数学一轮复习第九章第3讲变量间的相关关系与统计案例课时作业含解析

第3讲变量间的相关关系与统计案例
组基础关
1．观察下列各图形：
其中两个变量x，y具有相关关系的图是（)
A．①②B．①④C．③④D．②③
答案C
解析观察散点图可知，两个变量x，y具有相关关系的图是③④.
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m 如下表：
甲乙丙丁
r 0。

82
0。

78
0.6
9
0。

85
m 10
6
11
5
12
4
10
3
则哪位同学的试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性
（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
答案D
解析在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大;残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两个变量有更强的线性相关性．故选D.
3．（2019·湖北省七市（州）教科研协作体联考）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据:(x1，y1)，(x2，y2），(x3，y3)，(x4，y4）,(x5,y5）．根据收集到的数据可知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝100，用最小二乘法求得回归直线方程为y，^＝0.67x＋54。

8，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5的值为(）
A．68。

2 B．341 C．355 D．366.2
答案B
解析由题意，得错误!＝错误!＝20，将其代入回归直线方程错误!＝0.67x＋54.8中，得错误!＝0.67×20＋54。

8＝68。

2，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5错误!＝341.故选B.
4．(2020·兰州模拟)根据如下样本数据：
得到的回归方程为错误!＝bx＋a。

样本点的中心为(3,0.1）,当x 增加1个单位，则y近似（）
A．增加0.8个单位B．减少0.8个单位
C．增加2。

3个单位D．减少2.3个单位
答案A
解析由题意，知错误!＝错误!×(1＋2＋3＋4＋5)＝3,错误!＝错误!×［（a－1)＋（－1)＋0.5＋（b＋1)＋2。

5]＝错误!＝0。

1，①又回归直线方程过样本中心点（3,0。

1)，得
3b＋a＝0。

1，②
由①②联立，解得a＝－2。

3，b＝0.8，所以回归直线方程为错误!＝0。

8x－2.3，所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．
x，y之间的相关关系如下表所示:
5．已知两个随机变量
根据上述数据得到的回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，则大致可以判断()
错误!
A.错误!〉0，错误!>0 B。

错误!>0，错误!<0
C.错误!<0,错误!>0 D。

错误!<0，错误!<0
答案C
解析由已知得，错误!＝0。

2，错误!＝－1.7，
∴错误!＝错误!＝错误!>0，
∴错误!＝－1。

7－错误!×0。

2<0，
或利用散点图，易判断错误!〉0,错误!<0。

故选C。

6．（2019·湛江二模）有人认为在机动车驾驶技术上,男性优于女性．这是真的么?某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：
附：K2＝错误!
据此表，可得()
A．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%
B．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50％
C．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60％
D．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%
答案A
解析由表中数据,计算
K2＝错误!≈0。

3367<0。

455，
∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50％.故选A。

7．在一组样本数据(x1，y1)，（x2，y2)，…，(x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i＝1，2，…，6)都在曲线y＝bx2
－1
3附近波动．经计算错误!x i＝11，错误!y i＝13，错误!x错误!＝21，则实数b的值为________．
答案错误!
解析令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－错误!，此时错误!＝错误!＝错误!，错误!＝错误!＝错误!，代入y＝bt
－错误!，得错误!＝b×错误!－错误!，解得b＝错误!.
8．（2019·厦门二模）某种细胞的存活率y(％)与存放温度x
（℃）之间具有线性相关关系，其样本数据如表所示：
计算得错误!＝5，错误!＝35，错误!i y i＝－175,错误!错误!＝875,并求得
回归直线为错误!＝－2x＋45.但实验人员发现表中数据x＝－5的对应值y＝60录入有误，更正为y＝53。

则更正后的回归直线方程为________．
参考公式：回归方程错误!＝错误!x＋错误!中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为错误!＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!。

答案错误!＝－1.9x＋43。

5
解析由题意,更正后，
错误!＝5，错误!＝错误!×(35×7－60＋53）＝34，
y i＝－175＋5×60－5×53＝－140，错误!错误!＝875,错误!i
∴错误!＝错误!＝错误!＝－1.9，
错误!＝错误!－错误!错误!＝34－（－1.9）×5＝43。

5。

∴更正后的回归直线方程为错误!＝－1。

9x＋43。

5.
组能力关
1．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1）,(11。

3，2)，（11。

8,3），(12.5，4）,（13,5）;变量U与V相对应的一组数据为（10，5),(11。

3,4)，(11。

8，3)，（12。

5,2)，(13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则(）
A．r2〈r1〈0 B．0<r2<r1
C．r2<0〈r1D．r2＝r1
答案C
解析对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关,即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关,即r2<0,故选C。

