深圳南山区星河学校必修一第二单元《函数》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪
=⎨-≥⎪⎩
，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范
围是（ ）
A ．3
,24⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(]1,2
D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
2．已知函数()32f x x =-，2()2g x x x =-，(),()()
()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩
，则（ ）
A ．()F x 的最大值为3，最小值为1
B ．()F x
的最大值为2 C ．()F x
的最大值为7-，无最小值 D ．()F x 的最大值为3，最小值为-1 3．下列各函数中，表示相等函数的是（ ） A ．lg y x =与21
lg 2
y x =
B ．21
1
x y x -=-与1y x =+
C
．1y =
与1y x =-
D ．y x =与log x
a y a =(0a >且1a ≠)
4．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x <<
D ．{|4x x >或0}x <
5．下列命题中正确的是（ ）
A ．若函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数()
2
f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃
B ．1y x =+
和y =
C ．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞和(,0)-∞上具有相反的单调性
D ．若不等式220ax bx ++>恒成立，则280b a -<且0a >
6．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2
，则函数(13)f x -的定义域是（ ） A ．21(,)33
-
B ．11(,)63
-
C ．(0,3)
D ．7(,1)2
-
7．对二次函数()2
f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其
中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值 D ．点()2,8在()f x 的图象上
8．若定义运算,,b a b a b a a b
≥⎧*=⎨<⎩，则函数()()()2
242g x x x x =--+*-+的值域为
（ ） A ．(],4-∞
B ．(],2-∞
C ．[)1,+∞
D ．(),4-∞
9．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有
()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()22
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]- C ．(,1)(2,)
-∞-+∞
D ．(,1][2,)-∞-+∞
10．函数sin sin 12
2x
x
y =+
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图是定义在区间[]
5,5－上的函数()y f x =的图象，则下列关于函数()f x 的说法错误的是( )
A ．函数在区间[]53－，－上单调递增
B ．函数在区间[]1,4上单调递增
C ．函数在区间][3,14,5⎡⎤⋃⎣⎦－上单调递减
D ．函数在区间[]5,5－上没有单调性
12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．34
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 二、填空题
13．
关于函数()f x =的性质描述，正确的是_________.
①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称. 14．已知1()1x f x x +=
-，则135
199
(
)()()()100100100100
f f f f ++++=______________
15．已知函数2212,1()4
,1
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的取值范围是________.
16．已知函数()f x 的值域为[]0,4（2,2x
），函数()1=-g x ax ，2,2x ，
[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围为
________________.
17．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有
1()2f f x x ⎡
⎤-=⎢⎥⎣⎦，则
12020f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是______________. 18．已知函数()1f x x x =+，()12x
g x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是______.
19．若函数21
1
x y x -=
-的值域是()[),03,-∞+∞，则此函数的定义域是____. 20．已知函数()4
f x x a a x
=-++，若当[]1,4x ∈时，(
)5f x ≤恒成立，则实数a 的取
值范围是______．
三、解答题
21．（1）已知)
1f
x =-()f x 的表达式．
（2）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2
()()2f x g x x x +=+-，求()f x ，
()g x 的表达式．
22．已知函数()f x 为二次函数，满足()()139f f -==，且()03f =．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）设()()g x f x mx =-在[]1,3上是单调函数，求实数m 的取值范围． 23．已知函数()y f x =是[]1,1-上的奇函数，当10x ≤<时，()21
12
x f x x =-
+. （1）判断并证明()y f x =在[)1,0-上的单调性； （2）求()y f x =的值域. 24．已知函数()2m
f x x x
=+
+（m 为实常数）. （1）当4m =时，试判断函数在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明； （2）设0m <，若不等式()f x kx ≤在1[,1]2
x ∈有解，求实数k 的取值范围. 25．已知函数2()3f x x ax =+-．
（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 26．已知函数()()2
0,,f x ax bx c a b c R =++>∈满足1(0)()1f f a
==.
（1）求()f x 表达式及其单调区间（不出现b ，c ）；
（2）设对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知
()3,22f b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的
值域得到结果. 【详解】
()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，
当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3
,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，解得：
1
12
b ≤<， ()()()2
2
11124bf a bf b b b b b b ⎛
⎫==+=+=+- ⎪⎝
⎭，
∴当
112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
. 故选：D. 【点睛】
易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.
