重庆市江津区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析

重庆市江津区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14
C ．28
D ．84
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】
56104a a a +=+Q ，
111111465a d a d a d ∴+-=-+-
解得114a =．
121211121()
21842
a a S a +∴=
==．
故选：D 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
2．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r
的最大值是（ ）
A B ．1
C D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r
，计算得到答案. 【详解】
如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，12⎛- ⎝⎭B ，1,2C ⎛- ⎝⎭
，设()cos ,sin P θθ，
则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r
222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.
当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .
【点睛】
本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 3．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】
Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，
00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.
故选：C . 【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
4．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5
C ．4
D ．3
【答案】C 【解析】
【分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
5．已知函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩
，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围
是（ ） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞
C ．[)0,1
D ．(]1,0-
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1
ln ,1x f x x x <⎧=⎨
≥⎩
和
()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当1x ≥时，()'
'1
ln ,()(1)1f x x f x f x
=⇒=
⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .
在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1
x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：
利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
6． 下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A ．2kπ＋45°(k ∈Z)
B ．k·360°＋π(k ∈Z)
C ．k·360°－315°(k ∈Z)
D ．kπ＋
(k ∈Z)
【答案】C 【解析】 【分析】
利用终边相同的角的公式判断即得正确答案. 【详解】 与
的终边相同的角可以写成2kπ＋
(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.
故答案为C 【点睛】
（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.
7．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）
A ．1a >，1c >
B ．1a >，01c <<
C ．01a <<，1c >
D ．01a <<，01c <<
【答案】D 【解析】 【分析】
根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】
从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】
本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
8．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为1
3
，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．
23
π B ．2π
C ．4π
D ．6π
【答案】D 【解析】 【分析】
取AC 中点N ，由题意得BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，过点B 作BO DN ⊥于O ，易得点O 为ADC V 的中心，则三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ，列出方程
22
2
262333r r ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
即可得解. 【详解】
如图，由题意易知ABC V 与ADC V 均为正三角形，取AC 中点N ，连接BN ，DN ， 则BN AC ⊥，DN AC ⊥，∴BND ∠即为二面角B AC D --的平面角，
过点B 作BO DN ⊥于O ，则BO ⊥平面ACD ， 由3BN ND ==
，1cos 3BND ∠=
可得3cos ON BN BND =⋅∠=，23OD =，2
326
33OB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴1
3
ON ND =即点O 为ADC V 的中心，
∴三棱锥A BCD -的外接球球心在直线BO 上，设球心为1O ，半径为r ， ∴11BO DO r ==，126OO r =-,
∴22
2262333r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得6r =， ∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为23
4462
S r πππ==⨯
=. 故选：D.
【点睛】
本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.
9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =- D ．43n n S a =-
【答案】C 【解析】 【分析】
在等比数列中，由11n n a a S q
q
-⋅=-即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112
n n
n n a a q a a q S -⋅-===---
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 10．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-r r
，则3m =是//a b r r
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
向量1a m =r （，），32b m =-r
（，）
，//a b r r ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可． 【详解】
解：向量1a m =r （，）
，32b m =-（,）r
， //a b r r
，则32m
m =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，
所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 11．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（ ）
A ．1i -
B ．1i +
C ．
22
- D ．
22
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数模与除法运算即可得到结果. 【详解】
解: )()())1111111222
i i i z i
i i i ---=
=
===-+++-， 故选：C
【点睛】
本题考查复数除法运算，考查复数的模，考查计算能力，属于基础题. 12．若集合{}
10A x x =-≤≤，01x
B x x ⎧
⎫=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B =U （ ）
A ．[)1,1-
B ．(]1,1-
C ．()1,1-
D ．[]1,1-
【答案】A 【解析】 【分析】
用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【详解】 解：由集合01x
B x
x ⎧
⎫=<⎨⎬-⎩⎭
，解得{|01}B x x =<<，
则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ． 【点睛】
本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24
m n
+的最小值是______.
【答案】3+ 【解析】 【分析】
求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】
圆C ：2
2
2210x y x y +---=的标准方程为22
(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，
∴
24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m n n m = ，即
1),2(2m n ==-时等号成立，
故答案为：3+ 【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．
14．若向量()
()2
21a x b x ==r r ，
，，满足3a b ⋅<r r ，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】
根据题意计算223a b x x ⋅=+<r r
，解得答案. 【详解】
()
()2
21a x b x ==r r ，，，，故223a b x x ⋅=+<r r ，解得31x -<<.
