福建省高考数学理二轮专题总复习 专题5第3课时 空间中的角和距离课件

•
设 平 面 B1C D的 法 向 量 为 m ( x， y， z )．
则
由
m
m
C B1 0 CD 0
x 2
y
a
z 2
z
0
0
，
令
z
1.
得 m ( a ,1 ， 1)，
又 平 面 C1D C的 法 向 量 为 n 0,1, 0 ，
则 由 cos60 m n 1 1 ， | m || n | a 2 2 2
专专题题五一 函立数与体导几数何
1．高考考点 (1)了解空间向量的概念，基本定理及其意义． (2)掌握空间向量的正交分解、线性运算及其坐标 表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用 向量的数量积判断向量的共线与垂直． (4)理解直线的方向向量与平面的法向量． (5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、 平面与平面的垂直、平行关系．
平 面 ACD1所 成 角 相 等 ，
设 DO 平 面 ACD1， 由
等 体 积 法 得 VD ACD1
V D1
，
ACD
即
1 3
S ACD1
DO
1 3
S ACD
D D1.设 D D1
a，
则 S ACD1
1 2
AC
A D1s in 6 0
1 2
(
2a)2
3 2
3 a 2， 2
S ACD
1 2
因 此 ， EB1 BF， 所 以 ， BF 平 面 AB1E，
所
以
，
B
B1
F
就
是
直
线
B
B
与
1
平
面
A
E
B1所
成
的
角
．
又 因 为 EA
E
B
，
1
故
E
B
1
BE.
所 以 在 侧 面 B C C1B1中 ，
可
知
E
为
C
C
的
1
中
点
，
所
以
B
E
1.
又 A E 3， 所 以 B F A B B E 6 ，
C
B
、
C
C
所
1
在
直
线
分
别
为
x，
y，
z
轴建立空间直角坐标系．
则 C 0, 0, 0 ， A 1, 0, 0 ， B1 0, 2, 2 ， C1 0, 0, 2 ， 设 A D a， 则 D (1, 0， a )．
所 以 C D (1, 0， a )，C B1 0, 2, 2 ，
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
AD
CD
1 2
a 2.
所 以 D O SACD D D1 S ACD 1
a3
3a 2
记 D D 1与 平 面 A C D 1所 成 角 为 ，
3 a， 3
则 sin D O 3 ， 所 以 cos 6 .
D D1 3
3
解
法
2：
设
上
下
底
面
的
中
心
分
别
为
O
，
1
O；
O 1O
与
平
面
A
C
D 1所
4
4
22
所 以 a 1 或 a 3 (舍 去 )．
2
2
故E(
3 2
，1 2
，0 )，ຫໍສະໝຸດ 所以B1E
(
3 ， 2
3 ，0 )． 2
设 平 面 AEB1的 法 向 量 为 n ( x， y， z )．
因 为 AB1 (0, 2，
2
)，
所
以
3 2
x
3 2
y 0z
0 .
0
x
2
y
2z 0
取 y 1， 得 x 3， z 2， 所 以 n ( 3，1， 2 )．
即 a 2， 故 A D 2 .
1. 共线(平行)向量定理：对于空间任意两个向量
a、b( b0)，a∥b的充要条件是存在实数，使 a=b.
2. 共面向量定理：如果两个向量a、b不共线， 则向量p与a、b共面的充要条件是存在实数对x、 y，使p=xa+yb.
3． 若 异 面 直 线 AB、 CD所 成 角 的 大 小 为 ，
1
【点评】立体几何问题应注意一题两法，可根据具体 的题目和自己的情况选择一种方法求解．有时也可根
题型三 利用向量知识解决立体几何中的探索性问
题【例3】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)在AB上是否存在点D使得AC1⊥CD? (3)在AB上是否存在点D使得A1C∥平面CDB1.
AE
3
6
所 以 ， sin B B1F
3 2
6. 6
2 由
1 可
知
，
AE
E
B
，
1
BE
E
B
，
1
所 以 AEB是 二 面 角 A EB1 B的 平 面 角 ．
而
平
面
A1B1E
平
面
B
C
E
B
，
1
所
以
，
AEB是
二
面
角
A
E B1
A
的
1
平
面
角
的 余 角 ， 所 以 ， tan 1 1 2 . tanA E B 2 2
10
10
m -
1
2设c a b(、 R)，则n ，所以.m -1
2 2
n
又因为m2 n2 4 9，所以 2或 -1.
故c 1, 2, 2或c (-2，-1, 2)．
【点评】空间向量的运算与平面向量的运算大同小异， 很多性质是相同的，所以要和平面向量结合起来学习．
则 c o s | c o s 〈 A B，C D〉| .
