点的速度合成定理
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凸轮上动点 A 相对于杆 AB 的运动不明显，不能 清楚地判定相对运动轨迹，自然无法判定相对速度的方向和 大小，不能求解。
本例的两种解法说明，如何适当选择动点和动系是用合成法分 析问题的关键。在应用速度合成定理时，有下列两点请读者注 意。 （1）分析由主动件和从动件构成的机构时，一般取它们的连接 点为动点，但动点固连于主动件或从动件应由相对轨迹能否容 易被观察而判定。 （2）如果构件 A上的点相对构件 B 运动轨迹易知，则动系固连 于 B ；反之，如构件 B上的点相对构件 A 运动轨迹易知，动系 应固连于构件 A 。当然动点和动系决不应在同一构件上，否则 就没有了相对运动，合成法也就毫无意义了。
在速度合成定理的矢量式中，只有绝对速度 和相对速度的大小两个未知量，可求得
va ve tan v0 tan 30 0.577v0
图6-5（a）
取凸轮上的 A 点为动点，把动系固结在杆 AB 上， 如图6-5（b）所示。
由于凸轮做平动，动点的绝对运动是水平直 线运动，速度的大小和方向均是已知的。牵 连运动为杆 AB 沿铅垂方向的平动，杆上 A 点为牵连点，牵连速度方向已知，大小未知。
度的大小为
vr va2 ve2 u12 u22
vr 的方向如图6-4所示，其中tan u1 /u2 。
例6-2
如图6-5（a）所示，半径为 的半圆形靠模凸轮以等速 v0沿水 平轨道向左运动，带动受有约束的杆 AB 沿铅垂方向平动。求
当 30 时，杆AB 的速度。 解
杆 AB做平动，且在 A 点与已知运动的凸轮相 接触，故只需求杆上 A点的速度。
速度方向已知，大小为 r ；相对运动为
动点沿 O1B 方向的直线运动，相对速度方向 已知但大小未知；牵连运动为杆 O1B 的定
轴转动，牵连速度为杆O1B 上与动点A 相重 合的点 A 的速度，方向应垂直于 O1A ，但 大小未知。
图6-6（a）
由速度矢量图，显然有
ve va sin
r 20
l2 r2
例6-3
如图6-6（a）所示，曲柄 OA上一端 A 与滑块铰接，滑块运动时带
动杆O1B 绕 O1 点摆动。设 OA r ，OO1 l ，当OA 以角速度0转动时，
求摇杆 O1B 的角速度1 。 解
取曲柄 OA 上的 A点为动点，将动系 O1xy 固结在杆 O1B 上，如图6-6（a）所示，则 绝对运动为 A点绕 O点的圆周运动，绝对
图6-3
首先，动点随曲线 AB 上的重合点，沿弧 MM 运动到 M1 点；然后，
动点沿曲线 AB ，由M1 点运动到 M 点，M1M 曲线为相对轨迹， 则矢量 MM ，MM1 ，M1M 分别为动点的绝对位移、牵连位移和相 对位移。
由图6-3可观察到如下矢量表达式：
MM MM1 M1M 用 t 除上式两端，并令t 0 ，取极限，得
在应用速度合成定理式（6-4）解题时，要注意如下两点。
（1）在选择动点及动系时，应注意两条原则：即动点、 动系不能选定在同一物体上；动点的相对轨迹必须要明显。 （2）在三种运动及三种速度的分析中，特别要注意牵连 点及牵连速度的概念和分析。
例6-1
直升飞机以速度 u1垂直降落，在直升机的正下方一军舰以速 度 u2 直线行驶，如图6-4所示。求直升机相对军舰的速度。
理论力学
点的速度合成定理
设有一动点 M 按给定规律沿着固结有动坐标系的曲线 AB 运动，而 曲线 AB 同时又随动坐标系相对于静坐标系运动，如图6-3所示。
在瞬时 t ，动点位于曲线 AB上的M 点。经过时间 间隔 t 后，曲线 AB随动坐标系运动到新的位 置 AB ；同时，动点沿弧 MM 运动到 M 点，则 弧 MM 即为动点的绝对轨迹。
解
取飞机为动点，用 M 表示，则其绝对运动 为垂直下降的直线运动。
将动系固结在军舰上，则牵连运动为直线平动。
由于牵连运动为直线平动，所以动点的牵连速
度 ve的大小为
ve u2
图6-4
其方向与 u2 同向。又由于动点的绝对速度 va u1 ，则根据速 度合成定理，可画出速度平行四边形，由此可最后确定相对速
则
1
ve O1 A
r 20
l2 r2
取 r 30 cm ，l 40 cm ，则O1A 50 cm 。 先写出相对轨迹方程，离散成180个点， 借助计算机绘图，以短折线代替曲线， 可绘出相对轨迹如图6-6（b）所示。
图6-6（b）
理论力学
lim MM lim MM1 lim M1M
t0 t
t0 t
t0 t
根据点的速度定义，动点 M 在瞬时t 的绝对速度为
va
lim
t 0
MM t
它的方向沿绝对轨迹 MM 的切线。
相对速度
vr
lim
t 0
M1M t
它的方向沿在 M 点处相对轨迹AB 的切线。
牵连速度
ve
lim
t0
MM1 t
同样，它的方向沿曲线 MM1 的切线。 由上述关系，便可得到 va ve vr （6-4）
式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度