故答案为：()3,1-. 【点睛】
本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.
15．若函数32,0()log ,0
x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则411[(log )]33f f 的值为______.
【答案】1
2
- 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的解析式求出41(log )3
f 的值，进而计算可得答案． 【详解】
根据题意，函数3
2,0,
()log ,0.x x f x x x -⎧=⎨>⎩…，
则4421
(log )(log 3)(log 3
f f f =-=-=
则43111[
(log )](log 33332
f f f ===-； 故答案为：1
2
-. 【点睛】
本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．
16．已知()11
21011012101112x a a x a x a x a x +=+++++L ，则12101121011a a a a -+-+=L _____. 【答案】22
【解析】 【分析】
对原方程两边求导，然后令1x =-求得表达式的值. 【详解】
对等式112012(12)x a a x a x +=++1011
1011a x a x +++L 两边求导，得
101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++L ，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=L .
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知F 是抛物线C ：22y px =(0)p >的焦点，点A 在C 上，A 到y 轴的距离比||AF 小1. （1）求C 的方程；
（2）设直线AF 与C 交于另一点B ，M 为AB 的中点，点D 在x 轴上，||||DA DB =.若||DM =，求
直线AF 的斜率.
【答案】（1）2
4y x =（2） 【解析】 【分析】
（1）由抛物线定义可知
12
p
=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24y x =； （2）设直线AF ：(1)y k x =-，联立2
4y x =，利用韦达定理算出AB 的中点M 22
22,k k k ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭，又||||DA DB =，所以直线DM 的方程为22212k y x k k k ⎛⎫
+-=-- ⎪⎝⎭
，
求出223,0D k ⎛
⎫
+ ⎪⎝⎭
，利用||DM =. 【详解】
（1）设C 的准线为l ，过A 作AH l ⊥于H ，则由抛物线定义，得||||AF AH =， 因为A 到F 的距离比到y 轴的距离大1，所以12
p
=，解得2p =， 所以C 的方程为2
4y x =
（2）由题意，设直线AF 方程为(1)y k x =-， 由2
(1),4,
y k x y x =-⎧⎨
=⎩消去y ，得()2222
240k x k x k -++=，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122
24
k x x k
++=， 所以()121242y y k x x k k
+=+-=
， 又因为M 为AB 的中点，点M 的坐标为22
22,k k
k ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭， 直线DM 的方程为22212k y x k k k ⎛⎫
+-=-- ⎪⎝⎭
，
令0y =，得2
23x k =+
，点D 的坐标为223,0k ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
， 所以2
2224246DM k k ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭
，
解得22k =，所以直线AF 的斜率为2±. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解. 18．已知三点,,P Q A 在抛物线2:4x y Γ=上.
（Ⅰ）当点A 的坐标为(2,1)时，若直线PQ 过点(2,4)T -，求此时直线AP 与直线AQ 的斜率之积； （Ⅱ）当AP AQ ⊥，且||||AP AQ =时，求APQ V 面积的最小值. 【答案】（Ⅰ）3
4
-；（Ⅱ）16. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设出直线PQ 的方程并代入抛物线方程，利用韦达定理以及斜率公式，变形可得；
（Ⅱ）利用AP AQ ⊥，||||AP AQ =，AP 的斜率(0)k k >，求得A 的坐标，||AP ，再用基本不等式求
得||AP 的最小值，从而可得三角形APQ 的面积的最小值． 【详解】
解：（Ⅰ）设直线PQ 的方程为(2)4y k x =++.
联立方程组2(2)44y k x x y
=++⎧⎨=⎩，得248160x kx k ---=，
21632640k k ∆=++>，故124x x k +=，12816x x k =--.
所以
22
121212121211
112244222244
AP AQ
x x y y x x k k x x x x ----++⋅=⋅=⋅=⋅---- 12122()43
164
x x x x +++=
=-；
（Ⅱ）不妨设APQ V 的三个顶点中的两个顶点,A Q 在y 轴右侧（包括y 轴）， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，33(,)A x y ，AP 的斜率为(0)k k >，
又AP AQ ⊥，则2231314()x x k x x -=-，22
32324
()x x x x k
-=-
- ① 因为||||AP AQ =，所以3213()x x k x x -=-②
由① ②得，332(1)
(1)
k x k k -=+，（且1k ³）
从而2131||)41
k AP x x k k +=-=⋅⋅
+24k k ≥⋅= 当且仅当1k =时取“=”号，从而21
||162
APQ S AP ∆=≥， 所以APQ V 面积的最小值为16. 【点睛】
本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
19．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：
12222b b ++…1()2
n n n b a n N *
+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．
由,可得2n c =． 由，得
，可得
．
所以．
可得． （Ⅱ）设，则
.
