高考数学“一本”培养专题突破 限时集训7 空间线、面的位置关系 文-人教版高三全册数学试题

专题限时集训(七) 空间线、面的位置关系 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是( )
A ．若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β
B ．若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β
C ．若l ∥α，α∥β，则l ⊂β
D ．若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β
B [若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β或l ∥β，故A 错误；
若l ⊥α，α∥β，由平面平行的性质，可得l ⊥β，故B 正确；
若l ∥α，α∥β，则l ⊂β或l ∥β，故C 错误；
若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β或l ∥β或l ⊂β，故D 错误；故选B.]
2．(2018·某某模拟)正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BD 的中点，则异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为( )
A.12
B.23
C.16
D.66
C [取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，(图略)易知EG ∥AF ，所以异面直线AF ，CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．
不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝
32，CG ＝132，由余弦定理得cos∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE ＝34＋3－1342×32
×3＝16，∴异面直线AF ，CE 所成角的余弦值为16.] 3．如图2­4­28，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A ­BCD .则在三棱锥A ­BCD 中，下列命题正确的是( )
图2­4­28
A ．平面ABD ⊥平面ABC
B ．平面AD
C ⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
D[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.]
图2­4­29
4．(2018·某某模拟)如图2­4­29，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
A[因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．]
5．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F 不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是( )
A．相交且垂直B．共面
C．平行D．异面且垂直
D[连接A1B，则AB1⊥平面A1BCD1，又EF⊂平面A1BCD1，则AB1⊥EF，且AB1，EF是异面直线，故选D.]
6．如图2­4­30是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论中错误的是( )
图2­4­30
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．直线BE，CF相交于一点
C．EF∥平面BGD
D．PA∥平面BGD
C[把图形还原为一个四棱锥，如图所示，
根据三角形中位线的性质，可得EH∥AB，GH∥BC，
∴平面EFGH∥平面ABCD，A正确；
在△PAD中，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD，
又∵AD∥BC，∴EF∥BC，因此四边形EFCB是梯形，故直线BE与直线CF相交于一点，所以B是正确的；连接AC，设AC中点为M，则M也是BD的中点，连接MG，因为MG∥PA，且直线MG在平面BDG上，所以有PA∥平面BDG，所以D是正确的；∵EF∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，再结合图形可得：直线EF与平面BDG不平行，因此C 是错误的，故选C.]
7．如图2­4­31所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )
图2­4­31
A．8 B．9 C．10 D．11
A[如图，CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴m＝4，∵EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，且EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴n＝4，故m＋n＝8，选A.
] 8．(2018·某某模拟)如图2­4­32，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC 折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC 的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )
图2­4­32
A．2 B．3 C．4 D．5
B[设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，
∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.
∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，
∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，
∴平面BCD1⊥平面ABD1，
∵BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，
∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，
∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BCD1.
∴共有3对平面互相垂直，故选B.]
二、填空题
9．(2018·某某模拟)已知正六棱锥S­ABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC 与DE所成角的大小为________．
π4
[设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接SO ，CO ，BO ，则由正六边形的性质知OC ∥DE ，SO ⊥平面ABCDEF ，所以∠SCO 为异面直线SC 与DE 所成角．又易知△BOC 为等边三角形，所
以SO ＝BC ＝CO ＝1，所以∠SCO ＝π4
.] 10．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，有下列命题： ①若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行；
②若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n ；
③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；
④若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β.
其中真命题有________(填写所有正确命题的编号)．
② [①若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行或相交或异面，故①错误；
②若n ⊥α，则n 垂直于α内的所有直线，又m ∥α，则m ⊥n ，故②正确；
③若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β＝l ，在α内作直线a ∥l ，则a ∥β，故③错误；
④若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α或m ∥β或m ⊂α或m ⊂β，故④错误．
所以正确命题的序号是②.]
