上海阳光外国语学校必修第二册第二单元《复数》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．能使得复数()32z a ai
a R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数
B ．12ai +模长为3
C ．3ai +与32i +互为共轭复数
D ．0a >
2．2
13(1)i i +=+（ ） A ．3122
i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 3．复数()211i z i
+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知z 是纯虚数，
21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i
5．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）
A B C ．D ．3
6．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）
A ．[]28,
B ．3⎤⎦
C ．[]1,9
D ．[]3,8 7．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）
A ．4
B ．2
C ．0
D ．2-
8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示
的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ）
A ．2i -+
B ．2i --
C ．2i +
D ．2i - 9．下列命题中,正确的命题是（ ）
A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >
B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立
C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =
D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =
10．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+ C ．()cos αβ- D ．()cos αβ+
11．复数z 满足(1i)2i z -=，则z =
A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i --
D ．1i + 12．已知复数21ai z i +=
-是纯虚数，则实数a 等于（ ）
A B ．2 C D
二、填空题
13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.
14．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______.
15．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 16．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.
17．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________.
18．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 19．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.
20．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．
参考答案
三、解答题
21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.
（1）求14z i +-的最小值与最大值；
（2）若4z z
+为实数，求z 的值. 22．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=
+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z z
ω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；
（ii ）设11z z
μ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．
23．设复数(,0)z a bi a b R b =+∈≠且，且1
z z
ω=+，12ω-<<. （1）求复数z 的模；
（2）求复数z 实部的取值范围；
（3）设11z u z
-=+，求证：u 为纯虚数. 24．已知复数()2227656 ()1
a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？
25．已知z 是纯虚数，并使得
21z i +∈-R ，求z 26．已知复数()2122315,52z i z i i =-=
-+．求：
（1）21z z +； （2）12·
z z ； （3）12
z z ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai
a R =-+∈是第三象限的点.
【详解】 322z a ai a ai =-+=--
由题意可知，若复数在第三象限，
需满足200a a -<⎧⎨-<⎩
，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =
，满足条件；
B.123z ai =+==
，解得：a =
a =
C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；
D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.
2．A
解析：A
【分析】
首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.
【详解】 ()2131331222
1i
i i i i ++==-+， 故选A.
【点睛】
该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案．
【详解】
()()()()212121,1,1111i i i i z i z i i
i i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .
故选C.
【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4．D
解析：D
【分析】
根据复数的运算，化简得到
21[(2)(2)]12
z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】
设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，
则
＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，
∴z ＝－2i.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则
和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5．A
解析：A
【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.
【详解】
由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--=
==--，则2z i =-+，
∴
z =
=
故选：A
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 6．A 解析：A
【分析】
利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.
【详解】
()()4334z i z i -=-+-， 由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，
因此，4z i -的取值范围是[]28,.
故选：A.
【点睛】
本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
7．C
解析：C
【分析】
根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解.
【详解】
因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，
所以1z i =+也是方程的一个根，
故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22
p q =-⎧⎨=⎩，
所以0p q +=，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.
8．A
解析：A
【分析】 根据欧拉公式求出2cos
sin 22i
z e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值. 【详解】 ∵2cos sin 22i z e i i ππ
π
==+=，
∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+.
故选：A.
【点睛】
此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .
9．C
解析：C
【分析】
A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；
C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.
【详解】
A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；
B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z
z ⋅=成立，故错误；
C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；
D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误. 故选：C.
【点睛】
本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2
z z z ⋅=. 10．D
解析：D
【解析】
分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解
即可.
详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=
()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，
∴实部为()cos αβ+,故选D.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 11．B
解析：B
【解析】
因为()1i 2i z -=，所以()2i 111i
z i i i ==+=-+-,选B. 12．B
解析：B
【分析】 化简复数2222a a z i -+=
+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.
【详解】 由题意，复数()()()()
2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得
202a -=且202a +≠，解得2a =， 所以实数a 等于2.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
二、填空题
13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题
解析：34i +
【分析】
先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =
.
【详解】
解：设复数(),,z a bi a b R =+∈
，则z a bi =-=
所以84z a bi i z =+=++，
所以根据复数相等得：84
a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，
故答案为：34i +
【点睛】
本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.
14．4【分析】本题先将分别代入然后相加再运用复数模的三角不等式可计算出的最大值【详解】由题意可知则当与对应的向量反向共线时等号成立故的最大值为4故答案为：4【点睛】本题主要考查复数的模的计算以及复数模的 解析：4
【分析】
本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值．
【详解】
由题意，可知
1123z z +-=，2223z z +-=， 则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.
