2024-2025学年度八年级苏科版数学上册第1次月测调研试卷[含答案]

2024-2025学年度八年级苏科版数学上册第1次月测调研试卷
一.填空题：（每题4分，共24分）
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
3．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
4．（4分）在数0、0.、、、0.1010010001、中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（4分）已知：等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△A′B′C′≌△ABC，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7 cm B．2 cm或7 cm
C．5 cm D．2 cm或5 cm
6．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN＝AC，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．36°C．50°D．60°
二.选择题（每题4分，共40分）
7．（4分）﹣2的绝对值是 ．
8．（4分）16的算术平方根是 ，﹣8的立方根是 ．
9．（4分）某镇2014年上半年公共财政预算收入约为23.07亿元，则近似数23.07亿精确到 位．
10．（4分）比较大小： （）2， （用“＞、＝、＜”号连接）．11．（4分）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝ °．
12．（4分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转40°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是 ．
13．（4分）若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长，那么它的最小内角为 ．14．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE＝2，AB＝5，则AC长是 ．
15．（4分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点
Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若∠PMO＝33°，
∠PNO＝70°，则∠QPN的度数为 ．
16．（4分）如图是3×3正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．移动其中一个黑色方块到其他无色位置，使得整个图形成为轴对称图形（包括黑色部分），你有 种不同的移法．
三．解答题（86分）
17．（10分）解方程
（1）4x2＝121
（2）（x﹣1）3＝125．
18．（6分）计算（π﹣3）0﹣+﹣（﹣）﹣2．
19．（8分）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小．
20．（10分）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF．
21．（10分）已知：3+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
22．（10分）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME＝MF．（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
23．（10分）已知：如图，9×9的网格中（每个小正方形的边长为1）有一个格点△ABC．（1）利用网格线，画∠CAB的角平分线AQ，画BC的垂直平分线，交AQ于点D，交直线AB于点E；
（2）连接CD、BD，判断△CDB的形状，并说明理由；
（3）求AE的长．
24．（10分）已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E、F，DE＝DF．
（1）当点D在BC边上时（如图），判断△ABC的形状（直接写出答案）；
（2）当点D在△ABC内部时，（1）中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．
（3）当点D在△ABC外部时，（1）中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．
25．（12分）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．
（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时（如图2），
①试判断△DEF的形状，并说明理由；
②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．
（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存在，求出CG的长，若不存在，说明理由；
参考答案与试题解析
一.填空题：（每题4分，共24分）
1．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（4分）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．
【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A＝∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC＝DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
3．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；
B、在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，是真命题；
C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；
D、在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；
故选：C．
【点评】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4．（4分）在数0、0.、、、0.1010010001、中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的三种形式找出无理数的个数．
【解答】解：无理数有：、，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，
②无限不循环小数，③含有π的数．
5．（4分）已知：等腰△ABC的周长为18cm，BC＝8cm，若△A′B′C′≌△ABC，则△A′B′C′中一定有一条边等于（ ）
A．7 cm B．2 cm或7 cm
C．5 cm D．2 cm或5 cm
【分析】分BC是等腰三角形的底边与腰两种情况进行讨论．
【解答】解：当BC是等腰△ABC的底边时，腰长＝＝5cm；
当BC是等腰△ABC的腰长时，底边＝18﹣8﹣8＝2cm．
∵△A′B′C′≌△ABC，
∴△A′B′C′中一定有一条边等于2cm或5cm．
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
6．（4分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN＝AC，则∠A的度数是（ ）
A．30°B．36°C．50°D．60°
【分析】首先证明∠ACN＝∠ANC＝2∠ACM，然后证明∠A＝∠ACM即可解决问题．
【解答】解：由题意知：
∠ACM＝∠NCM；
又∵AN＝AC，
∴∠ACN＝∠ANC＝2∠ACM；
∵CM是直角△ABC的斜边AB上的中线，
∴CM＝AM，
∴∠A＝∠ACM；
由三角形的内角和定理知：
∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
故选：B．
【点评】该命题考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
二.选择题（每题4分，共40分）
7．（4分）﹣2的绝对值是　2﹣　．
【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．
8．（4分）16的算术平方根是　4　，﹣8的立方根是　﹣2　．
【分析】根据算术平方根与立方根的定义直接解答即可．如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根；一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵4的平方为16，
∴16的算术平方根为4，
∵﹣2的立方为﹣8，
∴﹣8的立方根为﹣2．
故答案为：4，﹣2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义和性质：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
