(易错题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测(含答案解析)(1)

一、选择题
1．设0a >，若随机变量ξ的分布列如下：
A ．()D ξ
B ．(||)D ξ
C ．(21)
D ξ-
D ．(2||1)D ξ+
2．设随机变量(),1N ξ
μ，函数()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，则
()01P ξ<≤=（ ）
附：若()2,N ξ
μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，
()220.9544P X μσμσ-<≤+≈.
A ．0.1587
B ．0.1359
C ．0.2718
D ．0.3413
3．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．
23
B ．
35
C ．
12
D ．
25
4．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()5
3E X =，则()D X =（ ） A ．
19
B ．
39
C ．59
D ．79
5．已知随机变量X 的分布列：
若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（ ） A ．
13
B ．
14
C ．
15
D ．
16
6．元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项（其中有且只有1个正确）.游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分.某人答完20道题，并且会做其中10道题，其它试题随机答题，则他所得积分X 的期望值()E X =（ ） A ．25
B ．24
C ．22
D ．20
7．已知随机变量()2,1X
N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向长方形OABC 中随
机投掷1点，则该点恰好落在阴影部分的概率为（ ） 附：若随机变量()2,N ξ
μσ，则()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，
()220.9544P μσξμσ-≤≤+=.
A ．0.1359
B ．0.7282
C ．0.6587
D ．0.8641
8．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的
概率均为3
4
，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ）
A ．
13
B ．
25
C ．
23
D ．
45
9．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ） A ．
110
B ．
14
C ．
310
D ．
25
10．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2
010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X
N σ，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为
ˆ23y
x =-； （4）“1≥x ”是“1
2x x
+≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16.已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．
67
B ．
2125
C ．
4950
D ．不确定
12．若随机变量X 的分布列为（ ）
X 0
1 2
且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．
13
B ．0
C ．1
D ．
23
二、填空题
13．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为__.
14．已知随机变量X 服从正态分布(
)2
3,N σ
，若()130.3P X <≤=，则
()5P X ≥=______.
15．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
16．甲队和乙队进行乒乓球决赛，采取七局四胜制（当一队贏得四局胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队每局取胜的概率为0.8．且各局比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_____
17．下表是随机变量X 的分布列，其中a ，b ，c 成等比数列，23a c b +=，且a ，b ，
c 互不相等.则()D X =__________．
18．下列说法正确的有________(填序号)．
①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．
三、解答题
19．某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2
期、3期和4期.记随机变量1x 、2x 分别表示顾客购买H 型手机和V 型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，1x 和2x 的分布列如下表所示：
1x
1 2 3 4 P
0.1 0.4 0.4 0.1 2x
1 2 3 4 P
0.4
0.1
0.1
0.4
率；
（2）电商平台销售一部V 型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部V 型手机所获得的利润为X （单位：元），求X 的分布列； （3）比较()1D x 与()2D x 的大小（只需写出结论）.
20．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜.比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. （1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲的得分不低于乙的得分的概率； （2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分ξ的分布列和数学期望()E ξ.
21．为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取100只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如下的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：
（1）根据频率分布直方图，估计100只小白鼠该项医学指标平均值x （同一组数据用该组
数据区间的中点值表示）；
（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X 服从正态分布(
)2
,N μσ
，且首次注射疫苗的小
白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的100只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有10只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值x ，2σ近似为样本方差2s ．经计算得2 6.92s =，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p （精确到0.01）． 附：参考数据与公式
6.92 2.63≈，若()
2
~,X N μσ，则①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；
②()220.9545P X μσμσ-<≤+=；③()330.9973P X μσμσ-<≤+=． 22．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作
为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为(490495]，，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列及期望.
（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 23．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[)0,1，[)1,2，
[)2,3，[)3,4，[)4,5，[]5,6共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布
表如图所示（单位：小时）.
乙班同学学习数学平均时间的频数分布表
学习数学时间区间频数
[)
0,12
[)
1,25
[)
2,310
[)
3,416
[)
4,514
[]
5,63
0,2的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[)
0,1范围内的概率；
习数学的平均时间在[)
（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
24．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：
22
⨯0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？
8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
25．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立.
