(数列、解三角形部分)黑龙江省佳木斯市2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

黑龙江省佳木斯市2016-2017学年下学期期中考试
高一数学试卷
一、单选题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．在数列{a
n }中，a
1
=1，a
n+1
﹣a
n
=2，则a
5
的值为（）
A．7 B．9 C．11 D．12
2．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
3．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）
A．B． C．1 D．
5．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）
A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（﹣1，2），=（5，7）
C． =（3，5），=（6，10）D． =（2，﹣3），=（，﹣）
6．在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC大小为（）
A．B．C．D．
7．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
8．在△ABC中，已知a2+b2=c2+ba，则∠C=（）
A．30°B．150°C．45°D．135°
9．若平面向量与向量=（2，1）平行，且||=2，则=（）
A．（4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（6，﹣3） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
10．在△ABC中，c=3，b=3，B=30°，此三角形的解的情况是（）
A．一解B．两解C．无解D．不能确定
11．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosA=bcosB，则（）A．△ABC为等腰三角形
B．△ABC为等腰三角形或直角三角形
C．△ABC为等腰直角三角形
D．△ABC为直角三角形
12．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）
A．B．C．D．4
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．在横线上填上适当的数：3，8，15，，35，48．
14．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为．
15．写出数列，，，的一个通项公式为．
16．在△ABC中，A=60°，|AB|=2，且△ABC的面积为，则|AC|= ．
三、解答题（本大题共4小题，共36分.请在答题卡上作答，解答应写出文字说明及必要的演算步骤）
17．（8分）如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于1km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则求：灯塔A与灯塔B的距离．
18．（10分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
=，c=2，A=60°，求a、b的值；
（1）若△ABC面积S
△ABC
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．
19．（8分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当实数k为何值时，
（Ⅰ）k+与﹣3垂直？
（Ⅱ）k+与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？
20．（10分）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac．（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设 m=（sinA，cos2A），=（﹣6，﹣1），求的最小值．
黑龙江省佳木斯市2016-2017学年高一下学期期中
数学试卷参考答案与试题解析
一、单选题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．在数列{a
n }中，a
1
=1，a
n+1
﹣a
n
=2，则a
5
的值为（）
A．7 B．9 C．11 D．12
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】由题意可得数列{a
n
}为等差数列，且公差d=2，由等差数列的通项公式可得．
【解答】解：∵a
n+1﹣a
n
=2，
∴数列{a
n
}为等差数列，且公差d=2，
∴a
5=a
1
+4d=1+4×2=9
故选B
【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的判定，属基础题．
2．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°
【考点】HP：正弦定理．
【分析】根据B的度数求出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinA的值，然后根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：由a=，b=，B=45°，
根据正弦定理得：，
所以，又A∈（0，180°），
所以A等于60°或120°．
故选D
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
3．已知平面向量=（3，1），=（x，﹣3），且⊥，则x=（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】根据题意，⊥⇒=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，⊥⇒=0，
将向量坐标代入可得，3x+1×（﹣3）=0，
解可得，x=1，
故选：C．
【点评】本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可．
4．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）
A．B． C．1 D．
【考点】%H：三角形的面积公式．
=即可得出．
【分析】利用三角形面积公式S
△ABC
===．
【解答】解：S
△ABC
故选B．
=，属于基础题．
【点评】本题考查了三角形面积公式S
△ABC
5．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（）
A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（﹣1，2），=（5，7）
C． =（3，5），=（6，10）D． =（2，﹣3），=（，﹣）
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，D，C选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B．
【解答】解：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，
A中一个向量是零向量，两个向量共线，不合要求
C中两个向量是，两个向量共线，
D选项中的两个向量是，也共线，
故选B．
【点评】由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．
6．在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC大小为（）
A．B．C．D．
【考点】HS：余弦定理的应用．
【分析】先根据余弦定理求出角∠BAC的余弦值，再由角的范围确定大小即可．
【解答】解：∵，
又∠BAC∈（0，π），所以．
故选A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用．在三角形中求出余弦值找对应的角时切记莫忘角的范围．
7．已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为（）
A．B．C．D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量的数量积的定义和夹角的概念和范围，即可求得．
【解答】解：由于向量、满足||=1，||=4，且•=2，
则=||•||•cos＜，＞=2，
则有cos＜，＞==，
由于0＜＜，＞＜π，则有与的夹角为．
故选C．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和夹角的求法，考查运算能力，属于基础题．
8．在△ABC中，已知a2+b2=c2+ba，则∠C=（）
A．30°B．150°C．45°D．135°
【考点】HR：余弦定理．
【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：∵a2+b2=c2+ba，即a2+b2﹣c2=ab，
∴由余弦定理得：cosC==，
∴∠C=45°．
