昭苏县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昭苏县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）
A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？
2．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任
意一点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
3．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）
A．[0，+∞）B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）
4．下面各组函数中为相同函数的是（）
A．f（x）=，g（x）=x﹣1 B．f（x）=，g（x）=
C．f（x）=ln e x与g（x）=e lnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=
5．关于函数
2
()ln
f x x
x
=+，下列说法错误的是（）
（A ）2x =是()f x 的极小值点
（ B ） 函数()y f x x =-有且只有1个零点 （C ）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立
（D ）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>
6． i 是虚数单位，计算i+i 2+i 3=（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．﹣i
D ．i
7． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
8． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e
∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=
成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1[,]e e
B.2(,]e e
C.2(,)e +∞
D.21(,)e e e
+
【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力． 9． 给出下列两个结论：
①若命题p ：∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≥0；
②命题“若m ＞0，则方程x 2+x ﹣m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x ﹣m=0没有实数根，则m ≤0”；
则判断正确的是（ ） A ．①对②错 B ．①错②对 C ．①②都对
D ．①②都错
10．数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知向量
，，其中
．则“
”是“
”成立的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
12．在△ABC 中，，则这个三角形一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角
D ．等腰或直角三角形
二、填空题
13．下列命题：
①终边在y 轴上的角的集合是{a|a=
，k ∈Z}；
②在同一坐标系中，函数y=sinx 的图象和函数y=x 的图象有三个公共点；
③把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移
个单位长度得到y=3sin2x 的图象；
④函数y=sin （x ﹣
）在[0，π]上是减函数
其中真命题的序号是 ．
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
15．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,
则其
表面积为__________2cm .
16．设
,则
17．在ABC ∆中，90C ∠=，2BC =，M 为BC 的中点，1
sin 3
BAM ∠=，则AC 的长为_________. 18．用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知点()()(),0,0,4,4A a B b a b >>,直线AB 与圆
22:4430M x y x y +--+=相交于,C D 两点, 且2CD =,求.
（1）()()44a b --的值； （2）线段AB 中点P 的轨迹方程； （3）ADP ∆的面积的最小值.
20．设A （x 0，y 0）（x 0，y 0≠0）是椭圆T ：
+y 2=1（m ＞0）上一点，它关于y 轴、原点、x 轴的对称点依
次为B ，C ，D ．E 是椭圆T 上不同于A 的另外一点，且AE ⊥AC ，如图所示．
（Ⅰ） 若点A 横坐标为
，且BD ∥AE ，求m 的值；
（Ⅱ）求证：直线BD 与CE 的交点Q 总在椭圆
+y 2=（
）2
上．
21．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
22．已知α、β、是三个平面，且c αβ=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、
、三线共点．
23．已知数列{a n }和{b n }满足a 1•a 2•a 3…a n =2（n ∈N *
），若{a n }为等比数列，且a 1=2，b 3=3+b 2．
（1）求a n 和b n ；
（2）设c n =（n ∈N *
），记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S n ．
24．本小题满分12分 设函数()ln x f x e a x =- Ⅰ讨论()f x 的导函数'()f x 零点个数; Ⅱ证明:当0a >时,()2ln f x a a a ≥-
昭苏县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2
n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4
n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7
n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，
故选B．
【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，
所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，
设点P（x0，y0），
则有，解得，
因为，，
所以=x0（x0+2）+=，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，
所以当时，取得最小值=，
故的取值范围是，
故选B．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．
3．【答案】D
【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2+1=0，
易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
4．【答案】D
【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；
对于B ：f （x ）的定义域是：{x|x ≥1或x ≤﹣1}，g （x ）的定义域是{x}x ≥1}，定义域不同，不是相同函数；
对于C ：f （x ）的定义域是R ，g （x ）的定义域是{x|x ＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D ：f （x ）=1，g （x ）=1，定义域都是{x|x ≠1}，是相同函数；
故选：D ．
【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 5． 【答案】 C
【解析】
22212
'()x f x x x x
-=-
+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217()24x x
-+
=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e =+->，2222
()20g e e e
=+-<，
所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x x
h x x x x
==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k >时，2k x <，即()
f x k x
<，
()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草
图
可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +>
6． 【答案】A
【解析】解：由复数性质知：i2=﹣1
故i+i2+i3=i+（﹣1）+（﹣i）=﹣1
故选A
【点评】本题考查复数幂的运算，是基础题．
7．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
8．【答案】B
【解析】
9．【答案】C
【解析】解：①命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，￢p是全称命题，所以①正确．
②根据逆否命题的定义可知②正确．
故选C．
【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念．
10．【答案】A
【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，
得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），
整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3
即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．
化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．
∴q===1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．
11．【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若，则成立；
反过来，若，则或
所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为：A
12．【答案】A
【解析】解：∵，
又∵cosC=，
∴=，整理可得：b2=c2，
∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】③．
【解析】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}，故①错误；②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0，
∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，
∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．
∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；
③、由题意得，y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确；
④、由y=sin（x﹣）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．
故答案为：③．
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．
14．【答案】6．
【解析】解：根据题意可知：f（x）﹣2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，
∴f（x）﹣2x=a，即f（x）=a+2x，
∴当x=a时，
又∵a+2a=6，∴a=2，
∴f（x）=2+2x，
∴f（x）+f（﹣x）=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f（x）+f（﹣x）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．【答案】20
【解析】
考16．
由柯西不等式可知
17．
【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.