2．C
解析：C 【分析】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】
在同一坐标系中先画出()f x 与()g x 的图象，如图
然后根据定义画出()F x ，就容易看出()F x 有最大值，无最小值． 由图象可知，当0x <时，()y F x =取得最大值， 所以由232||2x x x -=-得27x =+或27x =-．
结合函数图象可知当27x =-时，函数()F x 有最大值727-，无最小值． 故选：C ．
【点睛】
关键点睛：本题主要考查了函数的图象，以及利用函数求最值，解答本题的关键是在同一坐标系中画出()f x 与()g x 的图象，根据图象得出函数的最值，由232||2x x x -=-得
27x =+或27x =-.
3．D
解析：D 【分析】
本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果. 【详解】
A 项：函数lg y x =定义域为()0,∞+，函数21
lg 2
y x =
定义域为{}0x x ≠，A 错误； B 项：函数21
1
x y x -=-定义域为{}
1x x ≠，函数1y x =+定义域为R ，B 错误；
C 项：函数1y =
值域为[)1,-+∞，函数1y x =-值域为R ，C 错误；
D 项：函数y x =与函数log x
a y a =(0a >且1a ≠)定义域相同，对应关系相同，D 正确. 故选：D 【点睛】
方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题.
4．B
解析：B 【分析】
根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】
2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，
则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，
则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】
思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.
5．A
解析：A 【分析】
利用抽象函数的定义域列不等式判断A ；利用特例法判断BCD. 【详解】
因为函数()f x 的定义域为(1,4)，由21412x x <<⇒<<或21x -<<-，所以函数
()2f x 的定义域为(2,1)(1,2)--⋃，A 正确；
1y x =+和1,1
1,1x x y x x +≥-⎧==⎨--<-⎩
，对应法则不同，不表示同一函数，B 错；
偶函数()1f x =在(0,)+∞和(,0)-∞上不具有相反的单调性，C 错；
0a b 时，不等式220ax bx ++>恒成立，但280b a -<且0a >不成立，D 错；
故选：A. 【点睛】
方法点睛：若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()
f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出，若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则()f x 的定义域为()
g x 在[],x a b ∈时的值域.
6．A
解析：A 【分析】
先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】
函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则3
02
x <<
，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133
x -<< 函数(13)f x -的定义域为21
(,)33
- 故选:A 【点睛】
对于抽象函数定义域的求解方法：
(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()
f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出；
(2)若已知函数()()
f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．
7．A
解析：A 【分析】
可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】
①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得2
12434428
b a a
c b
a
a b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨
⎪++=⎪⎪⎩
，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，
3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得2
0434428
a b c ac b a a b c -+=⎧⎪
-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得012428
a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
，不合乎题意；
④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
可得2
012434a
b c b a ac b a
⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得34
3294a b c ⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.
8．A
解析：A 【分析】 根据,,b a b
a b a a b
≥⎧*=⎨<⎩可得()g x 的解析式，画出图象可得答案.
【详解】
由,,b a b
a b a a b ≥⎧*=⎨<⎩
，得
()(
)
()2
22,[2,1]
24224,(1,)(,2)x x g x x x x x x x -+∈-⎧=--+*-+=⎨--+∈+∞⋃-∞-⎩
，
当[2,1]x ∈-，()2[1,4g x x =-+∈]， 当(1,)
(,2)x ∈+∞-∞-，
()2
()154g x x =-++<，
可得()4g x ≤- 故选：A. 【点睛】
本题的关键点是根据已知定义求出函数解析式，然后画出图象求解.
9．A
解析：A 【分析】
由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】
由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数， 由(
)(
)
2
2
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，
故22
min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题
10．D
解析：D 【解析】 因为()sin()
sin sin()
sin 11()2222x x x x
f x y f x ---=+
==
+=，
所以函数sin sin 122x
x
y =+
是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；
又sin
2
sin
2
1
15
()2
22
22
2
f π
π
π
=+=+
=，排除C ， 综上，函数sin sin 12
2x
x
y =+大致的图象应为D 项，故选D.
11．C
解析：C 【详解】
由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A 、B 选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C 选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D 选项正确. 故选C.