故选：C．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
9．若平面向量与向量=（2，1）平行，且||=2，则=（）
A．（4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（6，﹣3） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】用向量平行的充要条件和向量的模的平方等于向量的平方求值．
【解答】解：设=k=（2k，k），
而||=2，则，即k=±2，
故=（4，2）或（﹣4，﹣2）．
故答案为D
【点评】考查向量平行的充要条件、向量模的求法．
10．在△ABC中，c=3，b=3，B=30°，此三角形的解的情况是（）
A．一解B．两解C．无解D．不能确定
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得sinC=，结合范围C∈（0，π），利用特殊角的三角函数值可得C=60°，或120°，即可得解．
【解答】解：∵c=3，b=3，B=30°，
∴由正弦定理可得sinC===，
∵C∈（0，π），
∴C=60°，或120°，故有2解．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
11．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosA=bcosB，则（）
A．△ABC为等腰三角形
B．△ABC为等腰三角形或直角三角形
C．△ABC为等腰直角三角形
D．△ABC为直角三角形
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】由余弦定理得=，推导出a=b或a⊥b，从而△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosA=bcosB，
∴=，
整理，得：（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0，
∴a=b或a2+b2=c2，
∴a=b或a⊥b，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查三角形形状的判断，考查余弦定理、勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
12．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）
A．B．C．D．4
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模．
【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．
【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°
∴||=1，||=1，
=cos60°
∴||===
故选C．
【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．在横线上填上适当的数：3，8，15，24 ，35，48．
【考点】F1：归纳推理；82：数列的函数特性．
﹣15=9，…，即可得出．
【分析】利用8﹣3=5，15﹣8=7，a
4
﹣15=9，…，
【解答】解：∵8﹣3=5，15﹣8=7，a
4
=24．
可得a
4
故答案为：24．
【点评】本题考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，属于基础题．
14．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为﹣．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知的比例式，得到a，b及c的比值，根据比例设出a，b及c，再利用余弦定理表示出cosC，将表示出的三边长代入，即可求出cosC的值．
【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，
∴根据正弦定理得：a：b：c=3：2：4，
设a=3k，b=2k，c=4k，
则由余弦定理得cosC===﹣．
故答案为：﹣
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．
15．写出数列，，，的一个通项公式为 ．
【考点】F1：归纳推理；82：数列的函数特性．
【分析】根据数列项的规律，确定数列的通项公式即可．
【解答】解：由数列的前几项公式可知，该数列的分母是从2开始的自然数，∴分母为n+1， 分子的平方位置的数和分母一样，求减去的是相同的常数1，∴分子是（n+1）2﹣1，
∴数列的一个通项公式可以为：．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查数列的通项公式的求法，根据数列项与n 的关系建立通项公式是解决本题的关键．
16．在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为
，则|AC|= 1 ．
【考点】HT ：三角形中的几何计算；%H ：三角形的面积公式． 【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：在△ABC 中，A=60°，|AB|=2，且△ABC 的面积为，
所以，
则|AC|=1． 故答案为：1．
【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查．
三、解答题（本大题共4小题，共36分.请在答题卡上作答，解答应写出文字说明及必要的演算步骤）
17．如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于1km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则求：灯塔A 与灯塔B 的距离．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】利用余弦定理计算AB．
【解答】解：由题意可知AC=BC=1，∠ACB=120°，
由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB=1+1﹣2×1×1×（﹣）=3，
∴AB=，
即灯塔A与灯塔B的距离为km．
【点评】本题考查了余弦定理，属于基础题．
18．（10分）（2017•清新区校级一模）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．
=，c=2，A=60°，求a、b的值；
（1）若△ABC面积S
△ABC
（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．
【考点】HR：余弦定理；GZ：三角形的形状判断．
【分析】（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值；
（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形．
【解答】解：（1）∵，
∴，得b=1，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2•cos60°=3，
所以．
（2）由余弦定理得：，∴a2+b2=c2，
所以∠C=90°；
在Rt△ABC中，，所以，
所以△ABC是等腰直角三角形．
【点评】此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．已知=（1，2），=（﹣3，2），当实数k为何值时，
（Ⅰ）k+与﹣3垂直？
（Ⅱ）k+与﹣3平行？平行时它们是同向还是反向？
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】（1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（2）利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：，
（1）∵，
得．
（2）∵，得，
此时，所以方向相反．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（10分）（2017春•林口县校级期中）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设 m=（sinA，cos2A），=（﹣6，﹣1），求的最小值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）由余弦定理得：cosB==，由此能求出B．
（Ⅱ）求出=﹣6sinA﹣cos2A=2（sinA﹣）2﹣，由此能求出取得的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a、b、c是角A、B、C所对的边，且满足a2+c2﹣b2=ac．
∴由余弦定理得：cosB==，
又∵0＜B＜π，∴B=．
（Ⅱ）∵ m=（sinA，cos2A），=（﹣6，﹣1），
∴=﹣6sinA﹣cos2A
=2sin2A﹣6sinA﹣1
=2（sinA﹣）2﹣，
∵0＜A＜，∴0＜sinA≤1．
∴当sinA=1时，取得最小值为﹣5．
【点评】本题考查三角形中角的大小的求法，考查向量的数量积的求法，考查余弦定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。