王高雄版《常微分方程》习题解答4.2

习题4.2
1. 解下列方程 （1）045)
4(=+''-x x x
解：特征方程1
12204543212
4
-==-===+-λλλλλλ
，，，有根
故通解为x=t
t t
t
e
c e c e
c e
c --+++432221
(2)0333
2
=-'+''-'''x a x a
x a x
解：特征方程0333
2
2
3
=-+-a a a λλλ
有三重根a
=λ
故通解为x=at
at
at e
t c te
c e
c 2321
++
（3）04)
5(='''-x x
解：特征方程043
5
=-λλ
有三重根0
=λ
，=4
λ
2，=5λ-2
故通解为5
42
32221
c t c t c e c e
c x t
t
++++=-
（4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022
=++λλ
有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i
故通解为t e
c t e
c x t
t
3sin 3cos 21
--+=
(5) 0=+'+''x x x
解：特征方程012
=++λλ有复数根=
1λ,2
31i
+
-=
2λ,2
31i
-
-
故通解为t
e
c t e
c x t t 2
3sin
2
3cos
2
122
11
--+=
(6) 12
+=-''t s a s
解：特征方程02
2
=-a
λ
有根
1
λa,=2
λ
-a
当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at
at
e
c e
c -+21
Bt A s +=~代入原方程解得2
1a
B A -
==
故通解为s=at
at e
c e c -+21
-
)
1(12
-t a
当a=0时,)(~212
γγ+=t t s 代入原方程解得2
1,612
1=
=
γ
γ
故通解为s=t c c 21+-
)
3(6
12
+t t
(7)
32254+=-'+''-'''t x x x x
解：特征方程0
2542
3
=-+-λλλ
有根=1
λ
2,两重根=
λ 1
齐线性方程的通解为x=t
t
t
te
c e c e
c 3221
++
又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt
A x +=~代入原
方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=t
t t
te
c e c e
c 3221
++-4-t
(8)
322
)
4(-=+''-t x x x
解：特征方程12120122
4
-===+-λλλλ
重根，重根有
故齐线性方程的通解为x=t
t
t t te
c e
c te c e c --+++4321
取特解行如c Bt At
x ++=2
~代入原方程解得
A=1，B=0,C=1
故通解为x=t
t
t
t
te
c e c te c e
c --+++4321
+12
+t
(9)t x x cos =-''' 解：特征方程013
=-λ
有复数根=
1λ,231i
+
-=
2λ,231i
-
-13=λ
故齐线性方程的通解为t
t t e
c t e
c t e
c x 32
122
1
1
2
3sin
2
3cos
++=--
取特解行如t
B t A x sin cos ~
+=代入原方程解得A=2
1,2
1-=B
故通解为t
t t e c t e
c t e
c x 32
122
11
2
3sin
2
3cos
++=--)
sin (cos 2
1t t +-
(10)
t
x x x 2sin 82=-'+''
解：特征方程022
=-+λλ
有根=1λ-2,=2λ 1
故齐线性方程的通解为x=t
t
e
c e
c 221
-+
因为+-2i 不是特征根
取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~
+=代入原方程解得
A=5
6,5
2-=-B
故通解为x=t
t
e
c e
c 221-+t
t 2sin 5
62cos 5
2-
-
（11）t
e x x =-''' 解：特征方程013
=-λ
有复数根=
1λ,2
31i
+
-=
2λ,2
31i
-
-13=λ
故齐线性方程的通解为
t
t t e
c t e
c t e
c x 32
122
1
12
3sin
2
3cos
++=--
=λ1
是特征方程的根，故t
Ate x =~代入原方程解得A=3
1
故通解为t
t t e
c t e
c t e
c x 32
122
1
1
2
3sin
2
3cos
++=--+t
te 3
1
（12）t
e
s a s a s =+'+''2
2
解：特征方程0
22
2
=++a a λλ
有2重根=λ-a
当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t
t te
c e
c 21
+,
=λ1
是特征方程的2重根，故t
e
At x 2
~
=代入原方程解得A=2
1
通解为s=2
21
2
1t
te c e
c t
t
+
+,
当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at
at te
c e
c --+21
,
=λ1
不是特征方程的根，故t
Ae x =~代入原方程解得A=2
)
1(1+a
故通解为s=at
at
te
c e
c --+21
+
t
e
a 2
)
1(1+
（13）t
e x x x 256=+'+''
解：特征方程0562
=++λλ
有根=1λ-1,=2λ-5
故齐线性方程的通解为x=t
t
e
c e
c 521
--+
=λ2不是特征方程的根，故t
Ae x 2~=代入原方程解得A=
21
1
故通解为x=t
t e
c e
c 521
--++
t
e
221
1
（14）t
e x x x t
cos 32-=+'-''
解：特征方程0322
=+-λλ
有根=1λ-1+
2
i,=2
λ
-1-2
i
故齐线性方程的通解为t
e c t e
c x t
t
2sin
2cos
21
+=
i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如t
e t B t A x -+=)sin cos (~代入
原方程解得A=41
4,415-
=B
故通解为t
e c t e
c x t
t
2sin
2cos
21
+=+t
e
t t --
)sin 41
4cos 41
5
(
(15) t t x x 2cos sin -=+''
解：特征方程012
=+λ
有根=1λi,=2λ- i
故齐线性方程的通解为t
c t c
x sin cos 21
+=
t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 2
1
~
-= t
x x 2cos -=+''
t
B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得
A=3
1 B=0 故t x 2cos 3
1
~
= 故通解为t c t c x sin cos 21
+=t t cos 2
1-
t
2cos 3
1+。