124z z ∴+≤． 故12z z +的最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．
15．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1
【分析】
先把12ω=
+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.
【详解】 解：复数132i ω=+对应的点在第一象限，则2213122r ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=
， 所以13cos isin 233
i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故答案为：-1.
【点睛】
本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.
16．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故 解析：221+
【分析】
设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可．
【详解】
解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,
得2220a b a ++=，即()2
211a b ++=．
复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：
2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离 所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=．
故答案为：221．
【点睛】
本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 17．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+
【分析】
根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.
【详解】
解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆， |3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，
点Q 到圆心C 的距离为5CQ =
所以|3|z -的最大值为51CQ r +=.
51.
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果
【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题
解析：66i -
【分析】
根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.
【详解】
解：由题意可得23a a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．
故答案为：66i -
【点睛】
本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是
实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：
4
π或54π. 【解析】
【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案.
【详解】
(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，
cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，
又[0,2],θπ∈
4π
θ∴=或54
π， 故答案为：
4
π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 20．1【解析】由|z －2|＝|z ＋2|知z 对应点的轨迹是到(20)与到(－20)距离相等的点即虚轴|z －1|表示z 对应的点与(10)的距离∴|z －1|min ＝1点睛：要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为
解析：1
【解析】
由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴． |z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1.
点睛：要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为
(,)a b 、共轭为.-a bi
三、解答题
21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析
【分析】
（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；
（2）根据4z z
+
为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】
（1）设z x yi =+，根据22z -=，
所以有22(2)4x y -+=，
所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，
所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=
其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，
所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，
最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，
27=
23=；
（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y -+
=++=++=++-++++， 因为4z z +为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y
-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，
所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩
，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =
或1z =+
或1z =-.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.
22．（1
）12z =-
±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】
（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式求得最小值. 【详解】
（1）()()()()()23235512225
i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-
22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩
，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠
2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝
⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b
∴-
=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭
（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b
μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1
b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数
（iii ）()
()2
2222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1
,22
t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭
12t t
+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1
【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．
23．（1）1；（2）1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭；（3）见解析 【解析】
分析：（1）由222211a b z a bi a b i z a bi a b a b ω⎛⎫⎛⎫=+=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
，由
12ω-<<得R ω∈，从而虚部为0，得221a b +=，进而可得解；
（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，从而求a 范围即可；
（3）化简
()()2222121a b bi u a b ---=++，由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i a
a b =-=-+++，从而得证. 详解：（1）
22222211a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 由12ω-<<得R ω∈， 则22
0b b a b -=+， 由0b ≠，解得221a b +=，
所以1z ==，
（2）由（1）知()21,2a ω=∈-，所以1,12a ⎛⎫∈-
⎪⎝⎭， 即复数z 的实部的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
. （3）()()()()()()()
()222212*********a b bi a bi a bi a bi z u z a bi a bi a bi a b ---⎡⎤⎡⎤--+----⎣⎦⎣⎦====+++⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦ ， 由（1）知221a b +=，则()22211b b u i i a
a b =-=-+++， 应为0b ≠，所以u 为纯虚数.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
24．①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.
【分析】
对于复数z a bi =+(),a b R ∈，若0b =，则z 为实数；若0b ≠，则z 为虚数；若0b ≠且0a =，则z 为纯虚数；得到不等式解得；
【详解】 解：()2227656 ()1
a a z a a i a R a -+=+--∈-
①若复数z 是实数，则22560,10,
a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =. ②若复数z 是虚数，则22560,10,
a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠. ③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩
即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解.
【点睛】
本题考查复数的基本概念，需注意实部的分母不能为零，属于基础题.
25．-2i
【分析】
设()z bi b R =∈，代入
21z i +-进行化简，根据21z i +-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .
【详解】
设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()
()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题. 26．（1）3；（2）79i --；（3）
1131010i +． 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简求得2z ，（1）求出2z ，由复数代数形式的加法运算求21z z +;
（2）由复数代数形式的乘法运算求12·
z z ； （3）由复数代数形式的除法运算求12
z z . 【详解】
221551555(3)(34)(2)34(34)(34)
i i i i z i i i i ----===+++- 515135
i i -==-． （1） 12(23)(13)3z z i i +=-++=．
（2） ()()12·
231329979z z i i i i =--=--=--．
（3） 1223(23)(13)13(13)(13)
z i i i z i i i --+==--+ 293113101010
i i ++=
=+． 【点睛】 本题主要考查复数的代数形式的加法、乘法、除法运算法则，复数的共轭复数，属于中档题.。