（1）求恰有一个空盒的概率；
（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求()
E X. 26．面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此某市在八里湖新区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：
①租用时间不超过1小时，免费；
②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分； ③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分； ④租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；
⑤租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）
甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.3，0.3；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是
0.2，0.1．
（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由概率分布列求出参数a ，然后求出均值和方差再比较． 【详解】
由题意231a a a ++=，16
a =
， ()11151026326E ξ=-⨯+⨯+⨯=，1117
()1026326E ξ=⨯+⨯+⨯=，
()D ξ=
222151515(1)(0)(2)663626⨯--+⨯-+⨯-=5336
， 222171717
()(1)(0)(2)663626D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=2936．
()()1D D ξξ>>，5353(21)4369D ξ-=⨯
=，2929
(21)4369
D ξ+=⨯=． 其中(21)D ξ-最大． 故选：C ． 【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2
D aX b a D X +=）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
2．B
解析：B 【分析】
首先根据函数()f x 没有零点求出ξ的取值范围，再根据()f x 没有零点的概率是0.5，得到
(1)0.5P ξ<-=，再根据正态曲线的性质得到μ的值；然后再根据正态曲线的对称性求出
()01P ξ<≤的值即可.
【详解】 解：
函数()2
2f x x x ξ=+-没有零点，
∴二次方程220x x ξ+-=无实根，
44()0ξ∴∆=--<，1ξ∴<-，
又
()22f x x x ξ=+-没有零点的概率是0.5，
(1)0.5P ξ∴<-=，
由正态曲线的对称性知：1μ=-，
()1,1N ξ
∴-，1,1μσ∴=-=，
2,0,23,21μσμσμσμσ∴-=-+=-=-+=， (20)0.6826P ξ∴-<<=，(31)0.9544P ξ-<<=，
[][]11(01)(31)(20)0.95440.68260.135922
P P P ξξξ∴<≤=
-<<--<<=-=， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查正态分布的曲线的性质，二次方程的解等知识点，考查运算求解能力；解本题的方法是根据()f x 没有零点得到1ξ<-，再结合正态分布的图像的对称性得到μ值，然后再利用正态分布函数图像的性质求解即可；解题的关键点是要熟知正态分布函数图像的对称性.
3．D
解析：D 【分析】
设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1
()2
P A =
，
1
()5
P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361
()2
C P A C ==，
设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361
()5
C P AB C ==，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
()2
(|)1()
52
1
5P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.
4．C
解析：C 【分析】
设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==
，5
()3
E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．
【详解】
设(1)P X p ==，(2)P X q ==，
15
63
()23E X p q =++⨯=——①，
又1
6
1p q ++=——② 由①②得，1
2p =
，13
q =， 222111()(1)(25555
333(9
))2336D X ∴=-+-+-=
故选：C. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
5．B
解析：B 【分析】
由(21)4()D X D X +=，可得1
()2
D X =，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解. 【详解】
由题意，11()0()2121222
a
E X p a p p =⨯-+⨯
+⨯=∴+= 且(21)2D X +=，又1
(21)4()()2
D X D X D X +=∴=
22211
()(01)()(1)(21)222
D X p a p ∴=-⨯-+-⨯+-⨯=
联立可得：11,4
a p == 故选：B 【点睛】
本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
6．A
解析：A 【分析】
设剩余10题答对题目为Y 道,则可表示出总的得分情况为202X Y =+.由二项分布可先求得()E Y ,即可得所得积分X 的期望值()E X 【详解】
设剩余10题答对题目为Y 个,
有10道题目会做,则总得分为202X Y =+,且1~10,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由二项分布的期望可知()1
10 2.54
E Y =⨯
= 所以()()2202 2.52025E X E Y =+=⨯+= 故选:A 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的简单应用,二项分布的数学期望求法,属于中档题.
7．D
解析：D 【分析】
根据正态分布密度曲线的对称性和性质，再利用面积比的几何概型求解概率，即得解. 【详解】
由题意，根据正态分布密度曲线的对称性，可得：
()()1
(01)(22)0.13592
P X P P μσξμσμσξμσ≤≤=-≤≤+--≤≤+=
故所求的概率为10.1359
0.86411
P -==， 故选：D 【点睛】
本题考查了正态分布的图像及其应用，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.
8．A
解析：A 【分析】
记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()
P AB P B A P A =.
【详解】
记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，
事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局， 由独立事件的概率乘法公式得()1
2313944432
P AB C =⋅
⋅⋅=， 对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，
()2
392743232
P A ⎛⎫∴=+=
⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】
本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
9．B
解析：B 【分析】
记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率． 【详解】
记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，
甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为42
4248A A =，
由古典概型的概率公式可得()5
54825
P A A =
=. 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元
素，排法种数为32
3212A A =，由古典概型的概率公式可得()5512110
P AB A =
=， 由条件概率公式可得()
()()
151
1024
P AB P B A P A ==
⨯=，故选B. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．
10．C
解析：C 【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得
2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；
（2）中，已知(
)2
2,X N σ
~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所
以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确； （4）中，当1x ≥
时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，
所以“1x ≥”是“1
2x x
+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
直接利用条件概率公式计算出该事件的概率． 【详解】
记事件A ：某公司职员一小时内吸烟5支未诱发脑血管病， 记事件B ：某公司职员一小时内吸烟10支未诱发脑血管病，
则事件B |A ：某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，在这一小时内还能继吸
烟5支不诱发脑血管病， 则B ⊂
A ，A
B ＝A ∩B ＝B ， P （A ）＝1﹣0.02＝0.98，P （B ）＝1﹣0.16＝0.84， 因此，P （B |A ）()()
()()
0.846
0.987
P AB P B P A P A ==
=
=， 故选A ． 【点睛】
本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再
由P (B |A )＝
()
()
P AB P A ,求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝
()()
n AB n A .