要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间； 根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A 、B 选项； 函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！
12．C
解析：C 【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之
间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．
a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得4
3
a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a 43＜
（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a
--=，
x 2=
．
当403
a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．
解得：53-＜a 34
-
＜． 综上可得：53
-＜a 34
-＜． 故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
二、填空题
13．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单
解析：①②④ 【分析】
求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】
函数()f x =2
1011
x x ⎧-⎪⎨
+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为
[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．
当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒
，
当(0x ∈，1]时，(][)2
20,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x =
==，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．
③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．
④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()f x ==，则()()f x f x -=-，
()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．
故答案为：①②④． 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
14．100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为：100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键
解析：100 【分析】
分析得出(2)()2f x f x -+=得解. 【详解】
1()1x f x x +=
- 211211
(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=
++=--- ∴135199(
)()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100
f f f f f f =+++++
250100=⨯=
故答案为：100． 【点睛】
由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.
15．【分析】分别讨论和时结合基本不等式和二次函数的单调性可得的最小值
解不等式可得所求范围【详解】函数可得时当且仅当时取得最小值由时若时在递减可得由于的最小值为所以解得；若时在处取得最小值与题意矛盾故舍去 解析：[3,)+∞
【分析】
分别讨论1x >和1x ≤时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得()f x 的最小值，解不等式可得所求范围. 【详解】
函数2212,1()4
,1
x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪
=⎨++>⎪⎩
，可得1x >时，(
)44f x x a a a x =+
+≥=+，当且仅当2x =时，()f x 取得最小值4a +， 由1x ≤时，()()2
212f x x a a =-+-，
若1a ≥时，()f x 在(]
1-∞，
递减，可得()()1132f x f a ≥=-， 由于()f x 的最小值为()1f ，所以1324a a -≤+，解得3a ≥； 若1a <时，()f x 在x a =处取得最小值与题意矛盾，故舍去； 综上得实数a 的取值范围是[
)3,+∞， 故答案为：[
)3,+∞. 【点睛】
本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中档题.
16．【分析】依题意分析的值域A 包含于的值域B 再对分类讨论得到的值域列关系计算即可【详解】因为总使得成立所以的值域A 包含于的值域B 依题意A=又函数因此当时不满足题意；当时在上递增则故即得；当时在上递减则故
解析：55,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
【分析】
依题意分析()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，再对a 分类讨论得到()g x 的值域，列关系计算即可. 【详解】
因为[]12,2x ∀∈-，总[]02,2x ∃∈-，使得()()01g x f x =成立， 所以()f x 的值域A 包含于()g x 的值域B ，依题意A =[]0,4， 又函数()1=-g x ax ，2,2x
，因此，
当0a =时，{}1B =-，不满足题意；
当0a >时，()g x 在[]2,2-上递增，则[][]21,210,4B a a =---⊇，
故210214
a a --≤⎧⎨-≥⎩，即得52a ≥；
当0a <时，()g x 在[]2,2-上递减，则[][]21,210,4B a a =---⊇， 故210214
a a -≤⎧⎨
--≥⎩，即得5
2a ≤-.
综上，实数a 的取值范围为55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦
⎣⎭
. 故答案为：55,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥
⎢⎝
⎦⎣⎭
. 【点睛】
本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.
17．2021【分析】由已知条件利用换元法求出f （x ）然后代入计算即可求解【详解】已知函数f （x ）在定义域（0+∞）上是单调函数且对任意x ∈（0+∞）都有ff （x ）﹣＝2可设f （x ）﹣＝c 故f （x ）＝+c
解析：2021 【分析】
由已知条件，利用换元法求出f （x ），然后代入计算即可求解． 【详解】
已知函数f （x ）在定义域（0，+∞）上是单调函数，且对任意x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣
1
x
]＝2， 可设f （x ）﹣1x ＝c ，故f （x ）＝1x +c ，且f （c ）＝c +1
c
＝2（c ＞0），解可得c ＝1，f （x ）＝1
x
+1， 则f （
1
2020）＝2021． 故答案为：2021 【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性求函数值，函数解析式的求法，注意函数性质的合理应用，属于中档题．
18．【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：
解析：3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】
