【数学】广东省揭阳一中2013--2014高一下学期学业水平测试

揭阳一中2013——2014学年度第二学期期中考试高一数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求，请将正确的答案填在答题卡上。

） 1.2400
化成弧度制是（ ） A
3π B 32π C 3
4π
D 35π
2.集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A 5个
B 6个
C 7个
D 。

8
3. 函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（
2π，2
3π
）内的图象是( )
4.为了得到函数y ＝sin(3x ＋
6
π
)的图像，只需把函数y ＝sin3x 的图像 ( ) A. 向左平移6
π B. 向左平移18π
C. 向右平移6
π D. 向右平移18π
5.若角βα,满足2
2
π
βαπ
<
<<-
,则βα-的取值范围是 ( )
A )0,(π-
B ),(ππ-
C )2
,23(π
π-
D ),0(π 6. 设sin α=53
-
,cos α=5
4，那么下列的点在角α的终边上的是（ ）
A
B
C
D
-
A. (－3,4)
B. (－4,3)
C. (4,－3)
D. (3,－4) 7. 下列函数中，以为π最小正周期的偶函数，且在（0，
2
π
）内递增的是（ ） A y=sin|x| B y=|sinx| C y=|cosx| D y=cos|x| 8.已知2tan =α，则
=-+α
αα
αcos 2sin 3cos 2sin 3（ ）
A ．2
B ．1
C ．4
D ． 4-
9.若集合则a 的取值范围是
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10.以下四个命题中，正确的有几个（ ）① 直线a ，b 与平面a
所成角相等，则a ∥b ；② 两直线a ∥b ，直线a ∥平面a ，则必有b ∥平面a ；③ 一直线与平面的一斜线在平面a 内的射影垂直，则该直线必与斜线垂直；④ 两点A ，B 与平面a 的距离相等，则直线AB ∥平面a A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 二、填空题：（本大题共４小题，每小题5分，满分２０分．请将正确的答案填在答题卡上。

） 11函数
的单调减区间是
12.在半径为2的圆中，圆心角为所对的弧长是 。

13.已知函数内有零点，
内有零点，若m
为整数，则m 的值为 14．已知圆
，则两圆的外公切线段长等于
三、解答题：（本大题共６小题，共８０分，请将正确答案写在答题卡相应的位置上，作答时必须详细写出演算过程和逻辑推理过程。

） 15（12分）求过点P （)2
3,3--，且被圆C:2522=+y x 截得的弦长等于8的直线方程。

16.（12分） 集合A ＝｛x ｜x 2
－ax ＋a 2
－19＝0｝，B ＝｛x ｜x 2
－5x ＋6＝0｝，C ＝｛x ｜x 2
＋2x －8＝0｝．
（Ⅰ）若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；
（Ⅱ）若∅A ∩B ，A ∩C ＝∅，求a 的值．
17.（１４分）已知
（Ⅰ）化简；
（Ⅱ）若是第三象限角，且
的值；
（Ⅲ）求的值。

18.．（１４分）电流强度I 与时间t 的关系式 。

（Ⅰ）在一个
周期内
如图所示，试根据图象写出的解析式；（Ⅱ）为了使
中t 在任意一段
秒的时内I 能同时取最大值|A|和最小值－|A|，那么正
整数的最小值为多少？
19.（14分）如图，四棱锥S ABCD -中， AB ∥CD ,BC CD ⊥，
侧面SAB 为等边三角形. 2,1AB BC CD SD ====. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的正弦值。

20．（14分）已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足以下三个条件：
（1） 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；（2）(1)1f =；（3） 若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称()f x 为“友谊函数”，请解答下列各题：
(Ⅰ)若已知()f x 为“友谊函数”，求(0)f 的值；
(Ⅱ)函数()21x g x =-在区间[0,1]上是否为“友谊函数”？并给出理由.
(Ⅲ)已知()f x 为“友谊函数”，假定存在0[0,1]x ∈，使得0()[0,1]f x ∈且00[()]f f x x =， 求证：00()f x x =.
揭阳一中2013—2014学年度第二学期期中考试高一数学试题参考答案 一 选择题：CCDBA CBADA
二 填空题：11 )32,6(πππ
π+
+
k k 12 7
2π 13 4 14 13
三解答题：本大题共６小题，共８０分，请将正确答案写在答题卡相应的位置上，作答时必须详细写出演算过程和逻辑推理过程。

15（12分）解：若直线的斜率不存在即3
-=x 时，―――――――――――――――――――１分 由25)3(22=+-y 解得44
21-==y y ，则弦长821=-y y 符合题
意。

