【新】辽宁省葫芦岛市第六中学2019届高三数学上学期9月练习卷 理

辽宁省葫芦岛市第六中学2019届高三数学上学期9月练习卷 理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{20}P x x x =|-≥，}{12Q x x =|<≤，则()R C P Q =（ ） A ．[0,1)
B ．(0,2]
C ．(1,2)
D ．[1,2]
2．已知
()2
1i =1i z
-+（i 为虚数单位）
，则复数z =（ ） A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
3．如表是我国某城市在2017年1月份至10月份个月最低温与最高温（C ︒）的数据一览表．
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据这一览表，则下列结论错误的是（ ） A ．最低温与最高位为正相关
B ．每月最高温和最低温的平均值在前8个月逐月增加
C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月
D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大
4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，若11a =，则4s =（ ）
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()2
1
0f x x x
=+
>，则()1f -=（ ） A ．2- B ．0 C ．1
D ．2
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
7．三次函数()3
23212
f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区
间()1,3上的最小值是（ ）
A ．83
B ．
116
C ．
113 D ．53
8．已知()2sin13,2sin77=︒︒a ，1-=a b ，a 与-a b 的夹角为3
π
，则⋅=a b （ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2
221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．28y x =
B ．28x y =
C ．24y x =
D ．24x y =
10．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（ ）
A ．2
B ．4
C ．2
D ．4+
11．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，点M ，N ，F 分别为椭圆C 的左顶点、上顶点、
左焦点，若90MFN NMF ∠=∠+︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A
B
C
D
12．已知ABC △是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD △与Rt BCD △）组成的三角形，如左下图所示．其中，45CAD ∠=︒，60BCD ∠=︒．现将Rt ACD △沿斜边AC 进行翻折成1D AC △（1D 不在平面ABC 上）．若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列命题不正确的是（ ）
A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值
B ．点N 在某个球面上运动
C ．对于任意位置，二面角1
D AC B --始终大于二面角1D BC A -- D ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60︒
二、填空题：（本大题共4题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设x ，y 满足约束条件1
400
x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则3z x y =-的取值范围为__________．
14．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为__________．
15．在数列{}n a 中，113a =，()
113,3n n n n a a a ++=∈N +，且13n n b a =+．记12n n P b b b =⨯⨯
⨯，
12n n S b b b =+++，则13n n n P S ++=__________．
16．如图，在ABC △中，sin
2ABC ∠=D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o s sin A B C
a b c
+=． （1）证明：sin sin sin A B C =；
（2）若222
65
b c a bc +-=，求tan B ．
18．（12分）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（1）证明MN ∥平面PAB ;
（2）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．
19．（12分）某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．
（1）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（2）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（3）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
20．（12分）已知中心在原点O ，左、右焦点分别为1F ，2F 焦距为A ，B 是椭圆上两点．
（1）若直线AB 与以原点为圆心的圆相切，且OA OB ⊥，求此圆的方程；
（2）动点P 满足：3OP OA OB =+，直线OA 与OB 的斜率的乘积为1
3
-，求动点P 的轨迹方
程．
21．（12分）设函数()3
f x x ax b =--，R x ∈，其中,R a b ∈．
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()()g x f x =，求证：()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于1
4
．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为x t
y at =⎧⎨=⎩
（t 为参数），曲线1C 的方程为()4sin 12ρρθ-=，定点()6,0A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点．
（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）直线l 与曲线2C 相交于B ，C 两点，若BC ≥a 的取值范围．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-．
（1）当3a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]0,2，求a 的取值范围．
一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D
8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】D 二、填空题． 13．【答案】[]2,4- 14．【答案】
1
4
15．【答案】3
16．【答案】三、解答题．
17．【答案】（1）见解析；（2）4． 【解析】（1）根据正弦定理，可设(0)sin sin sin a b c
k k A B C
===>，则sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入
cos cos sin A B C a b c
+=中，有cos cos sin sin sin sin A B C k A k B k C +=， 变形可得sin sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B =+=+（）．在ABC △中，由A B C ++=π， 有sin
sin sin A B C C +=π-=（）（），所以sin sin sin A B C =． （2）由已知，2
2
2
65b c a bc +-=，根据余弦定理，有2223
cos 25b c a A bc +-=
=．
所以4
sin 5
A =．由（1），s i n s i n s i n c o s c o s s i n A
B A B A B =+，
所以443sin cos sin 555
B B B =+，故sin 4co tan s B B B ==
．
18．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）由已知得2
23
AM AD =
=． 取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，1
22
TN BC =
=． 又AD BC ∥，故=TN AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥． 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ．
（2）取BC 的中点E ，连结AE ．由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，
且AE