18．【答案】 {（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2
，﹣≤y ≤1} ．
【解析】解：图中的阴影部分的点设为（x ，y ）则 {x ，y ）|﹣1≤x ≤0
，﹣≤y ≤0或0≤x ≤2，0≤y ≤1} ={（x ，y ）|xy ＞0且﹣1≤x ≤2
，﹣≤y ≤1}
故答案为：{（x ，y ）|xy ＞0，且﹣1≤x ≤2
，﹣≤y ≤1}．
三、解答题
19．【答案】（1）()()448a b --=；（2）()()()2222,2x y x y --=>>；（3
）6． 【解析】
试题分析：（1）利用2CD =，得圆心到直线的距离2d =
2=，再进行化简，即可求
解()()44a b --的值；（2）设点P 的坐标为(),x y ，则2
2
a x
b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入①，化简即可求得线段AB 中点P 的轨
迹方程；（3）将面积表示为()()()11
4482446224
ADP b S a a b a b a b ∆=
=+-=+-=-+-+，再利用基本不等式，即可求得ADP ∆的面积的最小值.
（3）()()()11
448244666224
ADP b S a a b a b a b ∆=
=+-=+-=-+-+≥=,
∴当4a b ==+, 面积最小, 最小值为6.
考点：直线与圆的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为()()446ADP S a b ∆=-+-+，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题. 20．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD ∥AE ，AE ⊥AC ，
∴BD ⊥AC ，可知A （），
故
，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B （﹣x 0，y 0），C （﹣x 0，﹣y 0），D （x 0，﹣y 0），四边形ABCD 为矩形， 设E （x 1，y 1），由于A ，E 均在椭圆T 上，则
，
由②﹣①得：（x 1+x 0）（x 1﹣x 0）+（m+1）（y 1+y 0）（y 1﹣y 0）=0，
显然x 1≠x 0，从而
=，
∵AE ⊥AC ，∴k AE •k AC =﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）13
. 【解析】
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）136V PA AB AD AB =
=，由V =
，可得32AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
13
PA AB AH PB ==，所以A 到平面PBC 的距离为
13
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 22．【答案】证明见解析． 【解析】
考点：平面的基本性质与推论．
23．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵数列{a n}和{b n}满足a1•a2•a3…a n=2（n∈N*），a1=2，
∴，，，
∴b1=1，=2q＞0，=2q2，
又b3=3+b2．∴23=2q2，解得q=2．
∴a n=2n．
∴=a1•a2•a3…a n=2×22×…×2n=，
∴．
（2）c n===﹣
=，
∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣
+…+
=﹣2
=﹣2+
=﹣﹣1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推式的应用、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】：Ⅰ'()x
a
f x e x
=-
，因为定义域为(0,)+∞， '()0x a f x e x
=⇒=
有解 即x
xe a =有解. 令()x h x xe =，'()(1)x h x e x =+， 当0,'()0,(0)0()0x h x h h x >>=∴> 所以，当0a ≤时，'()0,f x >无零点； 当0a >时，有唯一零点. Ⅱ由Ⅰ可知，当0a >时，设'()f x 在(0,)+∞上唯一零点为0x ， 当0(,),'()0x x f x ∈+∞>，()f x 在0(,)x +∞为增函数；
当0(0,)x x ∈，'()0,f x <()f x 在0(0,)x 为减函数.
0000
x x a
e e x a x =
∴= 000000000
()ln ln (ln )ln 2ln x x a a a a
f x e a x a a a x ax a a a a a x e x x ∴=-=-=--=+-≥-。