高一数学修三统计学和概率主要知识点梳理

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2.1.1 简单随机抽样一、简
单随机抽样的观点
一般地，设一个整体含有N 个个体，从中逐一不放回地抽取n 个个体作为样本（n≤N）,假如每次抽取时整体内的各个个体被抽到的时机都相等，就把这类抽样方法叫做简单随
机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。

【说明】简单随机抽样一定具备以下特色：
（ 1）简单随机抽样要求被抽取的样本的整体个数N 是有限的。

（ 2）简单随机样本数n 小于等于样本整体的个数N。

（3）简单随机样本是从整体中逐一抽取的。

（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。

（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n/N 。

二、
抽签法和随机数法
1、抽签法的定义。

一般地，抽签法就是把整体中的N 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个
容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就获取一个容量为n 的样本。

【说明】抽签法的一般步骤：
（1）将整体的个体编号。

（2）连续抽签获取样本号码。

（3）抽签法长处和弊端：简单易行，当整体个数不多时，是整体处于“搅拌均匀”
的状态比较简单，这是每个个体有均等的时机被抽中，进而能够保证样本的代表性，可是整体中
的个数许多时，将整体搅拌均匀就比较困难，用抽签法产生的样本代表性差的可能性大。

2、随机数法的定义：
利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法。

【说明】随机数表法的步骤：
（1）将整体的个体编号。

（2）在随机数表中选择开始数字。

（3）读数获取样本号码。

1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选用个体的
方法：放回和不放回，我们在抽样检查顶用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽
签法和随机数法。

2、抽签法的长处是简单易行，弊端是当整体的容量特别大时，费时、费劲，又不方
便，假如标号的签搅拌得不均匀，会致使抽样不公正，随机数表法的长处与抽签法同样，缺
点受骗整体容量较大时，仍旧不是很方便，可是比抽签法公正，所以这两种方法只合适整体
容量较少的抽样种类。

3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为n/N，可是这里必定要将每个个
体入样的可能性、第 n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n 次被抽到的可能性这三
种状况区分开业，防止在解题中出现错误。

2.1.2 系统抽样
一、系统抽样的定义：
一般地，要冷静量为 N 的整体中抽取容量为 n 的样本，可将整体分红平衡的若干部分，而后依照早先拟订的规则，从每一部分抽取一个个体，获取所需要的样本，这类抽样的方法叫做系统抽样。

【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当整体容量 N 较大时，采纳系统抽样。

（2）将整体分红平衡的若干部分指的是将整体分段，分段的间隔要求相等，所以，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝ [ N n ].
（3）早先拟订的规则指的是：在第1 段内采纳简单随机抽样确立一个开端编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。

1、在抽样过程中，当整体中个体许多时，可采纳系统抽样的方法进行抽样，系统抽样
的步骤为：
（1）采纳随机的方法将整体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确立分段间隔k(k ∈N) ；
（3）在第一段内采纳简单随机抽样的方法确立开端个体编号（4）依照早先预约的规则抽取样本。

2、在确立分段间隔k 时应注意：分段间隔k 为整数，当
L；
N
n不是整数时，应采纳等可
能剔除的方剔除部分个体，以获取整数间隔k。

【说明】从系统抽样的步骤能够看出，系统抽样是把一个问题区分红若干部分分块解决，进而把复杂问题简单化，表现了数学转变思想。

分层抽样
一、分层抽样的定义。

一般地，在抽样时，将整体分红互不交错的层，而后依照必定的比率，从各层独立地抽取必定数目的个体，将各层拿出的个体合在一同作为样本，这类抽样的方法叫分层抽样。

【说明】分层抽样又称种类抽样，应用分层抽样应依照以下要求：
（1）分层：将相像的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交错，即依照不重复、不遗漏的原则。

（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需依照在各层中进行简单随机抽样，每层样本数目与每层个体数目的比与这层个体数目与整体容量的比相等。

二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特色将整体分红若干部分。

（2）按比率确立每层抽取个体的个数。

（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。

（4）综合每层抽样，构成样本。

【说明】
（1）分层需依照不重复、不遗漏的原则。

（2）抽取比率由每层个体占整体的比率确立。

（3）各层抽样按简单随机抽样进行。

知识点 2简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较
类别共同点
简单（1）抽样过程中每个随机个体被抽到的可
抽样能性相等
（2）每次抽出个体后系统不再将它放回，即
不放回抽样
抽样
分层
抽样
各自特色联系
适用
范围从整体中逐一抽取
整体个
数较少
将整体均分红几部在开端部分
整体个分，按早先拟订的规则样时采纳简
数许多在各部分抽取随机抽样
整体由将整体分红几层，
分层抽样时采纳差别明
简单随机抽样或显的几分层进行抽取
系统抽样部分组
成
1、分层抽样是当整体由差别显然的几部分构成时采纳的抽样方法，进行分层抽样时
应注意以下几点：
（ 1）、分层抽样中分多少层、怎样分层要视详细状况而定，总的原则是，层内样本的差别要小，面层之间的样本差别要大，且互不重叠。