因为()f x 在[1,2]上单调递增， 所以当[]11,2x ∈时，()15
22
f x ≤≤
， 因为()12x
g x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
在[1,1]-上单调递减， 所以当[]21,1x ∈-时，
()21
22
m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥， 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即
122
m -≤，解得32m ≥-，
所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
. 故答案为：3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
19．【分析】先计算当和时的值然后分析原函数的图象性质根据函数的图象性质判断定义域【详解】令得令得函数则原函数在上单调递减在上递减画出函数的图象如图所示：由函数的图象可知当值域为时定义域应为故答案为：【点
解析：(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
【分析】
先计算当0y =和3y =时x 的值，然后分析原函数的图象性质，根据函数的图象性质判断
定义域． 【详解】 令2101x y x -=
=-得1
2x =，令2131
x y x -==-得2x =，
函数212211
2111
x x y x x x --+=
==+---，则原函数在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上递减，画出函数21
1
x y x -=-的图象如图所示：
由函数21
1
x y x -=
-的图象可知，当值域为()[),03,-∞+∞时，定义域应为
(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
． 故答案为：(]1,11,22⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
解答本题时，要先根据函数值域的端点求出自变量的值，然后通过原函数的图象及性质分析自变量的取值情况，其中将原函数解析式化为1
21
y x =+-，结合反比例函数的图象性质分析21
1
x y x -=
-的性质是关键． 20．【分析】对分段讨论去绝对值计算求解【详解】当时可得当时符合题意；当时则不符合题意；当时此时不符合题意综上的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题解题的关键是对分段讨论求解 解析：(],1-∞
【分析】
对a 分段讨论去绝对值计算求解. 【详解】
当1a ≤时，()44
f x x a a x x x
=-++=+，可得当[]1,4x ∈时，()45f x ≤≤，符合题意；
当14a <<时，()42,14,4a x x a x
f x x a x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩
，则()1325f a =+>，不符合题意；
当4a ≥时，()4
2f x a x x
=-+
，此时()13211f a =+≥，不符合题意， 综上，a 的取值范围是(],1-∞. 故答案为：(],1-∞. 【点睛】
本题考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是对a 分段讨论求解.
三、解答题
21．（1）2()43(1)f x x x x =-+≥；（2）2()2f x x =-，()g x x =． 【分析】
（1）利用换元法求解析式即可；（2）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求求
()f x ，()g x 的表达式.
【详解】 （1
）由
)
1f x =-，
令11t =
≥，
()2
1,1t x t =-=-，
所以()()()2
212143f t t t t t =---=-+，
故()f x 的表达式为：2
()43(1)f x x x x =-+≥；
（2）由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数， 得()()()(),f x f x g x g x -=-=-， 又由2
()()2f x g x x x +=+-，（1） 得2()()2f x g x x x +-=---， 即2
()()2f x g x x x =---，（2） 解（1）（2）联立的方程组得：
2()2f x x =-，()g x x =，
所以()f x ，()g x 的表达式为：
2()2f x x =-，()g x x =.
【点睛】
关键点睛：利用换元法求解析式，根据函数奇偶性的定义利用方程组法是解决本题的关键. 22．（1）()2
243f x x x =-+；（2）8m ≥或0m ≤．
【分析】
（1）设函数()2
f x ax bx c =++（0a ≠），代入已知条件解得,,a b c ，得解析式；
（2）由对称轴不在区间内可得． 【详解】
（1）设函数()2
f x ax bx c =++（0a ≠）
∵()()139f f -==，且()03f = ∴99313a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得243a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
∴()2
243f x x x =-+．
（2）由（1）()()2
243g x x m x =-++，其对称轴为4144
m m
x +=
=+ ∵()()g x f x mx =-在[]1,3上单调函数，
∴134m +
≥，或114m
+≤，解得：8m ≥或0m ≤． 【点睛】
方法点睛：本题考查求二次函数的解析式，二次函数的单调性．二次函数解析式有三种形
式：（1）一般式：2()f x ax bx c =++；（2）顶点式：2
()()f x a x h m =-+；（3）交
点式（两根式）：12()()()f x a x x x x =--． 23．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}111,0,122⎡⎫⎛⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
. 【分析】
（1）利用定义设1210-≤<<x x ，计算()()12f x f x -判断正负即可得出单调性； （2）先利用单调性求出()f x 在[)1,0-的取值范围，再根据奇函数的对称性可求出. 【详解】
（1）设1210-≤<<x x ，
()()()()()()
122112
122222
121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++， 因为1210-≤<<x x ，所以121x x <，210x x ->, 则()()120f x f x -<，()()12f x f x <，
所以()f x 在[)1,0-上单调递增； （2）
函数()f x 在[)1,0-上是增函数，
∴()()()10f f x f -≤<，()11f -=-，()102f =-，∴()11,2f x ⎡
⎫∈--⎪⎢⎣
⎭
∴当10x -≤<时，()f x 的取值范围11,2⎡
⎫--
⎪⎢⎣⎭
∴而函数()f x 为奇函数，由对称性可知，函数()y f x =在(]0,1上的取值范围为1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
又()00f =，故()y f x =的值域{}111,0,122⎡
⎫⎛⎤--⋃⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
. 【点睛】
思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤： （1）在定义域内任取12x x <； （2）计算()()12f x f x -并化简整理； （3）判断()()12f x f x -的正负；
（4）得出结论，若()()120f x f x -<，则()f x 单调递增；若()()120f x f x ->，则
()f x 单调递减.