2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查了52名中学生,得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）
表1
成绩不及及总
2
表
表4
男14620
女23032
总计163652 A．成绩B．视力C．智商D．阅读量答案D
解析K21＝52×6×22－10×142
16×36×20×32，
令错误!＝m，则K错误!＝82m，
同理,K错误!＝m×(4×20－12×16)2＝1122m,K错误!＝m×(8×24－8×12）2＝962m，K2，4＝m×（14×30－6×2）2＝4082m，∴K24＞K错误!＞K错误!＞K错误!,则与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．故选D.
3．(多选)某商品的销售量y(件）与销售价格x（元/件)存在线性相关关系．根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…,n）,用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝－5x＋150，则下列结论正确的是（)
A．y与x具有负的线性相关关系
B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5
C．当销售价格为10元时，销售量为100件
D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右
答案AD
解析由回归直线方程知，y与x具有负的线性相关关系，A 正确．若r表示y与x之间的线性相关系数，则｜r｜≤1，B错误．当销售价格为10元时，错误!＝－5×10＋150＝100，即销售量为100件左右,C错误,D正确,故选AD。

4．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的错误!，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的错误!，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的错误!。

若有95％的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有________人．
答案12
解析设男生人数为x,由题意可得列联表如下:
若有95％的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关,则k 〉3.841， 即k ＝错误!＝错误!>3。

841,
解得x >10。

243。

因为错误!，错误!，错误!为整数,所以若有95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有
12人．
5．(2019·惠州市第二次调研)某商场为了了解毛衣的月销量y (件)与月平均气温x (℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
由表中数据算出线性回归方程错误!＝错误!x ＋错误!中的错误!＝－2，则错误!＝________；气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，
据此估计该商场下个月毛衣销售量约为________件．答案5846
解析由题中数据，得错误!＝10,错误!＝38,回归直线错误!＝错误!x ＋错误!过点（错误!，错误!)，且错误!＝－2，代入得错误!＝58,则回归方程错误!＝－2x＋58，所以当x＝6时,y＝46.
6．（2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y，^＝－30。

4＋13。

5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…,7）建立模型②：错误!＝99＋17.5t。

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
错误!＝－30。

4＋13.5×19＝226.1(亿元)．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y^＝99＋17。

5×9＝256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下:
（ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13。

5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型错误!＝99＋17。

5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226。

1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
(以上给出了两种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可）
组素养关
1．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．
(1)求图中a的值；
（2）估计该次考试的平均分错误!（同一组中的数据用该组的区间中点值代表)；
(3）根据已知条件完成下面的2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功"与性别有关．
晋级成
功晋级失
败
合
计
男16
女50
参考公式：
K 2＝错误!，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 。

解 （1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知
(2a ＋0.020＋0.030＋0.040)×10＝1，故a ＝0。

005.
(2)由频率分布直方图知各小组的区间中点值分别为55，65,75，85,95，对应的频率分别为0。

05,0。

30,0。

40，0。

20，0。

05,
故可估计平均数x ，－＝55×0.05＋65×0.3＋75×0。

4＋85×0.2＋95×0.05＝74.
（3)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20＋0.05＝0.25,
故晋级成功的人数为100×0。

25＝25，故填表如下：
K2＝错误!≈2.613〉2。

072，
所以有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．
2．(2019·银川一中模拟)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人）与餐厅所用原材料数量y（袋），得到如下统计表：
（1)根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程y＝错误! x＋a，^；
(2）已知购买原材料的费用C(元)与数量t（袋）的关系为C ＝错误!投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加．根
据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少?(注:利润L＝销售收入－原材料费用）
参考公式：错误!＝错误!＝错误!，
错误!＝错误!－错误!错误!.
参考数据:错误!i y i＝1343，错误!错误!＝558，错误!错误!＝3237。

解（1)由所给数据，得
错误!＝错误!＝10.4，错误!＝错误!＝25,
错误!＝错误!＝错误!≈2.5,错误!＝错误!－错误!错误!＝25－2.5×10。

4＝－1，则y关于x的线性回归方程为错误!＝2.5错误!－1。

（2）由（1）中求出的线性回归方程知,当x＝15时,y＝36.5，即预计需要原材料36。

5袋，
因为C＝错误!
所以当t〈36时，利润L＝700t－(400t－20)＝300t＋20，
当t＝35时,利润L＝300×35＋20＝10520;
当t≥36时,利润L＝700t－380t，
当t＝36时，利润L＝700×36－380×36＝11520，
因为预计需要原材料36.5袋，且多余的原材料只能无偿返还，所以当t＝37时，利润L＝700×36。

5－380×37＝11490.
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大，
最大利润为11520元．。