（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采纳同一抽样比等可能抽样。

（3）在每层抽样时，应采纳简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样。

2、分层抽样的长处是：使样本拥有较强的代表性，并且抽样过程中可综合采纳各样
抽样方法，所以分层抽样是一种适用、操作性强、应用比较宽泛的抽样方法。

２用样本的频次散布预计整体散布
〈一〉频次散布的观点：
频次散布是指一个样本数据在各个小范围内所占比率的大小。

一般用频次散布直方图反应样本的频次散布。

其一般步骤为：
（ 1）计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（ 2）决定组距与组数
（ 3）将数据分组
（ 4）列频次散布表
（ 5）画频次散布直方图
频次散布直方图的特色：
（1）从频次散布直方图能够清楚的看出数据散布的整体趋向。

（2）从频次散布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，
原有的详细数据信息就被抹掉了。

〈二〉频次散布折线图、整体密度曲线
1．频次散布折线图的定义：
连结频次散布直方图中各小长方形上端的中点，就获取频次散布折线图。

2．整体密度曲线的定义：
在样本频次散布直方图中，相应的频次折线图会愈来愈靠近于一条圆滑曲线，统计中称这条圆滑曲线为整体密度曲线。

它能够精准地反应了整体在各个范围内取值的
百分比，它能给我们供给更为精美的信息。

（见课本）
〖思虑〗：
１．关于任何一个整体，它的密度曲线能否是必定存在？为何？
２．关于任何一个整体，它的密度曲线能否能够被特别正确地画出来？为何？
实质上，只管有些整体密度曲线是客观存在的，但一般很难想函数图象那样正确地画出来，我们只好用样本的频次散布对它进行预计，一般来说，样本容量越大，这种预计就越精准．
〈三〉茎叶图
１．茎叶图的观点：
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物
茎上长出来的叶子，所以往常把这样的图叫做茎叶图。

（见课本P6１例子）
2．茎叶图的特色：
（１）用茎叶图表示数占有两个长处：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都能够从茎叶图中获取；二是茎叶图中的数据能够随时记录，随时增添，方便记录
与表示。

（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，并且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据固然能够记录，可是没有表示两个记录那么直观，清楚。

小结
1．整体散布指的是整体取值的频次散布规律，因为整体散布不易知道，所以我们常常用样本的频次散布去预计整体的散布。

2．整体的散布分两种状况：当整体中的个体取值极少时，用茎叶图预计整体的散布；当整体中的个体取值许多时，将样本数据合适分组，用各组的频次散布描
绘整体的散布，方法是用频次散布表或频次散布直方图。

２用样本的数字特色预计整体的数字特色
<一 >、众数、中位数、均匀数
1.众数、中位数、均匀数的基本观点：
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
中位数：将一组数据按大小挨次摆列，把处在最中间地点的一个数据（或最中间两个数
据的均匀数）叫做这组数据的中位数；
1 (x1x2x3x n 1x n )
均匀数：一组数据的算术均匀数,即x
n
2.利用频次散布直方图求样本数据的数字特色：
（1）众数是最高的矩形的底边的中点；
（2）中位数左右双侧直方图的面积相等；
（3）均匀数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
3.利用频次散布直方图求众数、中位数、均匀数均为近似值，常常与实质数据得出的不
一致，但他们能大略预计其众数、中位数和均匀数.
小结
3．用样本的数字特色预计整体的数字特色分两类：
a)用样本均匀数预计整体均匀数。

文案大全
5． 标准差描绘一组数据环绕均匀数颠簸的大小，反应了一组数据变化的幅度。

3.1 随机事件的概率
2、基本观点：
（1）必定事件：在条件 S 下，必定会发生的事件，叫相关于条件
S 的必定事件；
（2）不行能事件：在条件 S 下，必定不会发生的事件，叫相关于条件 S 的不行能事件；
（3）确立事件：必定事件和不行能事件统称为相关于条件 S 确实定事件；
（4）随机事件：在条件
S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相关于条件
S 的随机事件；
（5）频数与频次：在同样的条件
S 下重复 n 次试验，察看某一事件
A 能否出现，称 n 次试
验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数； 称事件 A 出现的比率 f n (A)=
n A
为事件 A 出
n
现的概率：关于给定的随机事件 A ，假如跟着试验次数的增添，事件
A 发生的频次 f n (A) 稳
定在某个常数上，把这个常数记作
P （ A ），称为事件 A 的概率。

