课时跟踪检测(十九) 两直线的交点坐标、两点间的距离

课时跟踪检测（十九） 两直线的交点坐标、两点间的距离
层级一 学业水平达标
1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝⎛⎭⎫43，13
D.⎝⎛⎭⎫
13，43
解析：选C 由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得
⎩⎨⎧
x ＝43
，y ＝13.
即直线x ＋2y －2＝0与直线2x
＋y －3＝0的交点坐标是⎝⎛⎭⎫
43，13.
2．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2
D ．不能确定
解析：选B 由k AB ＝1，得b －a
1
＝1， ∴b －a ＝1. ∴|AB |＝
(5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.
3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R)所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3) D ．都是平行直线
解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝3.
4．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5
D.17
解析：选D 根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P
的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17.
5．到A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0
B ．3x ＋y ＋4＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y ＋2＝0
解析：选B 设P (x ，y )，
则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2， 即3x ＋y ＋4＝0.
6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________． 解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧
b －5
a －2·
(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋5
2＝1.解得a ＝－4，b ＝－1，即所
求对称点坐标是(－4，－1)．
答案：(－4，－1)
7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________．
解析：由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －3y －3＝0，
x ＋y ＋2＝0，
得⎩⎨⎧
x ＝－3
5，
y ＝－7
5.
又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝1
3，
∴直线方程为y ＋75＝1
3⎝⎛⎭⎫x ＋35， 即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝0
8．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．
解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |， 即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝ (a －4)2＋(a ＋4－6)2，
解得a ＝－3
2，故P 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，52. 答案：⎝⎛⎭
⎫－32，5
2 9．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，
D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .
故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －1
1＋2，
即10x －3y ＋8＝0.
10．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：
(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)； (2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)； (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.
解：(1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13，n ＝－739
. (2)显然m ≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－4，
n ＝20. (3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0.∴－8＋n ＝0，解得n ＝8.∴m ＝0，n ＝8.
而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直． 综上可知，m ＝0，n ＝8.
层级二 应试能力达标
1．直线l ：x ＋2y －1＝0关于点(1，－1)对称的直线l ′的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x ＋2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0
D ．2x －y －1＝0
解析：选C 由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0，在l 上取点A (1,0)，则点A (1,0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0，故选C.
2．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝⎛⎭
⎫22，0，则|AB |的最小值为( )
A ．3 B.1
3 C ．2
D.12
解析：选D ∵|AB |＝⎝⎛⎭⎫x －222＋(2－x )2＝
2⎝
⎛⎭⎫x －
3242＋14≥12当且仅当x ＝32
4时等号成立，∴|AB |min ＝12
.
3．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(3,1)
D ．(3，－1)
解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0
和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝－1.
因此所求定点为(3，－1)．故选D.
4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点坐标是( )
A ．(1，－1)
B ．(－1,1) C.⎝⎛⎭⎫135
，－13
5 D ．(－2,2)
解析：选C 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方
程为y ＝14x －13
4，与x ＋y ＝0联立方程组并解得⎩⎨⎧
x ＝13
5，y ＝－13
5
，所以点P ⎝⎛⎭⎫135
，－13
5. 5．若两直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则实数m 的取值范围是
________．
解析：当直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m ＝－2时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x 轴平行；当m ＝－3时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x ＋y ＝0平行；当m ＝0时，三条直线都过原点，所以m 的取值范围为{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}．
答案：{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}
6．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k 的取值范围是________．
解析：法一：由题意知直线l 过定点P (0，－3)， 直线2x ＋3y －6＝0与x ，y 轴的交点分别为A (3,0)，B (0,2)，
如图所示，要使两直线的交点在第一象限， 则直线l 在直线AP 与BP 之间， 而k AP ＝
－3－00－3
＝33，∴k >3
3.
法二：解方程组⎩⎨
⎧
y ＝kx －3，
2x ＋3y －6＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
33＋63k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.
由题意知x ＝33＋63k ＋2>0且y ＝6k －23
3k ＋2>0.
由
33＋6
3k ＋2
>0可得3k ＋2>0， ∴6k －23>0，解得k >33
. 答案：
⎝⎛⎭
⎫33，＋∞ 7．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．
解：如图，BE ，CF 分别为∠B ，∠C 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．
∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0， ∴A ′(6,0)．
∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝⎛⎭⎫25，45. ∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－4
5
6－25(x －6)，
即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝⎛⎭⎫43，23， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.
8．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值？并求最小值．
解：两直线l
1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2·(y －2)，都过点(2,2)，如图：
设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，
则k1＝a
2∈(0,1)，
k2＝－2
a2∈⎝
⎛
⎭
⎫
－∞，－
1
2.
∵直线l1与y轴的交点A的坐标为(0,2－a)，直线l2与x轴的交点B的坐标为(2＋a2,0)．
∴S OACB＝S△OAC＋S△OCB＝1
2(2－a)·2＋
1
2·(2＋a
2)·2＝a2－a＋4＝
⎝
⎛
⎭
⎫
a－
1
2
2＋15
4.
∴当a＝1
2时，四边形OACB的面积最小，其值为
15
4.。