初中数学微课课件：蝴蝶定理
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C
图3
B A
N H M
D C
图4
二、问题解决
问题1： 如图5，若四边形 ABDC为等腰梯形，MN 过对角线AD ，
BC 的交点H ，且AB ∥CD ∥MN ,可以得到哪些结论？
B A
N H M
C
图5
解 （1）角： ∠HAB=∠HBA, ∠AHC=∠BHD, ∠CAD=∠DBC, ∠AMH=∠BNH,…
思考：蝴蝶除了对称性外，还有哪些特征？将
实际问题抽象为几何图形后，怎样研究图形所具有
的性质？
图2
二、问题解决
连结六个特殊点，得到三个等腰梯形，其中图2是两个等腰梯形， 图3中的四边形 ABDC是等腰梯形，并且AD ，BC 和EF 近似过同一点。 下面我们重点研究这个图形（图4）.
B
F
A N
H
M
E D
A
B
F
H
EM
N
K
L
O
C D
∴O，H，M，K四点共圆， O，H，N，L四点共圆,
图7
∴∠AKH=∠MOH, ∠BLH= ∠NOH,
∴∠MOH= ∠NOH.
∴△MOH≌△NOH.
∴MH= NH.
蝴蝶定理：过弦EF的中点H，任作两条弦AD，BC，弦AC和BD分别交EF于点M，N.则H为线段MN的中点.
四、反思悟学
B
A N
H
M
公用边
等高
面积比=底边比
解 ∵△ABH和△AHC是一组等高三角形
C
图7
D
又∵△AHC和△CDH是一组等高三角形
∴S02=S1•S2.
三、生长拓学
问题4： 在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H 任意作两条弦AD，
BC，连结AC和BD，分别交EF于点M，N （如图7）.试探究点H是
否也是线段MN的中点.
知识与拓展
0204 蝴蝶定理
一、问题背景
蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏 平面几何中最精彩的结果之一.早在1815年，由W.G. 霍纳提出证明.“蝴蝶定理”这个名称最早出现在 《美国数学月刊》上，题目的图形像一只蝴蝶，因 此以此命名.
图1
有一种蝴蝶的身体十分独特如图2，若将决定这种蝴蝶的形态和大 小的6个特殊点（触须两个端点、张开翅膀的两个端点和张开双腿的两 个端点）连结起来，你能找到哪些特殊的图形？通过 这些图形，你能发现哪些数学结论？
D （3）三角形：△ABH∽△DCH， △AMH∽△ACD， △BHN∽△BCD.
三角形的面积关系仍然成立.
三、生长拓学
问题3： 在问题1中，设△ABH，△CDH，△AHC的面积分别为S1,S2,S0, 试证明：S02=S1•S2. 问题引导：△ABH，△CDH，△AHC在位置上有怎样
的关系？哪些定理与面积的比有关？
A
B
F H
EM
N
K
L
问题引导：由点H为弦EF 的中点，你联想到什么？若要证 ， 需要构造怎样的三角形全等？
点H为弦EF 的中点
垂径定理
连结OH,OM,ON 过点O作OK⊥AC,OL⊥BD
C
O
易证△AHC∽△BHD AH:BH=AC:BD
D
AH:BH=AK:BL
∠A= ∠B
图7
△AHK∽△BHL
∠AKH= ∠BLH
二、问题解决
问题2：若将图5中的等腰梯形ABDC改为一般梯形，其他条件不变 （图6），以上结论还成立吗？请加以说明.
B
A N
H
M
解 （1）角：平行线和对顶角所形成的角仍
然成立，原来由全等和等腰产生的角不再
A
B
成立.
M
N
EHF
（2）线段：HM=HN
S△AHC = S△BHD
HM=HN
D C
图5
C P 图6Q
O，H，M，K四点共圆， O，H，N，L四点共圆
∠AKH= ∠MOH ∠BLH= ∠NOH
∠MOH= ∠NOH
△MOH≌△NOH MH= NH
三、生长拓学
问题4： 在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H 任意作两条弦AD，BC，连结AC和BD，分别交EF 于点M，N （如图7）.试探究点H是否也是线段MN的中点.
