九江市师院附中八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘

14.1 整式的乘法
教学目标：理解同底数幂的乘法法则,运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊到般再到特殊的认知规律．教学重点与难点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围．
教学过程：
一、回顾幂的相关知识
a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
二、创设情境，感觉新知
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
学生分析，总结结果
1012×103= ()×(10×10×10) == 1015．
通过观察可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
学生动手：
计算下列各式：（1）25×22 （2）a3·a2（3） 5m·5n（m、n都是正整数）
教师引导学生注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．
得到结论：
（1）特点：这三个式子都是底数相同的幂相乘．相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
（2）一般性结论：a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
a m·a n= ()·() = () = a m+n
a m·a n=a m+n（m、n都是正整数），即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
例1.计算：（1）103×104；（2）a • a3 （3）a • a3•a5 (4) x m×x3m+1
例2.计算：(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)5 （3）-a·(-a)3 （4）-a3·(-a)2 （5）(a-b)2·(a-b)3 （6）(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5
例3. (1)已知a m＝3，a m＝8，求a m+n 的值.
(2)若3n+3=a，请用含a的式子表示3n的值.
(3)已知2a=3，2b=6，2c=18，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由.
三、小结：
同底数幂的乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；
二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n = a m+n（m、n是正整数）．
15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减
理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算．
重点
运用分式的加减运算法则进行运算． 难点
异分母分式的加减运算．
一、复习提问 1．什么叫通分？
2．通分的关键是什么？ 3．什么叫最简公分母？
4．通分的作用是什么？(引出新课) 二、探究新知
1．出示教材第139页问题3和问题4. 教材第140页“思考”．
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察下列分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝1
6.你能将它们推广，得出分式的
加减法法则吗？
教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法则． 学生讨论：组内交流，教师点拨． 2．同分母的分式加减法．
公式：a c ±b c ＝a±b c
.
文字叙述：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bc bd
.
文字叙述：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题
例1(教材例6) 计算：
(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)
12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y
2
＝5x ＋3y －2x x 2－y 2
＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y
；
(2)12p ＋3q ＋12p －3q
＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q
（2p ＋3q ）（2p －3q ）
＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p
4p 2－9q
2.
小结：
(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2 计算： m ＋2n n －m ＋n m －n －2m
n －m
. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2m
n －m
＝m ＋2n －n －2m n －m
＝n －m n －m
＝1.
四、课堂练习
1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋3
4abc ；
(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－4
2－a ；
(4)a 2
－b 2
ab －ab －b 2
ab －ab
2.
五、课堂小结
1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．
2．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．
3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．
4．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式． 六、布置作业
教材第146页习题15.2第4，5题．
从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到
繁、由易到难，符合学生认知的发展规律，有助于知识的层层落实与掌握．
检测内容：14.1
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．(温州中考)计算a 6·a 2
的结果是( C )
A ．a 3
B ．a 4
