第一章几何公理系统与中学几何

1.1古代几何学简史
古埃及
相传古代的埃及尼罗河经常泛滥,两岸田亩地界尽被 淹没,事后必须设法进行测量,以重新确定田亩的地 界.在这个实际需要中,测量土地的方法自然应运而 生,据说西方的几何学就是起源于这种测地术, “几 何”最早是“多少”之意，用（Geometry）表示， Geo代表土地，metry是测量的意思。
公理：适用于一切科学的真理，是人们明 白无疑的公共观念。
公理
（1）等于同一个量的量相等； （2）等量加等量，其和相等； （3）等量减等量，其差相等； （4）能重合的量相等； （5）全体大于部分。
——从上可以看出《原本》第一卷就是在23个 定义，5个公设，5个公理的基础上，按公理 化的手法，以一定的逻辑体系建立起来的， 由此，推导出平面几何和立体几何的全部内 容。
（8）平面上的角是在一个平面上的两条相交直线相 互的倾斜度； （9）当形成一角的两线是一直线的时候，这个角叫 做平角； （10）——（22）是关于直角和垂线、钝角和锐角、 圆、圆的中心、直线形、三角形、四边形、等边 三角形、等腰三角形、不等边三角形、正方形、 直角三角形、菱形等的定义； （23）平行直线是在同一平面上而且尽管向两侧延 长也决不相交的直线。
2.2《原本》的评述
（1）首先尝试利用公理化手法建立几何学。
（2）关于定义方面，欧几里得试图对一切概念都给 与定义，但这是不可能的。如在第一卷里的点、线、 面、直线、平面都加以定义，这些定义却用了一些 未经定义的概念“部分”、“长度”、“宽度”、 “界限”、“同样的位置”等等，意义模糊不清， 缺乏逻辑性

②结合公理刻划了点、直线、平面间的结合
关系。 Ⅰ1～ Ⅰ3属于点和直线的结合关系， 称为平面结合公理， Ⅰ4～ Ⅰ8称为空间结合 公理。 ③”点和直线相互结合“、”点和平面相互 结合“是基本结合关系，而”直线和平面相 互结合“不是基本结合关系。它可以定义为： 如果直线a的所有点都在平面α上，则称直线 在平面α上。 推论：直线a上若有两个点在平面α上，则直 线a在平面α上。
各条公理的作用：
①保证了基本概念点、直线、平面的存在。 其中Ⅰ3.2和Ⅰ8保证了点的存在； Ⅰ1 和 Ⅰ3.2保证了直线的存在； Ⅰ3.2 和Ⅰ4.1保 证了平面的存在。 Ⅰ3.1 Ⅰ4.1， Ⅰ4.2， Ⅰ7 等都是说明在怎样的条件下存在什么，称 之为“条件存在公理”。 公理Ⅰ2，Ⅰ5，Ⅰ6不涉及存在问题。
③提出的基本对象和基本关系满足五组公理， 即结合公理、顺序公理、合同公理、连续公 理、平行公理。据这五组公理就可推导出平 面几何和立体几何的全部内容。
ห้องสมุดไป่ตู้
点
希 尔 伯 特 公 理 系 统
元名
直线 平面 点在直线上 点在平面上
元词
元谊
结合关系
顺序关系 一点介于两点之间 线段合同 合同关系 角合同
公理
祖冲之
——圆周率精确到七位小数的第一人
墨子
平行线（面）、中心、正方形、圆（球）
“平，同高也” “中，同长也” “圆，一中，同长也” “方，柱隅四灌也”
古希腊
泰勒斯
——爱奥尼亚学派 ——最先开始几何证明
毕达哥拉斯
——毕达哥拉斯定理
——给出了两直角边和斜边的整数表达式

