【三维设计】高中数学 第一部分 第二章 2.1 数列应用创新演练 苏教版必修5

【三维设计】高中数学 第一部分 第二章 2.1 数列应用创新演
练 苏教版必修5
一、选择题
1．数列0，13，12，35，2
3，…的通项公式为________．
解析：数列可化为
02，13，24，35，4
6
，…观察可得： a n ＝n －1n ＋1
.
答案：a n ＝
n －1
n ＋1
2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n
n ＋
(n ∈N *
)，那么1120
是这个数列的第________
项．
解析：由
1n
n ＋
＝
1
120
得， n 2＋2n －120＝0，
解得n ＝10或n ＝－12(舍去)． 答案：10
3．根据下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有________个点．
解析：由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，… 则其通项公式为a n ＝n 2
， 故第n 个图形中的点数为n 2
. 答案：n 2
4．已知f (1)＝2，f (n ＋1)＝f n ＋1
2
(n ∈N *
)，
则f (4)＝________. 解析：∵f (1)＝2，f (n ＋1)＝
f n ＋1
2
，
∴f (2)＝
f
＋12＝32， f (3)＝
f
＋12＝3
2＋12＝54， f (4)＝
f ＋12＝5
4＋12＝98
. 答案：98
5．(2011·合肥三模)已知x 与函数f (x )的对应关系如下表所示，数列{a n }满足：a 1＝3，
a n ＋1＝f (a n )，则a 2 011＝________
2
解析：∵a 1＝3， ∴a 2＝f (a 1)＝f (3)＝1，
a 3＝f (a 2)＝f (1)＝3.
∴数列{a n }为周期排列，且周期T ＝2. ∴a 2 011＝a 1＝3. 答案：3 二、解答题
6．写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)－1,7，－13,19，… (2)8,88,888,8 888，… (3)23，415，635，863，10
99，… (4)3,0，－3,0,3,0，－3,0，…
解：(1)应解决两个问题：一是符号问题，可考虑用(－1)n
或(－1)
n ＋1
表示，二是各项
绝对值的排列规律，不难发现后面的数的绝对值总比它前面的数的绝对值大6.故通项公式a n ＝(－1)n
(6n －5)，(n ∈N *
)．
(2)首先联想数列9,99,999,9 999，…的通项公式
a n ＝10n －1，而8＝89×9,88＝89×99,888＝89×999，8 888＝89
×9 999.
∴a n ＝89
(10n －1)，(n ∈N *
)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为
1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．经过组合，则所求数列的通项公式a n ＝
2n
n －n ＋
，(n ∈N *
)．
(4)数列的各项具有周期性，联想基本数列1,0，－1,0，…，则a n ＝3sin n π
2
，(n ∈N *
)．
7．已知数列2，74，2，…的通项公式为a n ＝an 2
＋b
cn ，求a 4、a 5.
解：将a 1＝2，a 2＝7
4代入通项公式得，
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋b
c ＝2，4a ＋b 2c ＝74，
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＝3a ，
c ＝2a ，
所以a n ＝an 2＋b cn ＝n 2＋3
2n
.
所以a 4＝42
＋32×4＝198，a 5＝52
＋32×5＝14
5
.
8．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n (n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．
解：(1)∵f (x )＝2x
－2－x
，f (log 2a n )＝－2n . ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，即a n －1
a n
＝－2n ，
∴a 2
n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2
＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2
＋1－n ，n ∈N *
.
(2)a n ＋1
a n
＝
n ＋
2
＋1－n ＋
n 2＋1－n
＝
n 2＋1＋n
n ＋2
＋1＋n ＋
<1.
∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．。