24．（1）增函数；证明见解析；（2）当2
3
m ≤-
时，[)45,k m ∈++∞; 当2
03-
<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【分析】
（1）用函数单调性的定义进行证明得解； （2）参变分离得到22
1m k x x
++≤，再换元转化为二次函数求最值得解. 【详解】
（1）()f x 为[)2,+∞上的增函数 证明如下：任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x < 则()121212121212
444
()()x x f x f x x x x x x x x x --=-+
-=- 21120,4x x x x ->>所以12()()f x f x <；
所以()f x 为[)2,+∞上的增函数 （2）由()f x kx ≤，得2m
x kx x
+
+≤
212
[,1],12m x k x x
∈∴++≤
令1t x =
，[]2
211()21()1,(1,2)g t mt t m t t m m =++=++-∈ 则1[,1]2
x ∈有解，当且仅当[]min ()(1,2)k g t t ≥∈
0m <
当13
2m -
>即203
-<<m 时，min ()(1)3g t g m ==+ 当13
02m <-
≤即23
m ≤-时，min ()(2)45g t g m ==+ 综上， 当2
3
m ≤-时，[)45,k m ∈++∞. 当2
03-
<<m 时， [)3,k m ∈++∞ 【点睛】
函数不等式恒成立问题通常转化为函数最值问题，注意对参数进行讨论.
25．（1）(2,2)-；（2）(
,-∞． 【分析】
（1）由已知得210x ax ++>的解集为R ，只需∆<0可得答案；
（2）由已知得230x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案. 【详解】
（1）()4f x >-即234x ax +->-， 即210x ax ++>，
由不等式()4f x >-的解集为R ， 可得∆<0，即240a -<， 解得22a -<<， 故a 的取值范围是(2,2)-．
（2）()26f x ax ≥-即2326x ax ax +-≥-， 即230x ax -+≥，
由不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立， 可得当12
a
≤，即2a ≤时，10f ≥（）
，即40a -≥，得4a ≤，从而2a ≤； 当132
a
<
<，即26a <<时，0∆≤，即2120a -≤，
得a -≤≤2a <≤
当32
a ≥，即6a ≥时，(3)0f ≥，即1230a -≥，得4a ≤，此时无解．
综上，a 的取值范围是(,-∞．
【点睛】
对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值．
26．（1）()21f x ax x =-+，减区间为1,2a ⎛
-∞⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【分析】
（1）由()101a f f ⎛⎫
⎪⎝⎭==，整理得()21f x ax x =-+，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）把“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”转化为()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【详解】
（1）由()101a f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
==，可得()11(0)()f x a x x a -=--， 整理得()21f x ax x =-+，
因为0a >，则函数()21f x ax x =-+开口向上，对称轴方程为12x a
=， 所以()f x 单调递减区间为1,2a ⎛
-∞⎫ ⎪⎝⎭
，()f x 单调递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”，
即()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，
由（1）知函数()21f x ax x =-+，
①当12
a ≥时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递增 可得()()()()max min 31828f x f x f f a -=-=-≤，解得54a ≤，即1524a ≤≤； ②当106
a <≤时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递减 可得()()()()max min 13288f x f x f f a -=-=-≤，解得34a ≥-，即106a <≤；
③当1162a <<时，函数()f x 在区间11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,32a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 可得()()(){}max max 1,3f x f f =，()min 1124f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
则()()112118243113932824f f a a a f f a a a ⎧⎛⎫-=-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1162a <<， 综上所述：实数a 的取值范围是50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
由 恒成立求参数取值范围的思路及关键：
一般有两个解题思路：一时分离参数法；二是不分离参数，采用最值法；
两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离，两种思路的依据为：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立max ()a f x ⇔≤.。