初三数学圆期末全掌同步讲义

《圆》全章复习与巩固（一）
【知识网络】
【典型例题】
类型一、圆的有关概念及性质
例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
举一反三：
【变式】如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝．
例3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD =．
举一反三：
【变式】（2015•黑龙江）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
类型三、与圆有关的位置关系
例4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
N
M
O
C
B A
【变式】如图，P 为正比例函数图象上的一个动点，
的半径为3，设点P 的坐标为(x 、y).
(1)求与直线相切时点P 的坐标. (2)请直接写出
与直线相交、相离时x 的取值范围.
类型四、圆中有关的计算
例5．（2015•丽水）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，
过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若⊙O 的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
类型五、圆与其他知识的综合运用
例6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．
AB
【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
①请你补全这个输水管道的圆形截面图；
②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截
面的半径.
【巩固练习】
一、选择题
1.对于下列命题：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中，正确的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）
A．45°B．30° C．75° D．60°
3．秋千拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米(左右对称)，如图所示，则该秋千所荡过的圆弧长为( ).
A.米
B.米
C.米
D.米
4.在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．如图所示，在直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于E、F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为( )．
A．12 B．10 C．4 D．15
6．如图所示，方格纸上一圆经过(2，5)，(-2，1)，(2，-3)，(6，1)四点，则该圆圆心的坐标为( )． A．(2，-1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )．
A．55° B．90° C．110° D．120°
8.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）
A．10 B．8 C．6 D．5
二、填空题
9.如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= ．
10.如图，CD 是⊙O 的直径，A ，B 是⊙O 上任意两点，设∠BAC=y，∠BOD=x，则y 与x 之间的函数关系式是 __________ ．
11．如图所示，DB 切⊙O 于点A ，∠AOM=66°，则∠DAM=________________.
12．如图所示，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=CD ，则图中与∠1相等的角有________________.
13．点M 到⊙O 上的最小距离为2cm ，最大距离为10 cm ，那么⊙O 的半径为___ _____． 14．已知半径为R 的半圆O ，过直径AB 上一点C ，作CD ⊥AB 交半圆于点D ，且，则AC 的长 为_____ ___．
15．如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是弧AB 上一点，连接BD ，并延长至E ，连接AD ，若AB ＝AC ，
∠ADE ＝65°，则∠BOC ＝___ _____．
16．（2015•酒泉）如图，半圆O 的直径AE=4，点B ，C ，D 均在半圆上，若AB=BC ，CD=DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为 ．
2
CD R
三、解答题
17．如图，是半圆的直径，过点作弦的垂线交半圆 于点，交于点
使．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论；
18．在直径为20cm 的圆中，有一弦长为16cm ，求它所对的弓形的高。

19． 如图，点P 在y 轴上，
交x 轴于A 、B 两点，连结BP 并延长交
于C ，过点C 的直线
交轴于
，且
的半径为
，
.
(1)求点
的坐标； (2)求证：是的切线；
20.（2015•德州）如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC 的形状： ；
（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）当点P 位于
的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
AB O O AD O E AC C ，BED C ∠=∠AC
O
《圆》全章复习与巩固（二）
【典型例题】
类型一、圆的有关概念及性质
例1. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.
A ．－1≤≤1
B ．≤
≤ C ．0≤≤ D ．＞
举一反三：
类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理
例2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．
P x x x 2x 2x 2CF CB =
举一反三：
【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）
A ．19
B ．16
C ．18
D ．20
类型三、与圆有关的位置关系
例3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；
（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，
计算结果精确到，取）0.1cm 3173..
类型四、圆中有关的计算 例4．如图，AB 是⊙O 的直径，
=
，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作
⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ．
（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．
举一反三： 【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，FO ⊥AB ，垂足为点O ，连接AF 并延长交⊙O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ，∠B=30°，FO=2． （1）求AC 的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）
类型五、圆与其他知识的综合运用
例5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.
例6．如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B ′，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A. 3π
B. 6π
C. 5π
D. 4π
举一反三：
【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以
斜边长为12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).
A. B.72 C.36 D.72
【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，
那么∠ADO等于( )．
A．70° B．64° C．62° D．51°
2.已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（）
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交
3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).
A.(4π+8)cm2
B.(4π+16)cm2
C.(3π+8)cm2
D.(3π+16)cm2
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）
A．55° B．70° C．90° D．110°
5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，
以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )
A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸
6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则
这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
7．（2015•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )．
A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°
二、填空题
9.如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为度．
10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.
11.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值
= ．
12．（2015•巴彦淖尔）
如图，AB为⊙O的直径，
AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．
13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.
14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边
长为____ ____，面积为_____ ___．
15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……
(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；
(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．
16.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．
三、解答题
17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的
平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD.
18.（2015•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
19.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，
则BM＝CN；
②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，
则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，
则BM＝CN．
任务要求：
(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；
(2)请你继续完成下面的探索；
①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON
等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；
②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°
时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．。