9．（4分）某镇2014年上半年公共财政预算收入约为23.07亿元，则近似数23.07亿精确到　百万　位．【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【解答】解：∵23.07亿末尾数字9是百万位，
∴23.07亿精确到百万位．
故答案为：百万；
【点评】本题考查了近似数的确定，熟悉数位是解题的关键．
10．（4分）比较大小：　＝　（）2，　＞　（用“＞、＝、＜”号连接）．【分析】先根据数的开方及乘方法则计算出各数，再比较出与（）2的大小；先通分，再估算出与的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵＝25，（）2＝25，
∴＝（）2；
∵≈1.73，≈2.24，
∴≈0.87，≈0.75．
∵0.87＞0.75，
∴＞．
故答案为：＝，＞．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟记与的近似值是解答此题的关键．
11．（4分）如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝　50　°．
【分析】由∠BAC＝80°，可得出∠EAC的度数，由AD平分∠EAC，可得出∠EAD的度数，再由AD∥BC，可得出∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠EAC＝100°，
∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线的性质及平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等，同旁内角互补．
12．（4分）如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转40°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是　50°　．
【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝40°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．
【解答】解：由题意知：∠ACA′＝40°；
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，
得：∠A′＝90°﹣40°＝50°；
由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝50°；
故∠BAC的度数是50°
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，关键是由旋转的角度易得∠ACA′＝40°解答．
13．（4分）若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长，那么它的最小内角为　30°　．【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝DB＝AB，然后求出BC＝CD＝BD，从而判断出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠B＝60°，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD＝DB＝AB，
又∵CD＝BC，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴最小内角为30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
14．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若△ABC的面积为9，DE＝2，AB＝5，则AC长是　4　．
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【解答】解：
过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和三角形ADC 的面积．
15．（4分）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若∠PMO＝33°，
∠PNO＝70°，则∠QPN的度数为　17°　．
【分析】先根据点P于点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线，故
PM＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数，同理可得出PN＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定义得出∠PNQ的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵点P于点Q关于直线OA对称，
∴OM是线段PQ的垂直平分线，∠PMO＝33°，
∴PM＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO＝66°，
∴∠PQM＝＝57°．
同理可得PN＝RN，
∠PNR＝2∠PNO＝140°，
∴∠PNQ＝180°﹣140°＝40°．
∵∠PQM是△PNQ的外角，
∴∠QPN＝∠QPN+∠PNQ，即57°＝40°+∠QPN，解得∠QPN＝57°﹣40＝17°．
故答案为：17°．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．
16．（4分）如图是3×3正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．移动其中一个黑色方块到其他无色位置，使得整个图形成为轴对称图形（包括黑色部分），你有　8　种不同的移法．
【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可．
【解答】解：如图所示：有8种不同的移法，
．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练应用轴对称图形的性质是解题关键．
三．解答题（86分）
17．（10分）解方程
（1）4x2＝121
（2）（x﹣1）3＝125．
【分析】（1）根据平方根定义求出即可；
（2）根据立方根定义求出即可．
【解答】解：（1）4x2＝121，
2x＝±11，
x1＝，x2＝﹣；
（2）（x﹣1）3＝125，
x﹣1＝5，
x＝6．
【点评】本题考查了平方根，立方根的应用，主要考查学生运用定义进行计算的能力，难度不是很大．
18．（6分）计算（π﹣3）0﹣+﹣（﹣）﹣2．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用立方根定义计算，第三项利用二次根式的性质化简，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝1﹣（﹣）+2﹣4
＝﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）如图，在11×11的正方形网格中，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（要求A与A1，B与B1，C与C1相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得△PAC的周长最小．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接；
（2）连接AC1与l的交点即为点P，此时△PAC的周长最小．
【解答】解：（1）所作图形如图所示；
（2）点P即为所求的点．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C关于直线l对称的点，然后顺次连接．
20．（10分）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF．
【分析】（1）根据Rt△ABC≌Rt△ADE，得出
AC＝AE，BC＝DE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，从而推出∠CAD＝∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF；
（2）由△CDF≌△EBF，得到CF＝EF．
【解答】（1）解：△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF；
（2）证法一：连接CE，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE．
∴∠ACE＝∠AEC（等边对等角）．
又∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴∠ACB＝∠AED．
∴∠ACE﹣∠ACB＝∠AEC﹣∠AED．
即∠BCE＝∠DEC．
∴CF＝EF．
证法二：∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．
即∠CAD＝∠EAB．