―――――――――― ３分
若直线的斜率存在时，设直线的方程：)3(2
3
+=+
x k y ，即02
3
3=-
+-k y kx ――――――――５分 由题意可知弦心距为
3)2
8
(522=-――――――――――――――――――――――――――７分
所以
31
2
33002
=+-
+-⨯k k k 解得
4
3
-
=k ――――――――――――――――――――――１０分 直线方程：
01543=++y x ―――――――――――――――――――――――――――――１１分 综上所述：直线方程是 03=+x 或
01543=++y x ――――――――――――――――――――１２分
16.（12分） 解： 由已知，得B ＝｛2，3｝，C ＝｛2，－4｝.―――---――――――――――２分
(Ⅰ)∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B ―――――――――――――――――――――――――----――― ４分
∴2，3是一元二次方程x 2－ax ＋a 2
－19＝0的两个根，
由01933019222222=-+-=-+-a a a a 解得a ＝5.――――――――――――――
------―――６分
(Ⅱ)由A ∩ B ∅A ⇒∩≠
B ，又A ∩
C ＝∅，得3∈A ，2∉A ，－4∉A ，―――
----――――７分
由3∈A ，得32－3a ＋a 2
－19＝0，解得a ＝5或a =－2---――――――９分
当a =5时，A ＝｛x ｜x 2
－5x ＋6＝0｝＝｛2，3｝，与2∉A 矛盾；――――――----――――――１０分
当a =－2时，A ＝｛x ｜x 2
＋2x －15＝0｝＝｛3，－5｝，符合题意.――――――---------――――１１分
∴a ＝－2.――――――――――――――――――――――――――-------――――――――－１２分
17.（１４分）解：（Ⅰ）
)
sin()
cos()sin()2cos()
23sin(
cos sin )(παπαπααπαπ
ααα------⋅
--⋅⋅=
f αααα
ααcos )
cos (sin cos cos sin -=-⋅--⋅
⋅=―――――――――――――――――――――――
―――――５分 （Ⅱ）απαsin )2
3cos(51-=-=
且α时第三象限的角 5
6
2s i n 1c o s 2-
=--=∴
αα―――――７分 所以5
6
2)(=
αf ―――――――――――――――――――－―――――――――――――９分 （Ⅲ）因为0)3
6()32(
)3
(=+++π
ππ
f f f 且α
απcos )2cos(=+k ――――――――――――――――１１分
所以
1)3
3()32()3()32013()32()3(=++=+++π
πππππf f f f f f ――――――――――――――――――１４分
18. ．（１４分）解：(Ⅰ)由图可知:300=A ,周期T=50
1
)3001(601=--―――――――――２分
ππ
ωω
π
10022==
⇒=∴T
T ―――――――――――――――――――――――――――――４分 当3
)3001(100,03001ππωϕϕω=-⋅-=-==+-
=t t t 即时―――――――――――――６分 故图象的解析式为:
)3
100sin(300π
π+
=t I ―――――――――――――――――――――――７分
(Ⅱ)要使t 在任意一段
100
1
秒能取得最大值和最小值,必须使得周期T 1001
<
――――――――――９分 即
3.628200100
1
2>⇒>⇒<
ωπωω
π
――――――――――――――――――――――１３分 由于ω为正整数,故ω的最小值为
629――――――――――――――――――――――――――１４分
19.（14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2。

连结SE ，则,SE AB SE ⊥---------------------------――――------------------------1分
又SD=1，故222
ED SE SD =+ 所以DSE ∠为直角。

-----------------------------------2分 由,,AB DE AB SE DE
SE E ⊥⊥=，得AB SDE ⊥平面
所以AB SD ⊥.--------------------------------------――------------------------――---4分
SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD SAB ⊥平面-------------------------――――--6分
（II ）由AB SDE ⊥平面知，ABCD SDE ⊥平面平面 作SF DE ⊥，垂足为F ，
则SF ABCD ⊥平面,SD SE SF DE ⨯=
=
分 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

且FG AB //，
所以AB 与平面SBC 所成的角等于FG 与平面SBC 所成的角。

---10分 连结SG ，则SG BC ⊥ 2
722=+=FG SF SG 又FG BC ⊥，G FG SG = ,
故,BC SFG SBC SFG ⊥⊥平面平面平面，
作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH SBC ⊥平面. 从而FG 与平面所成的角为FGS
∠---------------------―――――――――――――――――-----13分
因为
SF FG FH SG ⨯=
= 所以7
217
3sin =
==
∠FG
FH
FGS ----―――――――――――――-------14分
20．（14分）.解（Ⅰ）取120x x ==得(0)(0)(0)(0)0f f f f ≥+⇒≤， 又由(0)0f ≥， 得(0)0f =
----―――――――――――――――――――――――――――――――――――-３分 （Ⅱ）显然()21x g x =-在[0,1]上满足（1） ()0g x ≥；（2）(1)1g =.------------－----------５分
若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有1212()[()()]g x x g x g x +-+=
12122121[(21)(21)](21)(21)0x x x x x x +---+-=--≥
故()21x g x =-满足条件（1）、（2）、（3），----------------------------------------－-----７分
所以()21x g x =-为友谊函数.--------------------------------------------------－---------８分
(Ⅲ)由 （3）知任给21,[0,1]x x ∈其中21x x >，且有211x x +≤，不妨设
21 (0)x x x x =+∆∆>-－-９分
211111()()()()()()()()0f x f x f x x f x f x f x f x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥
所以：
21()()f x f x ≥.-------------------------------------------------------------―
―--１１分
下面证明00()f x x =：若00()f x x ≠，则有00()x f x <或00()x f x > 若00()x f x <，则000()[()]f x f f x x ≤=，这与00()x f x <矛盾； ------------――――――――12分 （i ）
(ii)若00()x f x >，则000
()[()]f x f f x x
≥=，这与00()x f x >矛盾；-------
－--－-13分
综上所述：00()f x x =。

-------------------------------------------------------――--14分
揭阳一中2013——2014学年度第二学期期中考试 高一数学试题答题卷
班级：姓名：座号：
一选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确的答案填在答题卡上。

）
二填空题：（本大题共４小题，每小题5分，满分２０分．请将正确的答案填在答题卡上。

）
11 12 13 14
三解答题：本大题共６小题，共８０分，请将正确答案写在答题卡相应的位置上，作答时必须详细写出演算过程和逻辑推理过程。

15
16
17
18
（请将19，20题答案写在背面）。