【专业资料】新版高中数学人教A版必修3习题：第三章概率 3.3.1 含解析

3.3.1几何概型
课时过关·能力提升
一、基础巩固
1.已知f(x)=x+1,x∈[-3,2],则满足f(x0)≤0,x0∈[-3,2]的x0取值的概率为()
A.1
5B.
2
5C.
3
5D.
4
5
f(x0)≤0,∴x0+1≤0,∴x0≤-1.
∵x0∈[-3,2],∴f(x0)≤0时,x0的取值范围为-3≤x0≤-1.
∴x0的取值概率为-1-(-3)
2-(-3)=
2
5.
2.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边长作正方形,这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()
A.4
9B.
1
3C.
4
27D.
1
4
,所有试验结果构成的区域长度为|AB|=12,又6<AM<9,则事件A(正方形面积介于
36cm2与81cm2之间)发生时对应的区域长度为9-6=3,则P(A)=3
12=
1
4.
3.如图,在矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于()
A.1
4B.
1
3C.
1
2D.
2
3
ABE的面积是矩形ABCD面积的一半,由几何概型,点Q取自△ABE内部的概率为1 2.
4.如图,A是圆O上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A',连接AA',它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为()
A.1
2B.
√3
2
C.1
3D.
1
4
,当AA'的长度等于半径长度时,∠AOA'=π
3,由圆的对称性及几何概型得P=
2π
3
2π=
1
3.
故选C.
5.一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随意地飞行,若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个面的距离不大于10,则就有可能撞到玻璃上而不安全,若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10,则飞行是安全的.假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置的可能性相同,那么蜜蜂飞行是安全的概率是()
A.1
8B.
1
16C.
1
27D.
3
8
30的正方体内部,V=303=27000,蜜蜂安全飞行的区域是棱长为30-10-10=10的正方体内部,V'=103=1000,
所以蜜蜂飞行是安全的概率是V'
V=
1
27.
6.《广告法》对插播广告的时间有一定的规定,某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论,
他任意时间打开电视机看该台节目,看不到广告的概率为9 10,
那么该台每小时约有分钟的广告.
×(1-9
10)=6(分钟).
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是.
=
V A
1-ABC
V ABCD-A
1B1C1D1
=
1
6.
8.如图,圆盘中扇形阴影部分的圆心角为60°,向圆盘内投镖,如果某人每次都能随机投入圆盘中,那么他投中阴影部分的概率为.
r ,投中阴影部分为事件A ,阴影部分面积为S'=60360πr 2=1
6
πr 2,故P (A )=16πr 2
πr 2
=16
.
9.在平面直角坐标系xOy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投的点落在E 中的概率是 .
P (x ,y )是区域D 内任意一点,则{|x |≤2,|y |≤2,即{-2≤x ≤2,
-2≤y ≤2,则区域D 是直线x=±2与y=±2围
成的正方形,
如图,区域E 是以原点为圆心,半径为1的圆面.设点P 落在区域E 中为事件A ,
则P (A )=S E S D =π×124×4=π
16
.
10.如图,在平面直角坐标系内,射线OT 落在60°角的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在∠xOT 内的概率.
M 为“射线OA 落在∠xOT 内”.
因为∠xOT=60°,所以P (M )=
60°360°=1
6
.
即射线OA 落在∠xOT 内的概率为16
.
二、能力提升
1.如图,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为96颗,以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为()
A.7.68
B.8.68
C.16.32
D.17.32
S=6×4=24,设椭圆的面积为S1,在矩形内随机地撒黄豆,黄豆落在椭圆内为事件A,则
P(A)=S1
S=
S1
24≈
300-96
300,解得S1≈16.32.
2.在区间[-π
2,
π
2]上随机取一个数r,则事件“0≤sin x≤1”发生的概率为()
A.1
4B.
1
3C.
1
2D.
2
3
0≤sin x≤1,则0≤x≤π2.
由于x∈[-π
2,
π
2],设“0≤sin x≤1”为事件A,
则P(A)=
π
2-0
π
2-(-
π
2)
=
π
2
π=
1
2.
3.四边形ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1的概率为()
A.π
4B.1−
π
4
C.π
8D.1−
π
8
,要使所取点到O的距离大于1,则该点应分布在阴影区域,P=
S
阴影
S
长方形
=
2-π2
2=1−
π
4.
4.已知正三棱锥S-ABC,在正三棱锥内任取一点P,使得V P-ABC<1
2VS−ABC的概率是()
A.3
4B.
7
8C.
1
2D.
1
4
S-ABC的高为h,三棱锥P-ABC的高为h'.
∵V P-ABC<1
2VS−ABC,∴ℎ′<
1
2ℎ.
取D,E,F分别为SA,SB,SC的中点,连接DE,EF,DF,则P落在三棱台DEF-ABC内,
∴V P-ABC<1
2VS−ABC的概率为
V DEF-ABC
V S-ABC=
V S-ABC-V S-DEF
V S-ABC
=
1
3
S△ABC·ℎ-1
3
×1
4
S△ABC×1
2
ℎ
1
3
S△ABC·
ℎ
=
7
8.
5.在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于
6
5的概率是.
x,y,则x+y<
6
5,由几何概型及图可知,所求概率为
1-1
2
×4
5
×4
5
1=
17
25.★6.在区间[-2,4]上随机地取一个数x
,若x满足|x|≤m的概率为
5
6,则m=.
|x|≤m,得-m≤x≤m,
当m≤2时,由题意
2m
6=
5
6
,
m=2.5,矛盾,舍去;
当2<m<4时,由题意得
m-(-2)
6=
5
6,解得m=3.
7.甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.
x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面当且仅当|x-y|≤15.
如图,在平面直角坐标系中,(x ,y )的所有可能结果是边长为60的正方形,而事件A “两人能够会面”
的可能结果由图中的阴影部分表示,由几何概型的概率公式得P (A )=S A S =602-45260
2=7
16.
★8.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.
(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实数根的概率;
(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数,b 是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实数根的概率.
A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实数根”.
当a ≥0,b ≥0时,方程x 2+2ax+b 2=0有实数根当且仅当a ≥b.
(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值. 事件A 中包含9个基本事件,事件A 发生的概率为P (A )=
912=3
4
. (2)如图,试验的全部结果所构成的区域为{(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}.
构成事件A 的区域为{(a ,b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2,a ≥b },如图阴影部分所示. 所以所求的概率为P (A )=3×2-12×22
3×2=23
.。