即
，
可得2n c =，且．
所以，可知．
所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前n 项和
．
考点：等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．
20．如图，已知抛物线E ：24y x =与圆M ：()2
223 x y r -+= （0r >）相交于A ，B ，C ，D 四个点，
（1）求r 的取值范围；
（2）设四边形ABCD 的面积为S ，当S 最大时，求直线AD 与直线BC 的交点P 的坐标. 【答案】（1）223r <<（2）点P 的坐标为1
(,0)3
- 【解析】 【分析】
()1将抛物线方程24y x =与圆方程()2223 x y r -+=联立,消去y 得到关于x 的一元二次方程, 抛物线
E 与圆M 有四个交点需满足关于x 的一元二次方程在()0,∞+上有两个不等的实数根,根据二次函数的有
关性质即可得到关于r 的不等式组,解不等式即可.
()2不妨设抛物线E 与圆M
的四个交点坐标为1(A x
，1(,B x -
，2(,C x -
，
2(D x ，据此可表示出直线AD 、BC 的方程,联立方程即可表示出点P 坐标,再根据等腰梯形的面
积公式可得四边形ABCD 的面积S 的表达式,
令t =
由t =()1知01t <<,对关于t 的面
积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形ABCD 的面积取得最大值时t 的值,进而求出点P 坐标. 【详解】
（1）联立抛物线与圆的方程()2222
4,
3,
y x x y r ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 消去y ，得22290x x r -+-=.
由题意可知22290x x r -+-=在()0,∞+上有两个不等的实数根.
所以()2
2
4490,90,
r r ⎧∆=-->⎪⎨->⎪⎩
解得3r <<，
所以r
的取值范围为()
r ∈.
（2）根据（1）可设方程22290x x r -+-=的两个根分别为1x ，2x （120x x <<），
则1(A x
，1(,B x -
，2(,C x -
，2(D x ，
且122x x +=，2
129x x r =-，
所以直线AD 、BC 的方程分别为
)112y x x -=
-，
)112
y x x +=
-,
联立方程可得,点P
的坐标为()
， 因为四边形ABCD 为等腰梯形, 所以()(
)(()212
111
22
S AB CD x x x
x =
+⋅-=-
==
，
令()0,1t =，则()()(
)()2
2
3
242244321f t S t t
t
t t ==+-=-+--，
所以()()
()()2
'3232132131f t t t t t =-+-=-+-，
因为01t <<,所以当103t <<
时,()0f t '>；当1
13
t <<时,()0f t '<， 所以函数()f t 在1(0,)3
上单调递增，在1
(,1)3上单调递减，
即当1
3
t =
时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，
因为t =-,点P 的坐标为()
,
所以当四边形ABCD 的面积S 取得最大值时,点P 的坐标为1(,0)3
-. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
21．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线:1l x =-上的动点，()1,0F 为定点，点Q 为PF 的中点，动
点M 满足0MQ PF ⋅=u u u u r u u u r
，且()MP OF R λλ=∈u u u r u u u r ，设点M 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两点，T 为曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线TA ，TB 分别交直线l 于D ，E 两点.问DFE ∠是否为定值？若是，求DFE ∠的值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）2
4y x =；（2）是定值，2
DFE π
∠=
.