（6）频次与概率的差别与联系：随机事件的频次，指此事件发生的次数 n A 与试验总次数 n
的比值
n A
，它拥有必定的稳固性，总在某个常数邻近摇动，且跟着试验次数的不停增加，
n
这类摇动幅度愈来愈小。

我们把这个常数叫做随机事件的概率， 概率从数目上反应了随机事件发生的可能性的大小。

频次在大批重复试验的前提下能够近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基天性质
1、 基本观点：（ 1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本
P119；
（ 2）若 A ∩ B 为不行能事件，即 A ∩ B=ф，那么称事件 A 与事件 B 互斥；
（ 3）若 A ∩ B 为不行能事件， A ∪ B 为必定事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对峙事件；
（ 4）当事件 A 与 B 互斥时，知足加法公式： P(A ∪ B)= P(A)+ P(B) ；若事件 A 与 B 为对峙事
件，则 A ∪B 为必定事件，所以 P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有 P(A)=1 — P(B) ．
2、 例题剖析：
例 1 一个射手进行一次射击
,试判断以下事件哪些是互斥事件 ?哪些是对峙事件 ?
事件 A ：命中环数大于 7 环； 事件 B ：命中环数为 10 环；
事件 C ：命中环数小于
6 环；
事件 D ：命中环数为
6、7、 8、 9、 10 环 .
剖析： 要判断所给事件是对峙仍是互斥， 第一将两个观点的联系与差别弄清楚， 互斥事件是
指不行能同时发生的两事件， 而对峙事件是成立在互斥事件的基础上， 两个事件中一个不发
生，另一个必发生。

解： A 与 C 互斥（不行能同时发生） ，B 与 C 互斥， C 与 D 互斥， C 与 D 是对峙事件（起码 一个发生） .
例 2 投掷一骰子 ,察看掷出的点数
,设事件 A 为“出现奇数点” ， B 为“出现偶数点” ，已知
P(A)= 1 ， P(B)= 1
，求出“出现奇数点或偶数点” ．
2
2
剖析： 投掷骰子 ,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是相互互斥的，可用运用概率的加
法公式求解．
解：记“出现奇数点或偶数点” 为事件 C,则 C=A ∪ B,因为 A 、B 是互斥事件， 所以 P(C)=P(A)+
1 1
P(B)=
+ =1
2
2
1
答： 出现奇数点或偶数点的概率为
例 3 假如从不包含大小王的
52 张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件 A ）的概率
是 1
，取到方块（事件 B ）的概率是
1
，问：
4
4
（ 1）取到红色牌（事件 C ）的概率是多少？
（ 2）取到黑色牌（事件 D ）的概率是多少？
剖析： 事件 C 是事件 A 与事件 B 的并，且 A 与 B 互斥，所以可用互斥事件的概率和公式求
解，事件 C 与事件 D 是对峙事件，所以 P(D)=1 — P(C)． 解：（ 1） P(C)=P(A)+ P(B)= 1 （ 2）P(D)=1 —P(C)=
1
2
2
例 4
袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，获取红球的概率
为
1
，获取黑球或黄球的概率是
5 ，获取黄球或绿球的概率也是
5
，试求获取黑球、得
3
12
12
到黄球、获取绿球的概率各是多少？
剖析： 利用方程的思想及互斥事件、对峙事件的概率公式求解．
解： 从袋中任取一球，记事件“摸到红球” 、“摸到黑球” 、“摸到黄球” 、“摸到绿球”为
A 、
B 、
C 、
D ， 则 有 P(B ∪ C)=P(B)+P(C)=
5
； P(C ∪ D)=P(C)+P(D)=
5
；P(B ∪ C ∪
12
12
D)=1-P(A)=1- 1 = 2
, 解的 P(B)=
1
,P(C)=
1
,P(D)=
1 3
3
4
6
4
答： 获取黑球、获取黄球、获取绿球的概率分别是
1、1、 1． 4、小结：概率的基天性质：
4 6 4
1）必定事件概率为
1，不行能事件概率为 0，所以 0≤ P(A) ≤ 1； 2）当事件 A 与 B 互斥时，知足加法公式： P(A ∪B)= P(A)+ P(B) ；
3）若事件 A 与 B 为对峙事件，则 A ∪ B 为必定事件，所以
P(A ∪ B)= P(A)+ P(B)=1 ，于是有
P(A)=1 — P(B) ；
3. 互斥事件与对峙事件的差别与联系， 互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时
发生，其详细包含三种不一样的情况：
（ 1）事件 A 发生且事件 B 不发生； （ 2）事件 A 不发生且事件 B 发生；
（ 3）事件 A 与事件 B 同时不发生，而对峙事件是指事件包含两种情况； （a ）事件 A 发生 B 不发生；（ b ）事件件的特别情况。