C ．a 8
D ．a 12
2．(2019·南通)下列计算，正确的是( D )
A ．a 2·a 3＝a 6
B ．2a 2
－a ＝a
C ．a 6÷a 2＝a 3
D ．(a 2)3＝a 6
3．下列多项式相乘的结果为x 2
＋3x －18的是( D ) A ．(x －2)(x ＋9) B ．(x ＋2)(x －9) C ．(x ＋3)(x －6) D ．(x －3)(x ＋6)
4．通过计算比较图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是( D )
A ．a (b －x )＝ab －ax
B ．b (a －x )＝ab －bx
C ．(a －x )(b －x )＝ab －ax －bx
D ．(a －x )(b －x )＝ab －ax －bx ＋x 2
5．下列运算中，错误的是( B ) A ．(6a 3＋3a 2)÷12 a ＝12a 2
＋6a
B ．(6a 3
－4a 2
＋2a )÷2a ＝3a 2
－2a C ．(9a 7－3a 3)÷(－13 a 3)＝－27a 4
＋9
D ．(14 a 2＋a )÷(－12 a )＝－1
2
a －2
6．(2019·河北)小明总结了以下结论： ①a (b ＋c )＝ab ＋ac ； ②a (b －c )＝ab －ac ；
③(b －c )÷a ＝b ÷a －c ÷a (a ≠0)； ④a ÷(b ＋c )＝a ÷b ＋a ÷c (a ≠0). 其中一定成立的个数是( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．当m 为偶数时，(a －b )m ·(b －a )n 与(b －a )m ＋n
的结果( A ) A ．相等 B ．互为相反数
C ．不相等
D ．以上说法都不对
8．已知多项式(x 2＋mx ＋8)和(x 2－3x ＋n )的乘积中不含x 2和x 3
的项，则m ，n 的值为( D )
A ．m ＝－1，n ＝1
B ．m ＝2，n ＝－1
C ．m ＝2，n ＝3
D ．m ＝3，n ＝1 二、填空题(每小题3分，共18分)
9．计算：－a 3·(－a )2＝__－a 5
__． 10．计算：(1)23 ×(π－1)0
＝__23
__；
(2)(a －1)0
＝__1__．(a ≠1)
11．一个多项式与－8x 2的积是多项式－16x 3＋40x 2
y ，则这个多项式是__2x －5y __．
12．已知2x ＋3·3x ＋3＝36x －2
，则x ＝__7__．
13．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以
x ＋y
2
错抄成乘以12
，结果得
到(3x 2
－xy )，则正确的计算结果是__3x 3
＋2x 2
y －xy 2
__．
14．设(2x －1)4(2x ＋1)＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x 1
＋a 0(其中a 5表示五次项的系数，依此类推)，则a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＝__2__．
三、解答题(共58分) 15．(8分)计算：
(1)(－2)3
＋(2 )2
－(3 －5)0
； 解：原式＝－8＋2－1＝－7
(2)(23 )2 020×1.52 018×(－1)2 020
；
解：原式＝(23 ×32 )2 018×49 ×1＝4
9
(3)(2a 2b )3·(－ab 2)÷(－8a 7b 5
)； 解：原式＝1
(4)(2x ＋5)(2x －5)－(x ＋1)(x －4).
解：原式＝3x 2
＋3x －21
16．(8分)解方程或不等式：
(1)(x －3)(x ＋8)＝(x ＋4)(x －7)＋2(x ＋5)；
解：x 2＋5x －24＝x 2
－3x －28＋2x ＋10， 5x ＋x ＝6， x ＝1
(2)2x (x －4)>(x ＋4)(x ＋2)＋(x －3)(x ＋6).
解：2x 2－8x >x 2＋6x ＋8＋x 2
＋3x －18， －8x －9x >－10，
x <1017
17．(8分)先化简，再求值：
[2y (x －1)8－3y 2(x －1)7＋4y 3(x －1)6]÷[－3y (x －1)2
]，其中x ＝2，y ＝－1. 解：原式＝－23 (x －1)6＋y (x －1)5－43 y 2(x －1)4
，当x ＝2，y ＝－1时，原式＝－3
18．(10分)小明想把一个长为60 cm ，宽为40 cm 的长方形硬纸片做成一个无盖的长方体盒子，于是在长方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形．
(1)若设小正方形的边长为x cm ，求图中阴影部分的面积； (2)当x ＝5时，求这个盒子的体积．
解：(1)(60－2x )(40－2x )＝4x 2
－200x ＋2 400.答：图中阴影部分的面积为(4x 2
－200x
＋2 400)cm 2
(2)当x ＝5时，4x 2－200x ＋2 400＝1 500(cm 2
).这个盒子的体积为 1 500×5＝7 500(cm 2
)
19．(10分)(1)3x ＝4，3y ＝6，求92x －y ＋27x －y
的值；
解：92x －y
＋27
x －y
＝3
4x －2y
＋3
3x －3y
＝(3x )4÷(3y )2＋(3x )3÷(3y )3＝44÷62＋43÷63
＝649 ＋827
＝20027
(2)已知10a ＝20，10b ＝15
，求3a ÷3b
的值．
解：∵10a ＝20，10b ＝15 ，∴10a ÷10b ＝10a －b ＝20÷15 ＝102.∴a －b ＝2，∴3a ÷3b ＝3
a －b
＝32
＝9
20．(14分)阅读材料：一般地，若a x
＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对
数，记作x ＝log a N ，比如指数式23
＝8可以转化为对数式3＝log 28，对数式2＝log 636可以
转化为指数式62
＝36.
根据以上材料，解决下列问题：
(1)计算：log 24＝__2__，log 216＝__4__，log 264＝__6__；
(2)观察(1)中的三个数，猜测：log a M ＋log a N ＝__log a MN __(a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞
0)，并加以证明这个结论；
(3)已知：log a3＝5，求log a9和log a27的值(a＞0且a≠1).
解：(2)log a M＋log a N＝log a MN；
证明：设log a M＝x，log a N＝y，则a x＝M，a y＝N，
∴M·N＝a x·a y＝a x＋y，
根据对数的定义，x＋y＝log a MN，
即log a M＋log a N＝log a MN
(3)由log a3＝5，得a5＝3，
∵9＝3×3＝a5·a5＝a10，27＝3×3×3＝a5·a5·a5＝a15，∴根据对数的定义，log a9＝10，log a27＝15。