高二数学同步单元双基双测“AB”卷(必修2)专题06 直线、平面垂直的判定与性质(B卷)

（测试时间：120分钟满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )
A．平行B．垂直
C．在平面α内D．无法确定
解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α斜交．
2．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α.
②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α.
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 对于①不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，②③是正确的．
3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行B．垂直相交
C．垂直但不相交D．相交但不垂直
4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是( )
A. 5 B．2 5
C．3 5 D．4 5
解析：选D 如图所示，作PD⊥BC于D，连AD.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CD.
∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.
在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，
∴PD＝82＋42＝4 5.
5．下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③B．②④
C．③④D．①②
6．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( ) A．相等B．互补
C．不确定D．相等或互补
答案：C
7.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
解析：选C 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD
⊥平面PAD，A、B、D正确．
8.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A．90°B．60°
C．45°D．30°
解析：选A ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，
∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A. 9．如图所示，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
10．已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．其中正确的命题是( ) A．②③B．①③
C．②④D．③④
解析：选D 对于①，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，不可能垂直，所以①不正确；对于②，平行于同一条直线的两个平面相交或平行，所以②不正确；③④正确，故选D. 11．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )
A．变大B．变小
C．不变D．有时变大有时变小
解析：选C 由于BC⊥CA，l⊥平面ABC，
∴BC⊥l，故BC⊥平面ACP，
∴BC⊥CP，∴∠PCB＝90°，故选C.
12．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是.(填序号)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1;
④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
答案:④
14.如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为.
解析:
过P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,
连接OF,易知△CFO为直角三角形.又PC=4,PF=2,∴CF=2,∴CO=2,在Rt△PCO中,cos
θ=,∴θ=45°.
答案:45°
15.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的一个平面交AA'于E,交CC'于F,则:①四边形BFD'E一定是平行四边形;②四边形BFD'E有可能是正方形;③四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD'E有可能垂直于平面BB'D.
以上结论正确的为.(写出所有正确结论的序号)
解析:如图所示:
∵BE=FD',ED'=BF,∴四边形BFD'E为平行四边形.∴①正确.
②不正确(四边形BFD'E有可能是矩形).③正确(其射影是正方形ABCD).④正确.当E,F分别是AA',CC'中点时正确.
答案:①③④
16. (2016广东河源高二期中)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC ⊥SO;⑤AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角,其中正确结论的序号是.
解析:
∵SD⊥底面ABCD,
∴∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角.
∵AD=CD,SD=SD,
∴∠SAD=∠SCD,则③正确.
∵AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,
∴AC⊥SO,则④正确.
∵AB∥CD,
∴∠SCD是AB与SC所成的角,∠SAB是DC与SA所成的角,
∵△SDA≌△SDC,∴SA=SC.
∵AB=CD,SB>SD,
∴∠SCD≠∠SAB,则⑤不正确.
答案:①②③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.如图，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3且MA⊥AC，AB ＝4，求MC与平面ABC所成角的正弦值．
18.如图，在锥体P－ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC 的中点．
证明：AD⊥平面DEF.
证明：取AD的中点G，连接PG，BG.
∵PA＝PD，∴AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1.
∵DE∩EF＝E，∴AD⊥平面DEF.
19．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线， ∴EF ∥SC . ∵SC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EDB . ∴平面EDB ⊥平面ABCD .
20．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝1
2AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE
的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .
证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC . ∵AB ＝1
2
AD ，E 是AD 的中点，
∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .
又A′N⊂平面A′BE，
∴平面A′BE⊥平面BCDE.
21．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.
(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD.
(2)过P作PO⊥AD，垂足为O.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3. 22．如图，是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB ＝5a .
(1)证明：EB ⊥FD ；
(2)求点B 到平面FED 的距离．
解：(1)证明：∵FC ⊥平面BED ，BE ⊂平面BED ，∴EB ⊥FC .
又点E 为的中点，B 为直径AC 的中点，∴EB ⊥BC .
又∵FC ∩BC ＝C ，∴EB ⊥平面FBD .
∵FD ⊂平面FBD ，∴EB ⊥FD .
(2)如图，在平面BEC 内过C 作CH ⊥ED ，连接FH .则由FC ⊥平面BED 知，ED ⊥平面FCH .
∵Rt △DHC ∽Rt △DBE ， ∴DC DE ＝CH BE . 在Rt △DBE 中，
DE ＝BE2＋BD2＝BE2＋2BC 2＝5a ，
∴CH ＝DC·BE DE ＝a·a 5a ＝55
a .。