12．D
解析：D 【解析】
分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .
详解：由题得1
113
,,13021
3
a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨
⎪⨯++=⎪⎩ 所以2
2
2
1112()(01)(11)(21).3
3
33
D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值
的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋2
22()x E p ξ-⋅＋…＋
2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期
望．
二、填空题
13．【解析】所以且概率和解得
解析：1
3
【解析】
42ηξ=-，()()9427,4
E E E ηξξ=-==，所以
()11912344124E m n ξ=⨯+++⨯=，且概率和11
1412m n +++=，解得13
n =.
14．02【分析】根据随机变量X 服从正态分布可知正态曲线的对称轴是利用对称性可得结果【详解】随机变量服X 从正态分布正态曲线的对称轴是故答案为：02【点睛】本题考查了正态分布考查了计算能力属于一般题目
解析：0.2 【分析】
根据随机变量X 服从正态分布2
(3)，δN ，可知正态曲线的对称轴是3x =，利用对称性，可得结果. 【详解】
随机变量服X 从正态分布2
(3)，δN ，正态曲线的对称轴是3x =
(35)(13)0.3≤<=<≤=P X P X ，(5)0.5(35)0.2>=-≤<=P X P X
故答案为：0.2 【点睛】
本题考查了正态分布，考查了计算能力，属于一般题目.
15．【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案【详解】记第一次摸出新球为事件A 第二次取到新球为事件B 则故答案为：【点睛】本题考查了条件概率的计算意在考查学生的计算能力和应用能力
解析：5
9
【分析】
直接利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】
记第一次摸出新球为事件A ，第二次取到新球为事件B ，
则()()()262
10161
10
155
456910C P AB C P B A C P A C =
===. 故答案为：5
9
. 【点睛】
本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．【分析】直接利用二项分布公式的但是要注意实际问题4:1不能简单的二项分布【详解】甲队以4∶1获胜时共进行了局比赛其中甲队在前局中获胜局第局必胜则概率=【点睛】本题属于易错题高考中就出现过4:1获胜是 解析：
1024
3125
【分析】
直接利用二项分布公式的，但是要注意实际问题4:1不能简单的二项分布. 【详解】
甲队以4∶1获胜时共进行了5局比赛，其中甲队在前4局中获胜3局，第5局必胜，则概
率3
1
4144C 555P ⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=
10243125
. 【点睛】
本题属于易错题，高考中就出现过，4:1获胜是需要前4场3胜一负，并且第五场赢下.
17．【解析】分析：由题意首先求得实数abc 的值然后利用期望公式求得期望值最后结合求得的期望值求解方差即可详解：由题意可得：解得：或互不相等则：分布列为： 故其方差为：点睛：本题主要考查 解析：
5249
【解析】
分析：由题意首先求得实数a ,b ,c 的值，然后利用期望公式求得期望值，最后结合求得的期望值求解方差即可.
详解：由题意可得：2231b ac a c b a b c ⎧=⎪
+=⎨⎪++=⎩
，
解得：131313a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩或472717a b c ⎧=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
.