2.希尔伯特公理系统
规定：用大写字母A、B、C等表示点，小 写a、b、c表示直线，用字母 , , 表示平面。
2.1结合公理
Ⅰ1对于任意两个不同的点，恒有一条直线通过其中的每个点 Ⅰ2对于任意两个不同点，至多有一条直线通过其中的每一个点 Ⅰ3.1每条直线上至少有两个点； Ⅰ3.2至少有三个点不在同一直线上 Ⅰ4.1对于不共线三点，恒有一个平面通过其中每个点 Ⅰ4.2每个平面上至少有一个点 Ⅰ5对于不共线三点，至多有一个平面通过其中每个点 Ⅰ6如果直线a的两个点在平面α上，则a的每个点都在α上 Ⅰ7如果两个平面有一个公共点，则至少还有另一个公共点 Ⅰ8至少有四个点不在同一个平面上
对于职业数学家，这本书常常有着一种不可 逃避的诱惑力，而它的逻辑结构，大概比世 界上任何其他著作更大地影响了科学思想。 《原本》仅次于《圣经》，大约成为西方世 界历史中翻版和研究最广的书。 ——T.斯威克
1.2.几何学发展的几个阶段
第一时期是几何作为数学的萌芽时期，从人类积累 生产、生活经验到大约公元前五世纪止。（实验几 何的形成和发展）
特点：公元前3世纪，古希腊的柏拉图学派欧几里 得的《几何原本》的问世，标志着理论几何的形 成。从公元6世纪开始，古希腊学者在丰富的经验 材料的基础上，比较重视在形式、逻辑体系下去 揭示几何事实之间存在的联系，但还没有真正做 到公理化，仍需要凭直观和默认。
第三个时期是因资本主义的萌芽促成欧洲文艺复 兴而引起了几何学的重新繁荣。从十七世纪到十 九世纪初。（解析几何的产生和发展）
小故事

卡尔.弗里德里希.高斯——德国数学家、物理学家和天文学 家。“欧洲数学之王”
2.1《几何原本》的内容
《原本》共分十五卷，内容如下：
第一卷讨论三角形相等的条件、三角形边角关系、 垂线、平行线理论、平行四边形、三角形与多边形 等积的条件、勾股定理等，共48个命题。 第二卷讨论线段计算（包括黄金分割）、面积的 变换、用几何法解代数问题，共14个命题。
（3）原本最大的缺点是公理、公设的不完备，缺少 “顺序性”公理，如“直线上一点在另外两点之 间”、“在直线同侧的两点”、“在三角形内的一 点”等，只能凭借直观理解。缺少“运动”公理， 如“把一个三角形叠合到另一个三角形上去„”默 认图形经过移动后大小、形状不变。缺少“连续性” 公理，默认直线与圆，圆与圆相交一定有两个交点。 （4）第五公设表述罗嗦，不够显然。
特点：几何主要是经验事实的积累和初步整理，如 丈量土地、测量容器，形成了一批粗略的概念，反 映了某些经验事实之间的联系，形成了实验几何。 我国古代、古埃及、古印度等研究的几何大体就是 实验几何学的内容。
第二个时期，几何成为数学的独立学科，希腊的 几何传遍世界各地，从公元前3世纪到十七世纪以 前。（理论几何的形成）
2 n 1, 2n 2n,
2
2n 2n 1
2
(n N )
——算术和几何紧密联系起来
柏拉图
——几何建立在逻辑的基础上，坚持准确的 定义，清楚的假设，和逻辑证明
——不懂几何学不得入内
欧几里得
《几何原本》
世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹，这 个逻辑体系如此精密地一步一步推进，以致 它的每一个命题都是绝对不容置疑的——我 这里说的就是欧几里得几何，推理的这种可 赞叹的胜利，使人类理智获得了为取得以后 的成就所必需的信心。 ——爱因斯坦
第三卷讨论圆周角、圆心角、圆的切线、割线、圆 幂定理等，共37个命题。
第四卷讨论圆的内接、外切多边形和正五边形、正 六边形、正十五边形的作图，共16个命题。 第六卷讨论相似多边形的理论，共33个命题。
第十一卷立体几何、直线与平面、平行六面体的 体积
第十二卷穷竭法、证明圆的面积之比等于其直径 的平方比，柱，锥、台、球的体积 第十三卷正多面体 第十四卷资料（95个问题） 第十五卷图形的分割
标志：1637年法国数学家笛卡尔引进坐标解决几 何问题，产生了解析几何以及后来的微分几何。
第四个时期是从罗巴切夫斯基建立了第一种非欧 几何开始的。（现代几何的发展）
1893年，在喀山大学树立起了世界上第 一个为数学家雕塑的塑像。这位数学家就 是俄国的伟大学者、非欧几何的重要创始 人——罗巴切夫期基。罗巴切夫斯基 （Никола́й Ива́нович Лобаче́вский， 英文串法Lobachevsky/Lobachevskii） （1792年12月1日—1856年2月24日）， 俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之 一。
结合公理（8条） 顺序公理（4条） 合同公理（5条） 连续公理（2条） 平行公理（1条）
认识公理法的思想
公理法：用公理系统定义几何学的基本 对象及其关系的研究方法称为数学中的 “公理法”。 实质是，从一些不定义的术语出发，这 些术语的性质由公理规定；工作的目标 是导出这些公理的推论。

