高考数学一轮复习 24二次函数与幂函数课时作业 理

第4讲 二次函数与幂函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．二次函数y ＝－x2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是
( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4. 答案 A
2．(2014·郑州检测)若函数f(x)＝x2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f(x)
( )
A ．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增
B ．在(－∞，3)上递增
C ．在[1,3]上递增
D ．单调性不能确定
解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．
答案 A
3．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是
( )
A ．5－a ＜5a ＜0.5a
B ．5a ＜0.5a ＜5－a
C ．0.5a ＜5－a ＜5a
D ．5a ＜5－a ＜0.5a
解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝xa 单调递减，且15
＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a.
答案 B
4．(2015·蚌埠模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于( )
A ．－b 2a
B ．－b a
C ．c D.4ac －b24a
解析 ∵f(x1)＝f(x2)且f(x)的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x1＋x2＝－b a
. ∴f(x1＋x2)＝f ⎝⎛⎭⎫－b a ＝a·b2a2－b·b a
＋c ＝c. 答案 C
5．(2014·山东师大附中期中)“a ＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的
( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
解析 函数f(x)＝x2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴 －－4a 2＝2a≤2，即a≤1，所以“a ＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
答案 B
二、填空题
6．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________．
答案 y ＝12
(x －2)2－1 7．当α∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝xα的图象不可能经过第________象限． 解析 当α＝－1、1、3时，y ＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝12
时，y ＝xα的图象经过第一象限．
答案 二、四
8．(2014·江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m 的取值范围是________．
解析
作出二次函数f(x)的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)
＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，
解得－22
＜m ＜0. 答案 ⎝⎛⎭
⎫－22，0 三、解答题
9．已知函数f(x)＝－x2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．
解 函数f(x)＝－x2＋2ax ＋1－a
＝－(x －a)2＋a2－a ＋1，
对称轴为x ＝a.
(1)当a ＜0时，f(x)max ＝f(0)＝1－a ，
∴1－a ＝2，∴a ＝－1.
(2)当0≤a≤1时，f(x)max ＝a2－a ＋1，
∴a2－a ＋1＝2，∴a2－a －1＝0，
∴a ＝1±52
(舍)． (3)当a ＞1时，f(x)max ＝f(1)＝a ，∴a ＝2.
综上可知，a ＝－1或a ＝2.
10．(2014·辽宁五校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：
(1)写出函数f(x)(x ∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x ∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．
解 (1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．
(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x ， ∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x ＞0)，
∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2－2x x ＞0，x2＋2x x≤0.
(3)g(x)＝x2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，
当a ＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a 为最小值；
当1＜a ＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a ＋1)＝－a2－2a ＋1为最小值；
当a ＋1＞2，即a ＞1时，g(2)＝2－4a 为最小值．
综上，g(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a a≤0，－a2－2a ＋1 0＜a≤1，
2－4a a ＞1.
能力提升题组
(建议用时：35分钟)
11．已知函数f(x)＝mx2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是
( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
解析 用特殊值法．令m ＝0，由f(x)＝0得x ＝13
适合，排除A ，B.令m ＝1，由f(x)＝0得x ＝1适合，排除C.
答案 D
12．(2014·杭州名校联考)已知函数f(x)＝ax2＋2ax ＋b(1＜a ＜3)，且x1＜x2，x1＋x2＝1－a ，则下列说法正确的是
( )
A ．f(x1)＜f(x2)
B ．f(x1)＞f(x2)
C ．f(x1)＝f(x2)
D ．f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定
解析 f(x)的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3，
则－2＜1－a ＜0，若x1＜x2≤－1，则x1＋x2＜－2，
不满足x1＋x2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x1＜－1，
x2≥－1时，|x2＋1|－|－1－x1|＝x2＋1＋1＋x1＝x1＋x2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)， 此时x2到对称轴的距离大，所以f(x2)＞f(x1)；
若－1≤x1＜x2，则此时x1＋x2＞－2，又因为f(x)在[－1，＋∞)上为增函数，所以f(x1)＜f(x2)． 答案 A
13．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x2－ax －1)≥0，则a ＝________.
解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．
(1)当a ＝1时，不等式可化为：x ＞0时均有x2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.
(2)当a ＜1时，∵x ＞0，∴(a －1)x －1＜0，不等式可化为：x ＞0时均有x2－ax －1≤0，∵二次函数y ＝x2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立，∴a ＜1不成立．
(3)当a ＞1时，令f(x)＝(a －1)x －1，g(x)＝x2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)，∵
a ＞1，∴f(x)在x ∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，1a －1时，f(x)＜0，当x ∈⎝⎛⎭
⎫1a －1，＋∞时，f(x)＞0.
又∵二次函数g(x)＝x2－ax －1的对称轴为x ＝a 2
＞0，则只需g(x)＝x2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g(x)图象上，所以有⎝⎛⎭
⎫1a －12－a a －1
－1＝0，整理得2a2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32. 答案 32
14．(2015·嘉兴高三联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
f x ，x>0，－f x ，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．
解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a
＝－1， 解得a ＝1，b ＝2.
∴f(x)＝(x ＋1)2.
∴F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋12，x>0，－x ＋12，x<0. ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f(x)＝x2＋bx ，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，
即b≤1x －x 且b≥－1x
－x 在(0,1]上恒成立． 又1x －x 的最小值为0，－1x
－x 的最大值为－2. ∴－2≤b≤0.
故b 的取值范围是[－2,0]．
15．(2015·温州模拟)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f(0)·f(1)>0.
(1)求证：－2<b a
<－1； (2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求|x1－x2|的取值范围．
(1)证明 当a ＝0时，f(0)＝c ，f(1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0，
则f(0)·f(1)＝c(2b ＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，
则f(0)·f(1)＝c(3a ＋2b ＋c)＝－(a ＋b)(2a ＋b)>0
即⎝⎛⎭⎫b a ＋1⎝⎛⎭⎫b a ＋2<0，从而－2<b a
<－1. (2)解 x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，
则x1＋x2＝－2b 3a ，x1x2＝－a ＋b 3a
， 那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝⎝⎛⎭⎫－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·⎝⎛⎭⎫b a 2＋4b 3a ＋43
＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13
. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x1－x2)2<49
， ∴
33≤|x1－x2|<23，即|x1－x2|的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，23. 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。