【解析】 【分析】
（1）设出M 的坐标为(,)x y ，采用直接法求曲线C 的方程；
（2）设AB 的方程为1x ty =+，211(,)4y A y ，222(,)4
y B y ,2
0(,)4y T y ，求出AT 方程，联立直线l 方程得
D 点的坐标，同理可得
E 点的坐标，最后利用向量数量积算FD ⋅u u u r FE u u u
r 即可. 【详解】
（1）设动点M 的坐标为(,)x y ，由()MP OF R λλ=∈u u u r u u u r 知MP u u u r ∥OF uuu
r ，又P 在直线:1l x =-上，
所以P 点坐标为(1,)y -，又()1,0F ，点Q 为PF 的中点，所以(0,)2y Q ，(2,)PF y =-u u u r ，(,)2y
MQ x =--u u u u r ，
由0MQ PF ⋅=u u u u r u u u r 得2
202
y x -+=，即24y x =；
（2）
设直线AB 的方程为1x ty =+，代入2
4y x =得2
440y ty --=，设211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ，
则124y y t +=，124y y =-，设2
00(,)4
y T y ，则1022
1010444
AT y y k y y y y -==+-，
所以AT 的直线方程为2
0104()4
y y y x y y -=
-+即1010104y y y x y y y y =+++，令1x =-，则 10104y y y y y -=
+，所以D 点的坐标为1010
4(1,)y y y y --+，同理E 点的坐标为
20204
(1,)y y y y --+，于是FD =u u u r 1010
4(2,)y y y y --+， FE =u u u r 20204(2,)y y y y --+，所以FD ⋅u u u r 4FE =+u u u r 10104y y y y -⨯+20204y y y y -+2
1200122
1212004()164()y y y y y y y y y y y y ⋅-++=++++ 20020041616444y ty ty y --+=+-++22
00002
00
1616441616
044ty y y ty ty y -++--+==-++，从而FD ⊥u u u r FE u u u r ， 所以2
DFE π
∠=是定值.
【点睛】
本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.
22．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12
2AA AC CB AB ===
=
（1）证明：1BC P 平面1A CD ； （2）求二面角1D A C E --的余弦值. 【答案】 (1)证明见解析 (2) 33
【解析】 【分析】
（1）连接1AC 交1A C 于点F ，由三角形中位线定理得1//BC DF ，由此能证明1//BC 平面1A CD ． （2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，CB 的方向为y 轴正方向，1CC 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -．分别求出平面1A CD 的法向量和平面1A CE 的法向量，利用向量法能求出二面角1D A C E --的余弦值． 【详解】
证明：证明：连接1AC 交1A C 于点F ， 则F 为1AC 的中点．又D 是AB 的中点， 连接DF ，则1//BC DF ．
因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊂平面1A CD ， 所以1//BC 平面1A CD ． （2）由12
2AA AC CB AB ===
=2AB =，即222AC BC AB +=
所以AC BC ⊥
又因为111ABC A B C -直棱柱，所以以点C 为坐标原点，分别以直线1CA CB CC 、、为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则()(
)
1
2220,0,02,0,2),,00,2,222C A D E ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
、、、， ()
12222,0,2,,,0,0,2,222CA CD CE ⎛⎫⎛⎫
=
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r 设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n CD ⋅=r u u u r
且10n CA ⋅=r u u u r ，可解得y x z =-=，令1x =，得平
面1A CD 的一个法向量为()1,1,1n =--r
，
同理可得平面1A CE 的一个法向量为()2,1,2m =-u r
，
则3
cos ,3
n m <>=r u r 所以二面角1D A C E --的余弦值为
33
. 【点睛】
本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
23．在直角坐标系x0y 中，把曲线1:C 2cos (2sin x y α
α=⎧⎨
=⎩
α为参数)3标不变，得到曲线2.C 以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程
sin()4 2.4
π
ρθ-=
（1）写出2C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；
（2）设点M 在2C 上，点N 在3C 上，求|MN|的最小值以及此时M 的直角坐标.
【答案】（1）2C 的普通方程为22
1124
x y +=，3C 的直角坐标方程为80-+=x y . （2）最小值为22
此时(3,1)M - 【解析】 【分析】
（1）由2C 的参数方程消去α求得2C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得3C 的直角坐标方程.
（2）设出M 点的坐标，利用点到直线的距离公式求得MN 最小值的表达式，结合三角函数的指数求得
MN 的最小值以及此时M 点的坐标.
【详解】
（1）由题意知2C 的参数方程为2sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）
所以2C 的普通方程为22
1124
x y +=.由sin()4πρθ-=得cos sin 80ρθρθ-+=，所以3C 的直角坐
标方程为80-+=x y .
（2）由题意，可设点M 的直角坐标为,2sin )αα， 因为3C 是直线，所以||MN 的最小值即为M 到3C 的距离()d α，
因为()cos()2|6d π
αα=
=++．
当且仅当52()6
k k π
απ=+
∈Z 时，()d α取得最小值为M 的直角坐标为55
,2sin (66
)ππ
即(3,1)-．
【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用曲线参数方程求解点到直线距离的最小值问题，属于中档题.。