5、练习：
A 与事件
B 有且仅有一个发生， 其
B 发惹祸件 A 不发生，对峙事件互斥事
1．从一堆产品（此中正品与次品都多于 2 件）中任取 2 件，察看正品件数与次品件数，判
断以下每件事件能否是互斥事件，假如是，再判断它们能否是对峙事件。

（ 1）恰巧有 1 件次品恰巧有 2 件次品； （ 2）起码有 1 件次品和所有是次品；
（ 3）起码有 1 件正品和起码有 1 件次品；
（ 4）起码有 1 件次品和所有是正品；
2．投掷一粒骰子， 察看掷出的点数， 设事件 A 为出现奇数， 事件 B 为出现 2 点，已知 P （A ） =
1
，P （B ）=
1
，求出现奇数点或 2 点的概率之和。

2
6
3．某射手在一次射击训练中，射中 10 环、 8 环、 7 环的概率分别为 ，，，，
计算该射手在一次射击中：
（ 1）射中 10 环或 9 环的概率；
（ 2）少于 7 环的概率。

4．已知盒子中有散落的棋子
15 粒，此中 6 粒是黑子， 9 粒是白子，已知从中拿出
2 粒都是
黑子的概率是
1
，从中拿出 2 粒都是白子的概率是
12
，现从中随意拿出 2 粒恰巧是同一色
7
35
的概率是多少？ 6、评论标准：
1．解：依照互斥事件的定义，即事件
A 与事件
B 在必定试验中不会同时发生知： （ 1）恰巧
有 1 件次品和恰巧有 2 件次品不行能同时发生， 所以它们是互斥事件， 又因为它们的其实不
是 必定事件，所以它们不是对峙事件，同理能够判断：
（ 2）中的 2 个事件不是互斥事件，也不
是对峙事件。

（ 3）中的 2 个事件既是互斥事件也是对峙事件。

2．解：“出现奇数点” 的概率是事件 A ，“出现 2 点”的概率是事件 B ，“出现奇数点或 2 点” 的概率之和为 P （C ） =P （ A ） +P （ B ） =
1
+
1 = 2
2
6 3
3．解：（ 1）该射手射中 10 环与射中 9 环的概率是射中 10 环的概率与射中 9 环的概率的和，
即为 0.21+0.23=0.44 。

（ 2）射中许多于 7 环的概率恰为射中 10 环、9 环、8 环、7 环的概率
的和，即为 0.21+0.23+0.25+0.28=0.97 ，而射中少于 7 环的事件与射中许多于
7 环的事件为
对峙事件，所以射中少于 7 环的概率为 1－。

4．解：从盒子中随意拿出 2 粒恰巧是同一色的概率恰为取
2 粒白子的概率与
2 粒黑子的概
率的和，即为
1
+ 12 =17
7
35 35
3.2 古典概型
2、基本观点：
（1）正确理解古典概型的两大特色： a.试验中所有可能出现的基本领件只有 有限个 ；b.每个基本领件出现的 可能性相等 ；
（2）古典概型的概率计算公式： P （A ） =
A 包含的基本领件个数
．
总的基本领件个数
3.小结： 利用古典概型的计算公式时应注意两点： （1）所有的基本领件一定是互斥的；
（2） m 为事件 A 所包含的基本领件数，求 m 值时，要做到不重不漏。

4、小结：本节主要研究了古典概型的概率求法，解题时要注意两点：
（ 1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。

（ 2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本领件数；
A 包含的基本领件数 ②求失事件
A 所包含的基本领件数，而后利用公式 P （ A ） =
总的基本领件个数
（ 3）随机数目拥有宽泛的应用，能够帮助我们安排和模拟一些试验，这样能够取代我们自己做大批重复试验， 比方此刻好多城市的重要考试采纳产生随机数的方法把考生疏派到各
个考场中。

（ 3）在利用古典概型解题是，重点是要求 2 个值
(1) 试验所产生的所有结果的个数。

(即基本领件的总数 )
(2)事件 A 中所包含的基本领件的个数
（ 4）在求上述 2 个值时，有 2 种办理方法
(1)利用列举方法，把试验的所有结果一一都写出来，再
从中找失事件 A 所包含的结果的个数（课本中的方法）
(2)利用摆列和组合以及分步与分类的原理，进行计算
3.3 几何概型
2、基本观点：（1）几何概率模型：假如每个事件发生的概率只与构成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件 A的地区长度（面积或体积）
P（A ）=；
试验的所有结果所构成的地区长度（面积或体积）
（3）几何概型的特色：1）试验中所有可能出现的结果（基本领件）有无穷多个；2）每个基本领件出现的可能性相等．。