以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
-．由题意知，()
0,0,4
P，()
0,2,0
M
，)2,0
C
，N
⎫
⎪⎪
⎝⎭
，()
0,2,4
PM=-，
5
2
PN
⎛⎫
=-
⎪⎪
⎝⎭
，
5
AN
⎛⎫
= ⎪⎪
⎝⎭
．
设()
,,
x y z
=
n 为平面PMN 的一个法向量，则
PM
PN
⋅=
⋅
⎪
⎨
⎪=
⎧
⎩
n
n
，即
240
20
y z
y z
⎧=
+-=
-
可取()
0,2,1
=
n ，于是
85
cos,
AN
AN
AN
⋅
〈〉==
n
n
n
．
19．【答案】（1）
2
5
；（2）见解析；（3）400元．
【解析】（1）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有1
10
C种，摸到红球的结果共有1
4
C 种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
1
4
1
10
C42
C105
==．……2分
（2）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()
3 0.4
X B
-，，所以()30.4 1.2
E X np
==⨯=．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2100120
⨯=元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，
所以商场经理希望顾客参加抽奖．……………7分
（3）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则()
10 0.4
Y B
-，．
于是，恰好k 次中奖的概率为()1010C 0.40.6k k k
P Y k -==⨯⨯，0 1 10k =，
，…，． 从而
()()
()21113P Y k k P Y k k
=⨯-=
=-， 1 2 10k =，
，…，， 当 4.4k <时，()()1P Y k P Y k =-<=； 当 4.4k >时，()()1P Y k P Y k =->=，
则()4P Y =最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4100400⨯=元．
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．………………12分
20．【答案】（1）22
34
x y +=
；（2
）(22
330x y x +=≠． 【解析】（1）设椭圆方程为()22
2210x y
a b a b +=>>
，由已知222
2c a c b a c
⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，得1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，
∴椭圆方程为2
213
x y +=．
①当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 代入椭圆方程得(
)
(
)
2
2
2
136310k
x kmx m +++-=．∴122613km
x x k -+=+，()2122
3113m x x k -⋅=+．
∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，
即()()()
()22
1212121212121x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++
()()22
22
2316101313m km k
km m k k --⎛⎫=+⋅
++= ⎪
++⎝⎭
，即224330m k --=． ∵AB
与以原点为圆心的圆相切，∴圆半径r =
，
则22
2
314
m r k ==+，∴圆的方程为22
34x y +=． ②当直线AB 的斜率存在时，易知AB
方程为x =2234
x y +=
．
（2）设(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由3OP OA OB =+得12
1233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩
又直线OA ，OB 的斜率积为13
-，∴
121213y y x x =-，即121230x x y y +=． ∵A ，B 在椭圆上，∴221113x y +=，2
22213x
y +=联立得12
12
121222
112222
33303333x x x y y y x x y y x y x y ⎧=+⎪
=+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩消去1x ，1y ，2x ，2y ，
得22330x y +=．当OA 斜率不存在时，即10x =，得11y =±，20y =
，2x =
此时x =±同理OB
斜率不存在时，x =±P
点的轨迹方程为(22
330x y x +=≠．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）解：由()3f x x ax b =--，可得()23f x x a ='-，下面分两种情况讨论： ①当0a ≤时，有()230f x x a '=-≥恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞． ②当0a >时，令()0f x '=
，解得x =
x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
． （2）证明：因为()f x 存在极值点，所以由（1）知0a >且00x ≠．由题意，得()2
00
30f x x a '=-=，即2
03a x =
，进而()3
000023
a f x x ax
b x b =--=--，又()()3
000000082282233
a a f x x ax
b x ax b x b f x -=-+-=-+-=--=，且002x x -≠，
由题意及（1）知，存在唯一实数1x 满足()()10f x f x =，且10x x ≠，因此102x x =-，所以
10+2=0x x ．
（3）证明：设()g x 在区间[]1,1-上的最大值为M ，{}max ,x y 表示x ，y 两数的最大值，下
面分三种情况讨论：（1）当3a ≥时，11≤-<≤，由（1）知，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，
因此()(){}{}{}
max |1|,|1|max 1,1max 1,1M f f a b a b a b a b =-=---+-=-+-- 1+0 10
a b
b a b
b -≥⎧=⎨
--<⎩所以12M a b =-+≥．
（2）当
334a ≤<时，11≤-<<≤，
由（1）和（2）知()1f f f ⎛-≥= ⎝⎭
⎝⎭
，()1f f f ⎛≤= ⎝⎭
⎝⎭
，
所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为,f
f ⎡
⎤
⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
，
因此max ,max M f f b b ⎧⎫⎛⎫⎧⎫⎪
⎪
== ⎪⎨
⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩
⎭
231
max 944b b b ⎫==≥⨯⎬⎭．
（3）当304a <<
时，11-<<<，由（1）和（2）知，
()1f f f ⎛-<= ⎝⎭
⎝⎭
，()1f f f ⎛>= ⎝⎭
⎝⎭
， 所以()f x 在区间[]1,1-上的取值范围为()()1,1f f ⎡⎤-⎣⎦，因此，
()(){}{}{}
1max |1|,|1|max 1,1max 1,114
M f f a b a b a b a b a b =-=-+---=-+--=-+>
． 综上所述，当0a >时，()g x 在区间[]1,1-上的最大值不小于14
． 22．【答案】（1）()()22314x y -+-=；（2）30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（1）由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为22412x y y +-=．设点(),P x y ''，(),Q x y ． 由中点坐标公式得262x x y y
'=-⎧⎨'=⎩，代入22412x y y +-=中，
得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22
314x y -+-=． （2）直线l 的普通方程为y ax =
≤304
a ≤≤
， 即实数a 的取值范围是30,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
23．【答案】（1）]
[(),43,-∞-+∞；
（2）[]2,0-． 【解析】（1）当3a =时，()213
532 212x x f x x x x --≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪+≥⎩
，当3x ≤-时，由()7f x ≥得217x --≥，
解得4x ≤-；
当32x -<<时，()7f x ≥无解；当2x ≥时，由()7f x ≥得217x +≥，解得3x ≥，所以()7f x ≥的解集为][(),43,-∞-+∞．
（2）
()4
f x x ≤-等价于
42
x a x x +≤---当
[]
0,2x ∈时，
42
x a x x +≤---等价于
22a x a --≤≤-，由条件得20a --≤且22a -≥，即20a -≤≤．故满足条件的a 的取值范围
为[
]
2,0-．。