山东省烟台市双语中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山东省烟台市双语中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知,满足约束条件,若的最小值为,则（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
2. 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f （x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数g（x），利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，求出不等式的解集即可．
【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
3. （理）设函数，其中为取整记号，如，，。

又函数，在区间（0，2）上零点的个数记为，与图像交点的个数记为，则的值是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
略
4. （5分）已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
参考答案：
D
【考点】：函数单调性的性质．
【专题】：计算题；函数的性质及应用．
【分析】：由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．
【解答】：解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零
∴函数的图象是一条连续的曲线
∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，
即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，
故选D
【点评】：本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等知识，属于基础题．
5. 已知数列{a n}满足a n+1=a n+1（n∈N+），且a2+a4+a6=18，则log3（a5+a7+a9）的值为（）
A．﹣3 B．3 C．2 D．﹣2
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质；对数的运算性质．
【分析】数列{a n}是以1为公差的等差数列，可得a5+a7+a9=a2+a4+a6 +9d=27，由此求得log3
（a5+a7+a9）的值．
【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1=a n+1（n∈N+），
∴数列{a n}是以1为公差的等差数列．
又∵a2+a4+a6=18，
∴a5+a7+a9=a2+a4+a6 +9d=27，
∴log3（a5+a7+a9）=log327=3，
故选B．
6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序（其中“r=a MOD 4”表示“r等于a除以4的余数”），输出S值等于（）
2508 2509 2510 2511 C
7. 设a∈R，则“a＝1”是“函数在定义域上是奇函数”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
8. 若，则的定义域为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A．B．
C．D．参考答案：
A
略
10. 设全集集合则等于（）
A.
B. C.
D.
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，若关于x的方程有8个不同根，则实数b的取值范围是___________________
参考答案：
在上有2个根
令 在上有2个根
所以解得
思路点拨；运用图像画出圆然后利用二次函数两个根,最后利用根分布求范围
12. 设>0，若函数 = sin cos 在区间[－，]上单调递增，则的范围是
_____________．
参考答案：
略
13. 在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点在正方体的表面上
运动，则总能使MP 与BN 垂直的点
所构成的轨迹的周长等于
．
参考答案：
略
14. 已知函数，正项数列满足，
则
=________.
参考答案：
15. 已知直线
与圆
相交于A ，B 两点（C 为圆心），且△ABC 为等
腰直角三角形，则实数a 的值为________.
参考答案：
【分析】
根据三角形
为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求
得 的值.
【详解】由于三角形
为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的
.直线的一般方
程为，圆的方程为
，圆心为
，半径为
.故
，解得
.
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.
16. 14．对于各数互不相等的整数数组 (是不小于2的正整数)，对于任意
，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中
所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 .
参考答案： 4 略
17. 某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为，则购鞋尺寸在
内的顾客所占
百分比为______.
参考答案：
55%
后两个小组的频率为，所以前3个小组的频率为
，又前3个小组的面积比为，所以第三小组的频率为，
第四小组的频率为，所以购鞋尺寸在的频率为。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，求
（1）tanA：tanB：tanC的值；
（2）求角A的值．
参考答案：
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用同角三角函数基本关系式化简求得tanA：tanB：tanC的值；
（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式可得
tanA=，解得tanA，分类讨论可求A的值．
【解答】（本题满分为14分）
解：（1）∵，
∴由正弦定理可得：，…2分
∴tanA=tanB=tanC，可得：tanA：tanB：tanC=1：2：3…4分
（2）由（1）可得：tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∵A+B+C=π，
∴tanA=﹣tan（B+C）=﹣=，…8分
解得：tanA=±1，或tanA=0，…12分当tanA=0，舍去；
当tanA=1，A=，
当tanA=﹣1，则tanB=﹣2，则A＞，B，矛盾，
综上，A=…14分
19. （本题满分10分）设函数.
（Ⅰ）若的最小值为3，求值；
（Ⅱ）求不等式的解集．
参考答案：
⑴因为
因为,所以当且仅当时等号成立,故为所求.……………………4分⑵不等式即不等式，
①当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.
②当时，原不等式可化为即所以，当时，原不等式成立.
③当时，原不等式可化为即由于时
所以，当时，原不等式成立.
综合①②③可知：不等式的解集为……………………10分
20. 已知椭圆M的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l与椭圆M相交于A、B两点，以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆M上，O为坐标原点，求点O到直线l的距离的最小值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．
（2）当直线l的向量存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，与椭圆方程联立化为（1+2k2）
x2+4kmx+2m2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，设A（x1，y1），
B（x2，y2），P（x0，y0）．可得x0=x1+x2，y0=y1+y2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：
点O到直线l的距离d==即可得出．当直线l无斜率时时，由对称性可知：点O到直线l的距离为1．即可得出．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，
∴，解得a=2，b2=2，
∴椭圆M的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，
联立，化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，
△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣4）＞0，化为2+4k2﹣m2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）．
∴x0=x1+x2=，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=．∵点P在椭圆M上，∴，
∴+=1，化为2m2=1+2k2，满足△＞0．
又点O到直线l的距离d====．当且仅当k=0时取等号．
当直线l无斜率时时，由对称性可知：点P一定在x轴上，从而点P的坐标为（±2，0），直线l的方程为x=±1，
∴点O到直线l的距离为1．∴点O到直线l的距离的最小值为．
21. （12分）
已知数列满足且
（1）求，的值；
（2）若数列为等差数列，请求出实数；
（3）求数列的通项及前项和.
参考答案：
解析：（1），，
为等差数列，，
2，
令
，
22. （本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；
（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.
参考答案：。