4. 若 直 线 AB与 平 面 a所 成 的 角 为 ，
则 s in | c o s 〈 A B， n〉| ， 其 中 n为 平 面 a的 法 向 量 ．
5. 设 二 面 角 l 的 大 小 为 ， 平 面 a、 b的 法 向
又 BB1 0, 2, 0 ， 所 以 直 线 BB1与 平 面 AEB1所 成 角
的 正 弦 值 为 sin
| cos〈 BB1， n〉||
020 2 6
|
6. 6
2由已知有EA EB1，B1A1 EB1，故二面角
A EB1 A1的平面角为向量B1A1与EA的夹角．
因为B1A1 BA (0,0，2)，EA (
(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的 一些定理(包括三垂线定理)． (7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、 平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在 研究几何问题中的应用． 2．易错易漏 (1)直线与直线所成角、直线与平面所成角、二面 角的取值范围易乱； (2)向量所成角与所求角之间的关系不清楚．
则 D (3 3 ，4 ，0 )， 于 是 C D (3 3 ，4 ，0 )，
由 于 AC1 3,0, 4 ， 且 AC1 CD，
所 以 9 9 0， 得 1，
所 以 在 AB上 存 在 点 D使 得 AC1 CD， 且 这 时 点 D与 点 B重 合 ．
3
假
设
在
A
B
上
存
在
成
角
就
是
B
B 1与
平
面
A
C
D
所
1
成
角
，
cos
O 1O D 1
| O 1O |O D1
| |
1 3
6. 3
2
5. (2011济南模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中， AA1底面ABC，ACB90， 2ACAA1BC2. 若二面角B1DCC1的大小为60， 则AD的长为__________．
【 解 析 】 如 图 ， 以 C 为 原 点 ， C A、
C1 0, 0, 4 ， B 0, 4, 0 ， B1 0, 4, 4 ．
1因 为 A C 3, 0, 0 ，B C1 (0， 4, 4 )，
所以 AC
BC1
0， 所 以 A C
B
C
，
1
所
以
A
C
BC1.
2 假 设 在 AB上 存 在 点 D， 使 得 AC1 CD，
则 A D A B ( 3 ，4 ，0 )， 其 中 0 1 ，
所以AB AC0，得A为锐角； CACB0，得C为锐角； BA BC0，得B为锐角． 又| AB| 29，| AC| 35 | BC| 14，所以ABC为锐角三角形．
3. 空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，
3
则异面直线OA、BC所成角的大小为( )
A.
B.
6
4
C.
3
D.
2
【解析】cos〈OA， BC〉 OABC
0,4)，设 aAB,bAC.
(1)求a与b的夹角的余弦值； (2)设向量c=(m，n,2)，|c|=3，并且c∥平面ABC，求 向量c.
【分析】注意直线与平面平行的向量形式的应 用．
【解析】1由已知有a 1,1,0，b -1,0, 2，所以，
cos〈a，b〉 - 10 .所以a与b的夹角的余弦值为 10 .
【
解
析
】
在
三
棱
柱 ABC
A1
B1C
，
1
AC 3，BC 4，AB 5，
A C B C， 又 A A1 平 面 A B C，
所
以
A
C
，
B
C
，
C
C
两
1
两
垂
直
，
所 以 以 C为 坐 标 原 点 ，
直
线
C
A，
C
B，
C
C
分
1
别
为
x
轴
，
y
轴
，
z
轴
，
建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 C 0,0,0， A 3,0,0，
点
D
使
得
A
C(
3 ， 2
1 2
，0 )，
C
1
(
3 ，3 ，0 )． 22
设E(
3 ， a , 0 )， 由 E A 2
E
B
，
1
得
E
A
E
B1
0，
即 0 ( 3 ， a， 2 ) ( 3 ，2 a , 0 )
2
2
3 a a 2 a 2 2a 3 ， 得 (a 1 )(a 3 ) 0，
3， 1，2)， 22
cos EA B1A1 2 ，即tan 2 .
| EA| | B1A1 | 3
2
解 法 2 ：1 作 B F A E， 连 接 B1F .
因 为 A B 侧 面 B B1C1C，
所 以 AB
B1E .又 E A
E
B
，
1
E A A B A， 所 以 E B1 平 面 A B E，
特别是直线与平面所成的角．
【 解 析 】 解 法 1 ：1以 B为 原 点 ，B B1、B A分 别 为 y、 z
轴正方向建立空间直角坐标系．
因 为 A B 2， B B1 2， B C 1，
B C C1
3
，
所
以在三
棱
柱 ABC
A1
B
1C
中
1
，
有 B 0, 0, 0 ， A (0, 0， 2 )， B1 (0，2, 0 )，
OA
OCOB
OA BC
OA BC
OA OCcos OA OBcos
3
3 0.答案：D
OA BC
4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的 余弦值为__________．
【 解 析 】 解 法1： 因 为 BB1 //DD1，
所 以 BB1与 平 面 ACD1所 成 角 和 DD1与
题型二 利用空间向量解决有关距离问题
【例2】如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB 侧面
BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA EB1.
已知AB
2，BB1
2，BC
1，BCC1
3
.求：
1直线BB1与平面AEB1所成角的正弦值；
2二面角A EB1 A1的平面角的正切值．
【分析】建立空间直角坐标系后，注意公式的应用，
【解析】由cos〈a，b〉 ab 8， |a||b| 9
得 6 8，解得2或2，故选C.
3 52 9
55
2. 若A(1，-2,1)，B(4,2,3)，C(6，-1,4)，则△ABC的
形状是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形
【解析】因为AB3,4,2， AC5,1,3， BC(2，-3,1)，
3．归纳总结 空间向量应用于立体几何的试题，着重考查的是应 用空间向量的应用意识和应用空间向量求角，求距 离，证明直线平行与垂直关系，以及探索存在性问 题等基本能力．
1.若a(1，l， 2)，b(2， 1,2)，且a，b夹角的
余弦值为8，则等于
9
A. 2 B.2 C.2或2 D.2或2
55
55
量
分
别
为
n
、
1
n
，
2
则 cos
|
c
o
s
〈
n
，
1
n
2〉|
或
c
o
s
|
co
s
〈
n
，
1
n 2〉|
.
6. 点 A到 平 面 a的 距 离 为 d | A B n |， |n |
其 中 点 B是 平 面 内 任 意 一 点 ， n为 平 面 的 法 向 量 ．
题型一 空间向量的平行与垂直问题
【 例 1】 已 知 空 间 三 点 A(-2,0,2) ， B(-1,1,2) ， C(-3 ，