从蝴蝶到蝴蝶定理的发现、探究，经历了图形的建模过程：
实际问题 抽象 数学问题
等腰梯形
转化
一般梯形
证明
猜想
观察 测量
发现
谢谢 观 看
玩转微课 拓 展思维
（2）线段：BC=AD，AC=BD，HM=HN，…
（3）三角形全等：△ABC≌△BAD，△ADC≌△BCD，
△AHC≌ห้องสมุดไป่ตู้BHD, …
三角形相似：△ABH∽△DCH，△AMH∽△ACD，
D
△BHN∽△BCD，…
三角形面积：S△ADC = S△BCD，S△ABC = S△BAD， S△AHC = S△BHD， S△ABH: S△CDH =AB2:CD2 ,…
图3
B A
N H M
D C
图4
二、问题解决
问题1： 如图5，若四边形 ABDC为等腰梯形，MN 过对角线AD ，
BC 的交点H ，且AB ∥CD ∥MN ,可以得到哪些结论？
B A
N H M
C
图5
解 （1）角： ∠HAB=∠HBA, ∠AHC=∠BHD, ∠CAD=∠DBC, ∠AMH=∠BNH,…
思考：蝴蝶除了对称性外，还有哪些特征？将
实际问题抽象为几何图形后，怎样研究图形所具有
的性质？
图2
二、问题解决
连结六个特殊点，得到三个等腰梯形，其中图2是两个等腰梯形， 图3中的四边形 ABDC是等腰梯形，并且AD ，BC 和EF 近似过同一点。 下面我们重点研究这个图形（图4）.
B
F
A N
H
M
E D
A
B
F
H
EM
N
K
L
O
C D
∴O，H，M，K四点共圆， O，H，N，L四点共圆,
图7
∴∠AKH=∠MOH, ∠BLH= ∠NOH,
∴∠MOH= ∠NOH.
∴△MOH≌△NOH.
∴MH= NH.
蝴蝶定理：过弦EF的中点H，任作两条弦AD，BC，弦AC和BD分别交EF于点M，N.则H为线段MN的中点.
四、反思悟学
B
A N
H
M
公用边
等高
面积比=底边比
解 ∵△ABH和△AHC是一组等高三角形
C
图7
D
又∵△AHC和△CDH是一组等高三角形
∴S02=S1•S2.
三、生长拓学
问题4： 在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H 任意作两条弦AD，
BC，连结AC和BD，分别交EF于点M，N （如图7）.试探究点H是
否也是线段MN的中点.
知识与拓展
0204 蝴蝶定理
一、问题背景
蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏 平面几何中最精彩的结果之一.早在1815年，由W.G. 霍纳提出证明.“蝴蝶定理”这个名称最早出现在 《美国数学月刊》上，题目的图形像一只蝴蝶，因 此以此命名.
图1
有一种蝴蝶的身体十分独特如图2，若将决定这种蝴蝶的形态和大 小的6个特殊点（触须两个端点、张开翅膀的两个端点和张开双腿的两 个端点）连结起来，你能找到哪些特殊的图形？通过 这些图形，你能发现哪些数学结论？
D （3）三角形：△ABH∽△DCH， △AMH∽△ACD， △BHN∽△BCD.
三角形的面积关系仍然成立.
三、生长拓学
问题3： 在问题1中，设△ABH，△CDH，△AHC的面积分别为S1,S2,S0, 试证明：S02=S1•S2. 问题引导：△ABH，△CDH，△AHC在位置上有怎样
的关系？哪些定理与面积的比有关？
A
B
F H
EM
N
K
L
问题引导：由点H为弦EF 的中点，你联想到什么？若要证 ， 需要构造怎样的三角形全等？
点H为弦EF 的中点
垂径定理
连结OH,OM,ON 过点O作OK⊥AC,OL⊥BD
C
O
易证△AHC∽△BHD AH:BH=AC:BD
D
AH:BH=AK:BL
∠A= ∠B
图7
△AHK∽△BHL
∠AKH= ∠BLH
二、问题解决
问题2：若将图5中的等腰梯形ABDC改为一般梯形，其他条件不变 （图6），以上结论还成立吗？请加以说明.
B
A N
H
M
解 （1）角：平行线和对顶角所形成的角仍
然成立，原来由全等和等腰产生的角不再
A
B
成立.
M
N
EHF
（2）线段：HM=HN
S△AHC = S△BHD
HM=HN
D C
图5
C P 图6Q
O，H，M，K四点共圆， O，H，N，L四点共圆
∠AKH= ∠MOH ∠BLH= ∠NOH
∠MOH= ∠NOH
△MOH≌△NOH MH= NH
三、生长拓学
问题4： 在⊙O中，取弦EF的中点H，过点H 任意作两条弦AD，BC，连结AC和BD，分别交EF 于点M，N （如图7）.试探究点H是否也是线段MN的中点.
从蝴蝶到蝴蝶定理的发现、探究，经历了图形的建模过程：
实际问题 抽象 数学问题
等腰梯形
转化
一般梯形
证明
猜想
观察 测量
发现
谢谢 观 看
玩转微课 拓 展思维
（2）线段：BC=AD，AC=BD，HM=HN，…
（3）三角形全等：△ABC≌△BAD，△ADC≌△BCD，
△AHC≌ห้องสมุดไป่ตู้BHD, …
三角形相似：△ABH∽△DCH，△AMH∽△ACD，
D
△BHN∽△BCD，…
三角形面积：S△ADC = S△BCD，S△ABC = S△BAD， S△AHC = S△BHD， S△ABH: S△CDH =AB2:CD2 ,…