作用：运用公理法的思想研究几何，几何空 间就被认为是基本对象所成的集合，对象之 间只须满足公理所规定的关系。 一切符合公理系统的对象都能组成几何学， 几何图形只不过是几何学的一种直观形象， 每一个几何学的直观形象不是只有一种，可 能有无穷多个。
公设
（1）从每个点到另一点可以引直线； （2）每条直线都可以无限延长； （3）以任意点为中心，可用任意长为半径作一圆； （4）所有直角都相等； （5）同平面内两条直线与第三条直线相交，若其中 一侧相交的两个内角之和小于两直角，则该两直线 必在这一侧相交。 （欧氏第五公设）
公设：是一种假设事项，从其结果是否符 合实际，检验是否为真，只适用于几何。
为了了解《原本》的逻辑结构，下面专门讨论第一 卷的结构，它是全书逻辑推理的基础。《原本》的 第一卷给出了23个定义、5个公设和5个公理。
定 义
（1）点是没有部分的； （2）线是有长度而没有宽度的； （3）线的界限是点； （4）直线是这样的线，它对于在它上面的所有各 个点都有同样的位置； （5）面有长度和宽度； （6）面的界限是线； （7）平面是这样的面，它对于其上的所有直线有 同样的位置；
几何学变成研究各种不同空间（欧氏空间、罗氏 空间、黎氏空间、仿射空间、射影空间、„）以 及这个别空间图形的数学理论的总体。在认识到 空间概念多样化的同时，感到欧几里得建立他的 几何学的基础远远不够完善，新兴了一门几何分 支即初等几何基础。射影几何、微分几何、几何 基础成了十九世纪几何方面大放光芒的三大分支。 1899年希尔伯特发表了集大成的名著《几何基 础》，成为欧几里得的完善的公理法结构。
------希氏的公理系统是其后的一切公理化 的楷模，它的出版标志着数学公理化时期的 到来。
3.2希尔伯特公理系统
1.希尔伯特与欧几里得在建立几何学基础的不同
①首先列出不定义的基本概念：点、直线、平面， 把这三种对象堪称几何学中的“基本对象”只承 认其存在。
②提出了三个“基本关系”，即规定点、直 线、平面相互间存在三种基本关系：结合关 系、顺序关系、合同关系。
第五公设问题
罗氏几何
黎曼几何
思考题：

有人说，埃及人研究几何只相当于“一个粗糙 的木匠”，而希腊人则是几何学的“建筑大 师”。你对这句话如何理解？ 非欧几何的产生对你有什么启示？

3.1近代公理法的产生
19世纪的末期(1899)，希尔伯特，《几何基础》， 希氏的公理系统是其后的一切公理化的楷模，它的 出版标志着数学公理化时期的到来。
1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数 学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何 的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘 要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的 诞生。
历史是最公允的，因为它终将会对各种思想、观点 和见解作出正确的评价。1868年，意大利数学家贝 特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝 试》，证明非欧几何可以在欧氏空间的曲面上实现。 这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧 氏几何命题，如果欧氏几何没有矛盾，非欧几何也 就自然没有矛盾。
巴比伦
泥板书
——最先使用度量制
几何侧重计算，几何的性质和公式都是靠观察和总 结得出的。
中国
《周髀算经》和秦九韶《九章算术》 赵爽
勾股定理表述为：“勾股各自乘， 并之，为弦实。开方除之，即 弦。” 证明方法叙述为：“按弦图， 又可以勾股相乘为朱实二，倍 之为朱实四，以勾股之差自相 乘为中黄实，加差实，亦成弦 实。”
第一章几何公理系统 与中学几何的相关问题
§1 几何学发展简史 §2 欧几里得的《几何原本》 §3 希尔伯特公理体系 §4 我国中学几何教材的逻辑结构以 及教材改革的基本精神 §5中学几何教学的基本要求
假如我们要预见数学的未来，适当的途径是 研究这门科学的历史和现状。 ——彭加莱