10-2静电场(原)

d

E
解：设导线表面单位长度带电+ , –
两线间任意P点的场强：
E

2
o
x

2
o

(d

x)
U
ada Edx
o ln d
a a

o
ln
d a
单位长度的电容：
o
x.
P
x
C

Q U

1

0
ln(
d a
)

0
ln(da
)
8
例2. 一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，
a2 b
1 a 2b
忽略边a 缘效应
x dx
证明： 整体不是平行板电容器
b+xsin

b
但在小块面积 adx 上，可认为 是平行板电容器,其电容为：
a
dC oadx
C S d
b xsin
C dC

oa
oadx b xsin


oa ln(1 sin
a sin ) b
可采用多个电容连接：
C1
如增大电容，可将多个电容并联：
C2
…
C C1 C2 Ck
若增强耐压，可将多个电容串联：
Ck
U1 U2 … Uk
C
耐压强度： U U1 U2 UK U
但是电容减小：C1

1 C1

1 C2

1 Ck
7
4. 电容的计算
例1. 半径都是a 的两根平行长直导线相距为d (d>>a), 求单位长度的电容。
E1

r 3
r0
r R;
E2

R3 3r 2
r0
rR
W


R 0
E 2
wedV
dV 2
( r )2 4r 2dr
2 3
R2
(
R3 3r 2
)2
4r
2dr

R
4 2 R5 4 2 R5 4 2 R5
5
(3) 球形电容器的电容
–Q
两个半径RA,RB同心金属球壳组成 +Q RA
中间充满电介质.

假定电容器带电+Q，-Q；
极板间电场是球对称的：
RB
E

Q
4 r
2
极板间电位差：
方向：沿半径向外
U AB

RRAB Edr

Q
4
RRAB
1 r2
dr

Q( RB RA )
4RA RB
极板间场强： E2r


Q l
–+ +–
方向沿半径向外
–+
+–
极板间电位差：
U AB

AB
E
dr
RRAB E
dr

2
ln
RB RA
C

Q U AB

l
2
ln
RB RA

2 l
ln RB RA
（只与结构及
有关与Q无关）
单位长度的电容：
C1

2
ln RB RA
关键：1 2！
11
(2)
介质内的极化强度
P
，表面的极化电荷密度'
P e oE1 o( r 1)Vd
方向：
1 S 2
P cos
r 1 2 d V
上 P cos180 P o(1 r )Vd 0
S 2
下 P cos0 P o( r 1)Vd 0
Q1 U Q1 U
Q

CU
C1 C2 U2
A电场

S 2d
U2
>0
但 A电场 –W
(3)外力对极板作功 A外 A电源 W
A外
W
A电场

S 4d
U2

S 2d
U2

S 4d
U2
19
例9.一个球半径为R，体电荷密度为，试利用电场能量公式求
此带电球体系统的静电能。
任何带电系统的电场中所储存的总能量为：
W

V
1 2
E2dV

V
1 2
D
EdV
V 电场占据的整个空间体积
16
W

V
1 2
E
2dV

V
1 2
D
EdV

例6. 求一圆柱形电容器的储能W=？
解：设电容器极板半径分别为R1、R2 h
–
带电线密度分别为 、–，
则两极板间的电场为：
其中置一厚度为t 的平板均匀电介质，其相对
介电常数为r, 求该电容器的电容C。
t
r
解：根据定义
C

q U
b 设极板面密度为、-
由高斯定理可得：
空气隙中 D U U U

则：E

E

dl

o ( ot1
介质中 tt11 t
D tb1 t


d
C
q U

S d
C 、S、d1
d
C与q无关，只与结构 ( S d)有关。 4
(2) 圆柱形电容器的电容
两个半径RA,RB同轴金属圆柱面为极板(l >> RB –RA )，
AB
板间充满电介质,假定极板带电Q。
– + + – （边缘效应不计，电场具有轴对称性）
–+
l– +
+– +–
F E
UB=0 UA–UB=UA
不受E、F的影响
则A的电容为：
C
q UA

UA
q
UB
与B紧密相关
注：既使B不接地，UA–UB qA 并与E、F无关。
这种由A、B组成的导体系统 电容器
其电容为：
CAB

UA
q
UB
或
C
q U
A B为电容 器的两极板
3
注：组成电容器的两极导体，并不要求严格的屏蔽。
则：E
)E dl

ro

ro
rb r
1
t
与t的位置无关
C

q U

roS
rb r 1
t

b

oS r
r
1t
oS t、C
b
t=b
C

roS b
9
例3.一平行板电容器，两极板间距为b、面积为S，在其间
平行地插入一厚度为t，相对介电常数为r，面积为S/2 的均匀介质板。设极半板带电Q，忽略边缘效应。
只要两极导体的电位差，不受或可忽略外界的
影响即可。 例如：一对靠的很近的平行平面导体板。


(1) 平行板电容器的电容C
设: 平行金属板的面积为S，间距为d，充满介电
常数为 的电介质，极板上带电荷q。
q
q
两极间任意点的电场： E



两极间的电位差：

U E dl E d
C

Q U AB

4RA RB
RB RA
归纳：求电容器电容的方法
设极板带电荷Q 求极板间E 求极板间U C QU 6
3. 电容器的串、并联 (1)衡量一个实际的电容器的性能主要指标
常用电容：100F25V、470pF60V
C的大小 耐压能力
(2)在电路中，一个电容器的电容量或耐压能力不够时，
（2）
U