11．如图2­4­33所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：
图2­4­33
①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中正确的结论是________(填写所有正确命题的序号)．
①③④ [MN ⊥平面A 1DC ，从而MN ⊥A 1C ，故①正确；
A1C与平面MNPQ相交，故②错误；A1C与PM都在平面ACC1A1内，且不平行，因此A1C与PM相交，故③正确；点P，M，C都在平面ACC1A1内，点N不在平面ACC1A1内，故NC与PM 异面，因此④正确．]
12．如图2­4­34，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
图2­4­34
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．
①②③[∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴CB⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.
又∵F是点A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
故①③正确．又∵E为A在PB上的射影，∴AE⊥PB，
∴PB⊥平面AEF，故②正确．
而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.
故④错．]
三、解答题
13．(2018·某某模拟)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为3，E，F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝3FB＝3，点M是线段AC上的动点，如图2­4­35所示．
图2­4­35
(1)试确定点M 的位置，使BM ∥平面AEF ，并说明理由；
(2)若M 为满足(1)中条件的点，求三棱锥M ­AEF 的体积．
[解] (1)当点M 是线段AC 靠近点A 的三等分点时，BM ∥平面AEF .
事实上，在AE 上取点N ，使AN ＝13AE ，于是AN AE ＝AM AC ＝13
， 所以MN ∥EC 且MN ＝13
EC . 由题意知，BF ∥EC 且BF ＝13
EC ，所以MN ∥BF 且MN ＝BF ， 所以四边形BMNF 为平行四边形，所以BM ∥FN .
又FN ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，所以BM ∥平面AEF .
(2)连接EM ，FM .因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1是正三棱柱，
所以BB 1∥平面ACC 1A 1.
所以V 三棱锥M ­AEF ＝V 三棱锥F ­AEM ＝V 三棱锥B ­AEM ，
取AC 的中点O,连接BO ，则BO ⊥AC .
因为三棱柱ABC ­A 1B 1C 1是正三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC .
又BO ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BO .
因为BO ⊥AC ，BO ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，
所以BO ⊥平面ACC 1A 1.
所以BO 为三棱锥B ­AEM 的高．
又在正三角形ABC 中，BO ＝332
. ∴V 三棱锥M ­AEF ＝V 三棱锥B ­AEM ＝13·S △AEM ·BO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×3×332
＝334. 14．如图2­4­36，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝120°，四边形EBDF 是矩形，BE ＝1，平面EBDF ⊥平面ABCD .
图2­4­36
(1)求证：AE⊥CF；
(2)求直线CF与平面EBDF所成角的正弦值．
[解](1)证明：连接AC，在△ABC中，
AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60°，
由余弦定理易得AC＝3，所以AB2＋AC2＝BC2，
则AB⊥AC.
又AB∥CD，所以AC⊥CD，
同理在△BCD中，由余弦定理易得BD＝7，
又四边形EBDF是矩形，则BE⊥BD，
又平面EBDF⊥平面ABCD，
且平面EBDF∩平面ABCD＝BD，
所以BE⊥平面ABCD，
又BC⊂平面ABCD，所以BE⊥BC，
同理FD⊥DC，AC⊥DF，
由勾股定理易求得EC＝5，CF＝2，
又EF＝BD＝7，显然EF2＝CE2＋CF2，故CE⊥CF.
由AC⊥CD，AC⊥DF，CD∩DF＝D，
所以AC⊥平面CDF，所以AC⊥CF，又AC∩CE＝C，
所以CF⊥平面ACE，所以CF⊥AE.
(2)过点C作BD的垂线，垂足为H，连接FH，显然CH⊥平面EBDF，则FH为CF在平面EBDF内的射影，
于是∠CFH为直线CF与平面EBDF所成角的平面角，由S△BCD＝1
2
·|CH|·|BD|＝
1 2·|BC|·|CD|·sin 120°，解得|CH|＝
21
7
，sin∠CFH＝
|CH|
|CF|
＝
21
7
2
＝
42
14
.。