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB，
∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE．
又∵∠ADE＝∠ABC，
∴∠CDF＝∠EBF．
在△CDF和△EBF中，
，
∴△CDF≌△EBF（AAS）．
∴CF＝EF．
证法三：连接AF，
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AB＝AD．
又∵AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL）．
∴BF＝DF．
又∵BC＝DE，
∴BC﹣BF＝DE﹣DF．
即CF＝EF．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．（10分）已知：3+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】根据题意可以得到x、y的值，从而可以得到x﹣y的值．
【解答】解：∵3+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝5，y＝3+﹣5＝，
∴x﹣y＝5﹣（）＝5﹣+2＝7﹣．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
22．（10分）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME＝MF．（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A＝50°，求∠FME的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF＝BM＝CM＝BC，再求出ME＝BM＝CM＝BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出
∠BMF+∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，
∴MF＝BM＝CM＝BC，
∵ME＝MF，
∴ME＝BM＝CM＝BC，
∴∠MEB＝∠MBE，∠MEC＝∠MCE，
∵2∠MEB+2∠MEC＝180°，
∴∠MEB+∠MEC＝90°，
∴BE⊥AC；
（2）解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵ME＝MF＝BM＝CM，
∴∠BMF+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣2×130°
＝100°，
在△MEF中，∠FME＝180°﹣100°＝80°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用．
23．（10分）已知：如图，9×9的网格中（每个小正方形的边长为1）有一个格点△ABC．（1）利用网格线，画∠CAB的角平分线AQ，画BC的垂直平分线，交AQ于点D，交直线AB于点E；
（2）连接CD、BD，判断△CDB的形状，并说明理由；
（3）求AE的长．
【分析】（1）利用正方形的对角形即可画出图形，
（2）利用线段的垂直平分线证明，
（3）利用△EFB∽△CAB证明．也可以利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图即为所求；
（2）如图，△CDB是等腰直角三角形，
根据线段中垂线上的点到线段两顶点的距离相等．
（3）如图，
∵∠ABC＝∠FBE，∠CAB＝∠EFB＝90°，
∴△EFB∽△CAB，
∴＝，
∴＝，解得EB＝，
∴AE＝EB﹣AB＝﹣4＝．
方法二：由题意：（AE+2）2+32＝（AE+4）2﹣（22+32），
解得AE＝．
【点评】本题主要考查了作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是灵活的运用网格图．
24．（10分）已知：D为△ABC所在平面内一点，且DB＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是
E、F，DE＝DF．
（1）当点D在BC边上时（如图），判断△ABC的形状（直接写出答案）；
（2）当点D在△ABC内部时，（1）中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．
（3）当点D在△ABC外部时，（1）中的结论是否一定成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例（画图说明）．
【分析】（1）用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD＝∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形；（2）先画图，根据已知可证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD＝∠FCD，由DB＝DC，可得∠DBC＝∠DCB，从而可得∠EBD＝∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形；（3）通过画图可知当点D在△ABC外部时，（1）中的结论不一定成立，
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，且DE＝DF，
∵DB＝DC，
在Rt△EBD与Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）如图，当点D在△ABC内部时，△ABC是等腰三角形成立，
理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°，且DE＝DF，
∵DB＝DC，
在Rt△EBD与Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），
∴∠EBD＝∠FCD，
∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠EBD+∠DBC＝∠FCD+∠DCB，
即∠EBD＝∠FCD，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）当点D在△ABC外部时，（1）中的结论不一定成立，
反例如图：
【点评】本题主要考查三角形全等的判定、性质及学等腰三角形的判定方法，证明此题的关键是用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD＝∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．25．（12分）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2．现将一块三角板的直角顶点放在AB的中点D处，两直角边分别与直线AC、直线BC相交于点E、F．我们把DE⊥AC时的位置定为起始位置（如图1），将三角板绕点D顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）．
（1）在旋转过程中，当点E在线段AC上，点F在线段BC上时（如图2），
①试判断△DEF的形状，并说明理由；
②判断四边形ECFD的面积是否发生变化，并说明理由．
（2）设直线ED交直线BC于点G，在旋转过程中，是否存在点G，使得△EFG为等腰三角形？若存
在，求出CG的长，若不存在，说明理由；
【分析】（1）①连接CD，根据等腰直角三角形的性质得出CD平分∠C，CD⊥AB，进而证得△DCE≌△DFB，从而证得DE＝DF，即可判定△DEF是等腰直角三角形．②根据△DCE≌△DFB即可证明S四边形ECFD＝S△BCD＝×1×1＝，从而得出四边形ECFD的面积不发生变化．
（2）分三种情况分别讨论可得出结论．
【解答】解：（1）①△DEF等腰直角三角形，
证明如下，如图2，∵AC＝BC，∠C＝90°，D为AB中点，连接CD，
∴CD平分∠C，CD⊥AB，
∵∠DCB＝∠B＝45°，
∴CD＝DB＝1，
∵∠EDC+∠CDF＝∠CDF+∠FDB＝90°，
∴∠EDC＝∠FDB，
在△DCE和△DFB中，
，
∴△DCE≌△DFB（ASA），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形．
②四边形ECFD的面积不发生变化；
理由如下：∵△DCE≌△DFB，
∴S四边形ECFD＝S△BCD＝×1×1＝
∴四边形ECFD的面积不发生变化．
（2）如图3a，当G在线段CB延长线上时，
∵∠FGE＜45°，∠FEG＝45°，∠EFG＞90°
∴△EFG不可能是等腰三角形；
如图3b，当G与C重合时，E与A重合，F与C重合，此时FE＝FG，CG＝，
如图3c，当G在线段BC上时，
∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG＝45°，
∴只能EF＝EG，
∵EC⊥FG，
∴FC＝CG，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDG＝90°，
∴DC＝FG＝CG，
∴CG＝1；
综上，CG的值为或1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，（2）分类讨论是本题的重点．。