a ，
b ，
c 互不相等，则：421
,,777
a b c =
==，分布列为：
故()0777
E X =-
++=-，其方差为： ()2
2
2
2422215210277777749D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭. 点睛：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差的计算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．4【解析】①错误因为离散型随机变量ξ的期望反映了ξ取值的平均水平
②错误因为离散型随机变量ξ的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度③错误因为离散型随机变量的方差反映了ξ取值的波动水平而随机变量的期望
解析：4 【解析】
①错误．因为离散型随机变量ξ的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．
②错误．因为离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差()D ξ反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望
()E ξ反映了ξ取值的平均水平．
④正确．由方差的意义可知正确．
三、解答题
19．（1）0.04（2）见解析（3）()1D x ()2D x < 【分析】
（1）某位顾客购买H 型和V 手机是独立事件，由独立事件的概率公式求解即可； （2）先得出X 的可能取值，再算出相应概率，即可得出X 的分布列； （3）由以往销售数据统计，结合数据的集中和离散程度得出()1D x ()2D x <. 【详解】
（1）某位顾客购买H 型和V 手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为0.10.40.04⨯=
（2）X 的可能取值为600,650,700,750,800,850,900
(600)0.40.40.16P X ==⨯=
1
2(650)0.40.10.08P X C ==⨯⨯= 12(700)0.10.10.10.40.09P X C ==⨯+⨯⨯= 1122(750)0.40.40.10.10.34P X C C ==⨯⨯+⨯⨯= 12(800)0.10.10.10.40.09P X C ==⨯+⨯⨯= 12(850)0.10.40.08P X C ==⨯⨯=
(900)0.40.40.16P X ==⨯=
则X 的分布列为
（3）1D x 2D x < 【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）先判断随机变量是不是离散型随机变
量，主要看随机变量的值能否按一定的顺序一一列举出来； （2）明确随机变量X 可取哪些值； （3）求X 取每一个值的概率； （4）写出分布列. 20．（1）3
7；（2）分布列见解析，
607
. 【分析】
（1）甲再摸2球至少得4分，分两种情况：一个红球，一个其他球，或者两个黄球，求出方法数，由此根据古典概型公式计算出概率．
（2）乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，可计算出3个球的得分情况也即乙得分情况，分别计算概率得概率分布列，从而计算出期望． 【详解】
（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件A ，因为球的总分为16，即事件A 指的是甲的得分大于等于8
则()1121632
793
217
C C C P A C +=== （2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分、7分、8分、9分、10分、11分等
()33371
635C P C ξ===
()21
333
79
735C C P C ξ⋅=== ()12333
79
835C C P C ξ⋅=== ()11331333
774
935C C C P C C ξ⋅==+= ()1113313
79
1035C C C P C ξ⋅⋅=== ()21313
73
1135
C C P C ξ⋅=== 所以ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望678910113535353535357
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
【点睛】
关键点点睛：本题考查古典概型概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望．解题关键是确定摸球得分情况，确定摸到球的方法数，从而计算出概率． 21．（1）17.4；（2）0.94. 【分析】
（1）利用每一个小矩形的面积乘以对应的底边中点的横坐标之和即为x ；
（2）先计算第一次注射疫苗后产生抗体的概率()()14.77P x P x μσ≥=≥-，即可计算第一次注射疫苗后100只小白鼠中产生抗体的数量，加上第二次注射疫苗10只小白鼠又产生了抗体，可以得出两次注射疫苗产生抗体的总数，即可求概率. 【详解】
（1）0.021220.061420.141620.181820.05202x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
0.032220.0224217.4+⨯⨯+⨯⨯= （2）17.40 2.6314.77μσ-=-=
∴()10.6827
0.68270.84142
P x μσ-≥-=+
= 记事件A 表示首先注射疫苗后产生抗体，则
()()()14.770.8414P A P x P x μσ=≥=≥-=，
因此100只小鼠首先注射疫苗后有1000.841484⨯≈只产生抗体，有1008416-=只没有产生抗体．故注射疫苗后产生抗体的概率8410
0.94100
P +==. 【点睛】 结论点睛：
频率分布直方图的相关公式以及数字特征的计算， ①直方图中各个小长方形的面积之和为1； ②直方图中每组样本的频数为频率乘以总数； ③最高的小矩形底边中点横坐标即是众数； ④中位数的左边和右边小长方形面积之和相等；
⑤平均数是频率分布直方图的重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
22．（1）12件；（2）分布列见解析；期望为3965
；（3）231
703. 【分析】
（1）求出重量超过505克的产品的频率，再计算数量即可；
（2）X 的所有可能取值为0、1、2，求出对应的概率即可列出分布列，求出数学期望； （3）求出恰有2件产品的重量超过505克包含的基本事件的个数，除以总的基本事件的个数即可求解. 【详解】
（1）重量超过505克的产品频率为0.0550.0150.3⨯+⨯=，
重量超过505克的产品数量是400.312⨯=件； （2）X 的所有可能取值为0、1、2，
0212282
40142763
(0)780130C C P X C ⋅⨯====， 12282
41011228(15)7801306
C C P X C ⋅⨯====， 2012282
4061111
(2)780130
C C P X C ⋅⨯====， X 的分布列为：
X 的期望561139()01213013013065
E X =⨯
+⨯+⨯=； （3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件
A ，
则32
28125
40231
()703
C C P A C ⋅==. 【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 23．（1）35；（2）分布列见解析，127
. 【分析】
（1）先求得甲班中学习平均时间在[)0,1内的人数为2，在[)1,2内的人数为4，根据排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求得平均时间在[)0,1范围内的概率；
（2）求得甲班学习数学平均时间在区间[]5,6的人数为4，乙班学习数学平均时间在区间
[]5,6的人数为3，得到随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出分
布列，利用公式求得数学期望. 【详解】
（1）因为乙班学生的总人数为25101614350+++++=，。