的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度 va 可由它 的牵连速度 ve 与相对速度vr 构成的平行四边形的对角线来确定，如
图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。
本例的两种解法说明，如何适当选择动点和动系是用合成法分 析问题的关键。在应用速度合成定理时，有下列两点请读者注 意。 （1）分析由主动件和从动件构成的机构时，一般取它们的连接 点为动点，但动点固连于主动件或从动件应由相对轨迹能否容 易被观察而判定。 （2）如果构件 A上的点相对构件 B 运动轨迹易知，则动系固连 于 B ；反之，如构件 B上的点相对构件 A 运动轨迹易知，动系 应固连于构件 A 。当然动点和动系决不应在同一构件上，否则 就没有了相对运动，合成法也就毫无意义了。
在速度合成定理的矢量式中，只有绝对速度 和相对速度的大小两个未知量，可求得
va ve tan v0 tan 30 0.577v0
图6-5（a）
取凸轮上的 A 点为动点，把动系固结在杆 AB 上， 如图6-5（b）所示。
由于凸轮做平动，动点的绝对运动是水平直 线运动，速度的大小和方向均是已知的。牵 连运动为杆 AB 沿铅垂方向的平动，杆上 A 点为牵连点，牵连速度方向已知，大小未知。
度的大小为
vr va2 ve2 u12 u22
vr 的方向如图6-4所示，其中tan u1 /u2 。
例6-2
如图6-5（a）所示，半径为 的半圆形靠模凸轮以等速 v0沿水 平轨道向左运动，带动受有约束的杆 AB 沿铅垂方向平动。求
当 30 时，杆AB 的速度。 解
杆 AB做平动，且在 A 点与已知运动的凸轮相 接触，故只需求杆上 A点的速度。
速度方向已知，大小为 r ；相对运动为
动点沿 O1B 方向的直线运动，相对速度方向 已知但大小未知；牵连运动为杆 O1B 的定
轴转动，牵连速度为杆O1B 上与动点A 相重 合的点 A 的速度，方向应垂直于 O1A ，但 大小未知。
图6-6（a）
由速度矢量图，显然有
ve va sin
r 20
l2 r2
例6-3
如图6-6（a）所示，曲柄 OA上一端 A 与滑块铰接，滑块运动时带
动杆O1B 绕 O1 点摆动。设 OA r ，OO1 l ，当OA 以角速度0转动时，
求摇杆 O1B 的角速度1 。 解
取曲柄 OA 上的 A点为动点，将动系 O1xy 固结在杆 O1B 上，如图6-6（a）所示，则 绝对运动为 A点绕 O点的圆周运动，绝对
图6-3
首先，动点随曲线 AB 上的重合点，沿弧 MM 运动到 M1 点；然后，
动点沿曲线 AB ，由M1 点运动到 M 点，M1M 曲线为相对轨迹， 则矢量 MM ，MM1 ，M1M 分别为动点的绝对位移、牵连位移和相 对位移。
由图6-3可观察到如下矢量表达式：
MM MM1 M1M 用 t 除上式两端，并令t 0 ，取极限，得
在应用速度合成定理式（6-4）解题时，要注意如下两点。
（1）在选择动点及动系时，应注意两条原则：即动点、 动系不能选定在同一物体上；动点的相对轨迹必须要明显。 （2）在三种运动及三种速度的分析中，特别要注意牵连 点及牵连速度的概念和分析。
例6-1
直升飞机以速度 u1垂直降落，在直升机的正下方一军舰以速 度 u2 直线行驶，如图6-4所示。求直升机相对军舰的速度。
理论力学
点的速度合成定理
设有一动点 M 按给定规律沿着固结有动坐标系的曲线 AB 运动，而 曲线 AB 同时又随动坐标系相对于静坐标系运动，如图6-3所示。
在瞬时 t ，动点位于曲线 AB上的M 点。经过时间 间隔 t 后，曲线 AB随动坐标系运动到新的位 置 AB ；同时，动点沿弧 MM 运动到 M 点，则 弧 MM 即为动点的绝对轨迹。
解
取飞机为动点，用 M 表示，则其绝对运动 为垂直下降的直线运动。
将动系固结在军舰上，则牵连运动为直线平动。
由于牵连运动为直线平动，所以动点的牵连速
度 ve的大小为
ve u2
图6-4
其方向与 u2 同向。又由于动点的绝对速度 va u1 ，则根据速 度合成定理，可画出速度平行四边形，由此可最后确定相对速
则
1
ve O1 A
r 20
l2 r2
取 r 30 cm ，l 40 cm ，则O1A 50 cm 。 先写出相对轨迹方程，离散成180个点， 借助计算机绘图，以短折线代替曲线， 可绘出相对轨迹如图6-6（b）所示。
图6-6（b）
理论力学
lim MM lim MM1 lim M1M
t0 t
t0 t
t0 t
根据点的速度定义，动点 M 在瞬时t 的绝对速度为
va
lim
t 0
MM t
它的方向沿绝对轨迹 MM 的切线。
相对速度
vr
lim
t 0
M1M t
它的方向沿在 M 点处相对轨迹AB 的切线。
牵连速度
ve
lim
t0
MM1 t
同样，它的方向沿曲线 MM1 的切线。 由上述关系，便可得到 va ve vr （6-4）
式（6-4）表示：动点的绝对速度等于动点的牵连速度与相对速度
的矢量和，这就是点的速度合成定理，即动点的绝对速度 va 可由它 的牵连速度 ve 与相对速度vr 构成的平行四边形的对角线来确定，如
图6-3所示。该平行四边形称为速度平行四边形。