDC ，∴PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ∴PE FG ⊥；（2）如下图所示，连接AC ，∵2AF FB =， 2CG GB =即2AF CGFB GB==， ∴AC FG ，∴PAC ∠为直线PA 与直线FG 所成角或其补角，在PAC ∆中，5PA ==，AC == 由余弦定理可得2222PA AC PCcos PAC PA AC+-∠=⋅2225425+-==， ∴直线PA与直线FG 21．已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B ． （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2239(),(,2433x y x -+=∈-；（2）存在，544[,]{,}7733k ∈-⋃-【解析】试题分析：（1）利用垂径定理得到1C M OM ⊥，取的中点N ，则点M 的轨迹是以N 为圆心，32ON =为半径的圆1C 在圆1C 内部的圆弧 则点M 的轨迹是以N 为圆心，32ON =为半径的圆1C 在圆1C 内部的圆弧．写出圆方程，进一步求得x 的取值范围，（2）直线L:y=k （x-4）经过定点R （4，0）过点R 作圆2239()24x y -+=的切线，切点为Q ，判断切点在圆弧上，又635,12445QRK ==--3543PRK ==-44[{,}33k ∈⋃-． 试题解析：（1）取AB 的中点M ，连接1C M ．根据垂径定理有1C M AB ⊥即1C M OM ⊥．取的中点N则点M 的轨迹是以N 为圆心，32ON =为半径的圆1C 在圆1C 内部的圆弧．其所在圆的方程为2239()24x y -+=，联立2222(3)439()24x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得533x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩所以C:2239(),(24x y x -+=∈ （2）直线L:y=k （x-4）经过定点R （4，0）过点R 作圆2239()24x y -+=的切线，切点为Q ，下面判断切点的横坐标是否在5(,3]3内，作出圆2239()24x y -+= ，C 3(,0)2为的圆心，P 为（2）中圆弧上端点，P 5(,33作QS OR ⊥，则由相似三角形得，2912,,105CQ CS CR CS OS OC CS =⋅∴==+= 26126,(,)555CS CS SR QS Q =⋅∴=∴而512335<<所以切点Q 在（2）求得的圆弧上，又635,12445QRK ==--3543PR K ==-44[{,}33k ∈⋃-． 【考点】直线与圆的位置关系的综合应用．22．已知椭圆G ：2214x y +=，过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（2）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值．【答案】（1）焦点坐标为(，，23=e ； （2）||AB =，(,1][1,)m ∈-∞-+∞ ，2． 【解析】试题分析：（1）先由椭圆的标准方程求出b a ,值，再利用222c b a +=求出c 值，进而写出焦点坐标和离心率；（2）先讨论两种特殊情况（点)0,(m 在圆上，即斜率不存在的情况），再设出切线的点斜式方程，利用直线与圆相切得到k 与m 的关系，再联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系和弦长公式得到关于m 的关系式，再利用基本不等式进行求解．试题解析：（1）由已知得：2,1a b ==，所以c == 所以椭圆G的焦点坐标为(，．离心率为2c e a ==． （2）由题意知：||1m ≥．当1m =时，切线l 的方程为1x =，点A ，B的坐标分别为(1,2，(1,2-，此时||AB =当1m =-时，同理可得||AB =当||1m >时，设切线l 的方程为()y k x m =-．由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 22222(14)8440k x k mx k m +-+-=．设A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则2122814k m x x k +=+，22122414k m x x k=+．又由l 与圆221x y +=1=，即2221m k k =+．所以||AB ===由于当1m =±时，||AB =所以||AB =，(,1][1,)m ∈-∞-+∞ ．因为||2||||AB m m ==≤+，且当m =||2AB =， 所以||AB 的最大值为2．【考点】1．椭圆的标准方程和几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．直线与圆的位置关系．【易错点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题；在处理直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系时，往往第一步设直线方程时容易忽视“直线的斜率不存在”这一特殊情况，导致结果错误不得分或步骤不全而失分，如本题（2）中，当斜率不存在时的直线，即切线l 的方程为1x =的情况．。