Q C

2brb r 1tQ oS2rb r 1t
问：
Q左？=Q右
10
例4. 平板电容器极板面积为S间距为d,接在电池上维持V 。
均匀介质r 厚度d，插 入电 容器一半忽略边缘效应
求(1)1、2两区域的 E 和 D。(2)介质内的极化强度 P，
r
1
t
(2)
A外=W

W2

W1

1 2
CU2

1 2
CU2
1.7

107J
<
0
即：外力作负功，电场力作正功。
18
例8.平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电源上
以保持电压为U。将极板的距离拉开一倍，计算：
(1)静电能的改变We=？； (2)电场对电源作功A=？；
(3)外力对极板作功A外=？
解：(1) 拉开前 拉开后
C1

S d
W1

1 2
C1U
2
C2

S 2d
W2
1 2
C2
U
2
W
W2
W1


S
4d
U
2
W 0 静电能减少了
(2) 电场对电源作功 = -电源力克服电场力作功
A电
源

Q2
Q1
Udq
Q
2
A电场 A电源 Q2
以平行板电容器为例： C

Q

S
Ud
并且 U Ed
W
1 2
CU
2

1 2
S E2d2 d
1 E2Sd 2
1 E2 2
V
((12))单电电位场场记体能能为D积量 量：内密WE所度e 储12存w电Ee2场12V能DE量：12wDe能E量WV储e对存任12在意电E电2场场中成立
求(1)该电容器的电容C，(2)两极板间的电位差U。
解：（1）等效两电容的并联
S2
t r
b
C oS b r 1 t r
左半部：C左

b
o S 2


r
r
1
t
右半部： C右

o S b
2
电容并联相加：
C C左 C右

oS2rb r 1t 2brb r 1t
90
18
15
孤立导体球处于静电平衡时能量（外界介电常数为）:
C q 4R1R2
U AB R2 R1
C q 4R
U
W Q2 4R3 / 3 2 2 2 R5
2C
8R
9
三、电容和电容器
U
1. 孤立导体的电容
q
若一孤立导体带电+q，
则该导体具有一定的电位U， 且q 、U。
即有：
q U

C
与q、U无关； C = 比例常数 与导体的尺寸形状有关。
C：称为孤立导体的电容。 单位：F(法拉=C/V)
物理意义：导体每升高单位电位，所需要的电量。
1
一般导体不同，C就不同。 如同容器装水：
C
R
负极板，电场力作功为：
A


dA
A
dqu
Q

1 2
Q2 C


Qqc
dq
即电容器带有电量Q时具有的能量：
W 1 Q2 2C
1 CU 2 2
1 QU 2
可见： C也标志
电容器储能的本领。
15
W 1 Q2 2C
1 CU 2 1 QU
2
2
这些能量存在何处？
2.电场的能量
. K.
a. b
将K倒向a 端 电容充电 再将K到向b端
C
R
灯泡发出一次强的闪光!
能量从哪里来？
电容器释放。
当电容器带有电量Q、相应的 电压为U时，所具有的能量W=？
14
利用放电时电场力作功来计算：
放电到某t时刻，极板还剩电荷q，极板的电位差：
. K.
a. b
u q C
将(–dq)的正电荷从正极板
求：(1)放入介质后极板的电位差。 (2)放入介质板过程中外界作了多少功？


t
r




解：(1)充电后极板带电 Q=CU
b放介Biblioteka 前CoS b
则：Q 1.1108c
放介质后，从例2知
U

Q C

88
v
C

rb
roS


b a
ln(1 a sin
)
sin
b a
a sin
则：a
1
(
a
b sin
sin )2
1
b
b
2b
C oa2 (1 1 a sin ) oa2 (1 a ) 证毕
b 2b
b
2b
13
四. 电场的能量 1.电容器的能量 电容器带电时具有能量，实验如下：
例：一个带电导体球的电容，设球带电q。
U

q 4oR
C

q U

4oR
地球半径： R=6.4106m
C 700106F 700 F
2
2. 电容器及其电容
B qA
如图：带电qA的导体旁若有其它导体E、F
则如：何Uq消AA除 C其它E、导F体上的的影感响应？电荷静影电响屏UA蔽
E 2orr
We

1 2

o

r
E
2dV

2h 4or
ln
R2 R1
其中：dV 2rhdr
求C的另一方法：
E W
1 2
E2dV
W
1 2
Q2 C
C 2W Q2
17
例7.一平行板电容器，两极板间距为b=1.2cm、面积为 S=0.12m2，将其充电到120v的电位差后撤去电源， 放入一厚度为t=0.4cm ，r=4.8的平板均匀电介质，
表面的极化电荷密度 '。(3)1、2两区域极板上自由 电荷面密度 1 ， 2。
解：（1）V E1d E2d
S

E1

E2

V d
r 1 2 d V
D1 o r E1 o rV d
S 2
D2

oE2

oV
d
E1, E2, D1, D2的方向均
为什么E1介 E2真？ 反而D1 D2了？
(3) 1、2两区域极板上自由电荷面密度1、2
E1

1

1 o r
E2

2
1

o r
V d
2

o E2


o
V d
1 2
12
例5. 一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但
两板不严格平行有一夹角。证明：当 b 时，
该电容器的电容为：C o