柯西黎曼方程极坐标推导

柯西黎曼方程极坐标推导
首先，考虑一个复函数f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ)，其中 r 和θ 分别是复平面上的极坐标半径和角度。

我们希望推导出 u 和 v 的偏导数与极坐标的关系。

根据复数的定义，一个复数 z 可以表示为z = r * exp(iθ)，其中exp(iθ) 是极坐标的指数形式。

因此，我们可以将复函数 f(z) 表示为
f(r,θ) = u(r,θ) + iv(r,θ) = f(r * exp(iθ))。

现在，我们需要计算f对于极坐标r和θ的偏导数。

首先，计算对于r的偏导数：
∂f/∂r = ∂(u + iv)/∂r
=∂u/∂r+i*∂v/∂r
接下来，计算对于θ的偏导数：
∂f/∂θ = ∂(u + iv)/∂θ
=∂u/∂θ+i*∂v/∂θ
要使f(z)是解析的，根据柯西黎曼方程，我们要求f对于r和θ的偏导数满足以下条件：
∂u/∂r=1/r*∂v/∂θ----(1)
∂v/∂r=-1/r*∂u/∂θ----(2)
现在，我们对上述方程进行计算和简化。

首先，计算∂u/∂r和∂v/∂θ：
∂u/∂r=(∂u/∂x)*(∂x/∂r)+(∂u/∂y)*(∂y/∂r)，其中x和y分别为极坐标(r,θ)下的实部和虚部。

= (∂u/∂x)*cosθ + (∂u/∂y)*sinθ
∂v/∂θ=(∂v/∂x)*(∂x/∂θ)+(∂v/∂y)*(∂y/∂θ)
= -r*(∂v/∂x)*sinθ + r*(∂v/∂y)*cosθ
然后，计算∂u/∂θ和∂v/∂r：
∂u/∂θ=(∂u/∂x)*(∂x/∂θ)+(∂u/∂y)*(∂y/∂θ)
= -r*(∂u/∂x)*sinθ + r*(∂u/∂y)*cosθ
∂v/∂r=(∂v/∂x)*(∂x/∂r)+(∂v/∂y)*(∂y/∂r)
= (∂v/∂x)*cosθ + (∂v/∂y)*sinθ
接下来，将上述结果代入方程(1)和(2)中，进行简化。

根据方程(1)：
1/r*(∂v/∂θ)=(∂u/∂r)/r
∂v/∂θ=∂u/∂r
根据方程(2)：
-1/r*(∂u/∂θ)=(∂v/∂r)/r
∂u/∂θ=-r*(∂v/∂r)
最后，我们得到了柯西黎曼方程的极坐标形式：
∂u/∂r=∂v/∂θ/r
∂v/∂r=-∂u/∂θ/r
这两个方程描述了复函数f在极坐标下的解析性质。