浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节

E
B C
A
D G B C
A
F
E O
B C D
A 浙教版数学九年级上册第四章相似三角形
第三节 两个三角形相似的判定
【课本相关知识点】 相似三角形的几个判定：
1、 的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【补充】：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形也与原三角形相似
2、有 角对应相等的两个三角形相似。

3、两边 ，且 的两个三角形相似。

4、三边 的两个三角形相似。

【典型例题】
【题型一】判断两三角形是否相似（利用相似三角形的判定定理）
现在我们再也不需要利用两个三角形相似的定义来判断它们相似，因为那样做太繁琐了。

1、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，
（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4；A 1B 1=24.5，B 1C 1=17.5，C 1A 1=28
本题可以根据 的两个三角形相似来判定。

这两个三角形 （填相似或不相似）
【题型二】利用相似三角形求线段的长度
1、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M 。

若DB=9，求BM 的长
【题型三】利用相似三角形证明线段比例式或等积式
1、如图，四边形ABCD 内接于圆O ，E 为BA ，CD 延长线的交点。

（1）求证：△EDA ∽△EBC
（2）求证：AD ﹒CE=BC ﹒AE
【题型四】利用相似三角形解决实际生活问题
1、如图所示，已知零件的外径为a ，要求出它的厚度x ，需先求出内径AB ，但又不能直接量出AB ，现有一个交叉卡（两条直尺长AC ＝BD ）去量，若1
OC OD OA OB n
==，且量得CD ＝b ，求厚度x ．
【题型五】相似三角形中的“存在性”问题
1、如图所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接FC （AB ＞AE ） （1）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设
AB
k BC
=，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。

巩 固 练 习
1、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则
AO
DO
等于（ ） 25 B. 13 C. 23 D. 1
2
2、如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆上，CD ⊥AB ，DE ∥BC ，则图中与△ABC 相似的三角形有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD=2，DE=1，则BC 的长为（ ）
25 B. 13 C. 23 D. 1
2
4、如图，如果∠1=∠2，那么添加下列条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ） A.
AB AC AD AE = B. AB BC AD DE
= C. ∠B=∠D D. ∠C=∠AED 5、如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相邻的直角三角形的边长分别是3和4及x ，那么x 的值（ ）
A. 只有1个
B. 可以有2个
C. 有2个以上但有限
D. 有无数个
6、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，则a 、b 、c 满足的关系式是（ ）
O E A C B
E
D O A C D C B A
E 21D C A 第1题 第2题 第3题 第4题
A.b=a+c
B.b=ac
C.b 2=a 2+c 2
D.b=2a=2c
7、如图所示，在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB=3，AC=4，P 是BC 边上一点，作PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP=x ，则PD+PE=（ ）
A. 5x +3
B. 4-5x
C. 7
2
D. 21212525x x - 8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是
（ ） 9、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，有下列条件：①
1111AB BC A B B C =，②1111
AC BC
A C
B
C =，③∠A=∠A 1，④∠B=∠B 1， ⑤∠C=∠C 1，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A 1B 1C 1的共有（ ）组 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在DC 上，若DE:EC=1:2，则BF:BE= 11、如图，FG ∥BC ，FC 与GB 相交于点A ，FG=4，BC=7，FC=10，则FA 的长为
12、如图为△ABC 与△DEC 重叠的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB ∥DE ．若△ABC 与△DEC 的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=
【温馨提示：一定要牢牢记住这几个结论：相似三角形的对应边上的高之比、对应边上的中线之比、对应边上的角平分线之比都等于对应边之比】
13、已知：在ΔABC 中，BD 平分∠ ABC ，与AC 相交于点D ；DE // BC ，交AB 于点E ，AE=9cm ，BC=12cm ，则BE 的长度为 。

14、如图，在钝角△ABC 中，AB=6，AC=12，点D 从点A 出发沿AB 以1cm ／s 的速度向点B 移动，点E 从点C 出发沿CA 以2cm ／s 的速度向点A 移动，如果两点同时移动，经过________s 时，△ADE 与以A ，B ，C 为顶点的三角形相似。

B ．
C ．
D ． A B C G
B C A F F E D A B
C 第10题
第11题 第12题 第13题
F C A
B D E B
O A M P N B
D
A C
15、如图，在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，2）在坐标系内找一点C ，使以A 、B 、C 为顶点的三角形和△OAB 相似，则C 点坐标为
16、如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，E 是AC 上的点，延长ED 与射线CB 交于点F ．若AE ∶EC=1∶2， AD ∶BD=3∶2．求：FB ∶FC 的值．
17、如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB=AC ，D 是上一点，AD 的延长线交BC 的延长线于点P ，
（1）求证：AB 2
=AD ×AP
（2）若⊙O 的直径为25，AB=20，AD=15，求PC 和DC 的长
18、在正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M ，交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P 。

若MN=1，PN=3，求DM 的长度。

19、如图，在△ABC 的外接圆O 中，D 是BC 的中点，AD 交BC 于点E ，连接BD 。

（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC ，若在BAC 上任取一点K （点A ，B ，C 除外），连接CK ，DK ；DK 交BC 于点F ，DC 2
=DF ·DK
是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明。

20、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？。