2021年四川省内江市威远县中考数学一模试卷

2021年四川省内江市威远县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）2021-的绝对值是( )
A ．2021-
B ．2021
C ．12021
D ．12021
- 2．（3分）据世界知识产权组织报告，2020年全球专利申请量增长4%，申请量达到27.59万件，创造了有史以来最高数量．中国专利申请量同比增长16.1%，以68720件稳居世界第一(2019年中国超越美国）．将27.59万用科学记数法表示为( )
A ．427.5910⨯
B ．42.75910⨯
C ．50.275910⨯
D ．52.75910⨯
3．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上所标的字是( )
A ．祝
B ．你
C ．顺
D ．利
4．（3分）若x y >，则下列式子错误的是( )
A ．33x y ->-
B ．33x y ->-
C ．33x y +>+
D ．33
x y > 5．（3分）在2016年体育中考中，某班一学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为( )
成绩（分)
27 28 30 人数 2 3 1
A ．28，28，1
B ．28，27.5，1
C ．3，2.5，5
D ．3，2，5 6．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．正五角星
D ．正六边形
7．（3分）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于( )
A ．160︒
B ．150︒
C ．140︒
D ．120︒
8．（3分）下列运算正确的是( )
A ．11x y x y xy --=
B ．1b a a b b a +=---
C ．21111a a a --=--+
D ．21111
a a a -=-+ 9．（3分）下列命题中，真命题是( )
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
10．（3分）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是( )
A ．484822x x -=-
B ．484822x x -=+
C ．484822x x -=+
D ．484822
x x -=- 11．（3分）一副三角板按图1所示的位置摆放．将DEF ∆绕点()A F 逆时针旋转60︒后（图2)，测得10CG cm =，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为( )
A ．275cm
B ．2(25253)cm +
C ．225(253)3cm
D ．250(253)3
cm 12．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB --以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止．设AMN ∆的面积为2()y cm ，运动时间为x （秒)，则下
列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．（5分）分解因式：22288a ab b -+-= ．
14．（5分）已知456a b +=，543a b +=，则a b -= ．
15．（5分）在菱形ABCD 中，对角线6AC =，8BD =，则菱形ABCD 的周长为 ．
16．（5分）如图，已知双曲线(0)k y k x
=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为(6,4)-，则AOC ∆的面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（8分）计算：1020212(2021)3(1)|6|π---+︒--+-．
18．（8分）如图，已知E 、F 是ABCD 对角线AC 上的两点，且BE AC ⊥，DF AC ⊥，连接DE 、BF ．求证：DE BF =．
19．（9分）2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加朗诵比赛的学生共有人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m=，n=；C等级对应扇形有圆心角为度；
（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率．
20．（9分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60︒和45︒．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）21．（10分）已知关于x的一元二次方程：22(12)10
+-+=有两个不相等的实数根．
k x k x
（1）求k 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足1212||||23x x x x +=-，求k 的值．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）
22．（6分）Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，则它的内切圆半径是 ．
23．（6分）如图所示，设M 是ABC ∆的重心，过M 的直线分别交边AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP m PB =，AQ n QC =，则11m n
+= ．
24．（6分）若2|52|(3)52(4)m m n m m -+=--，则2m n += ．
25．（6分）已知二次函数212
y x bx =+的图象过点(4,0)A ，设点(1,3)C -，在抛物线的对称轴上求一点P ，使||PA PC -的值最大，则点P 的坐标为 ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26．（12分）阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为1a ，依此类推，
排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．如：数列1，3，9，27，⋯为等比数列，其中11a =，公比为3q =．
然后解决下列问题． （1）等比数列3，6，12，⋯的公比q 为 ，第4项是 ．
（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为1)a 和公比（设为)q ，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项n a = （用1
a
和q 的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比2q =，第2项是10，求它的第1项与第4项．
（4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项．
27．（12分）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线PO 交于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交O 于点A ，延长AO 与O 交于点C ，连接BC ，AF ．
（1）求证：直线PA 为O 的切线；
（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；
（3）若6BC =，1tan 2
F ∠=，求cos ACB ∠的值和线段PE 的长．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，1OA =，tan 3BAO ∠=，将AOB ∆绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC ∆，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，设其横坐标为t ．
①设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，连接PE 交CD 于点F ，当CEF ∆与COD ∆相似时，求点P 的坐标；
②当45BAP ∠=︒时，求点P 的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）2021-的绝对值是( )
A ．2021-
B ．2021
C ．12021
D ．12021
- 【解答】解：2021-的绝对值为2021，
故选：B ．
2．（3分）据世界知识产权组织报告，2020年全球专利申请量增长4%，申请量达到27.59万件，创造了有史以来最高数量．中国专利申请量同比增长16.1%，以68720件稳居世界第一(2019年中国超越美国）．将27.59万用科学记数法表示为( )
A ．427.5910⨯
B ．42.75910⨯
C ．50.275910⨯
D ．52.75910⨯
【解答】解：根据科学记数法的定义，27.59万5275900 2.75910==⨯， 故选：D ．
3．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上所标的字是( )
A ．祝
B ．你
C ．顺
D ．利
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “中”与“顺”是相对面．
故选：C ．
4．（3分）若x y >，则下列式子错误的是( )
A ．33x y ->-
B ．33x y ->-
C ．33x y +>+
D ．33
x y > 【解答】解：A 、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B 、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；
C 、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D 、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．
故选：B ．
5．（3分）在2016年体育中考中，某班一学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为( ) 成绩（分)
27 28 30 人数 2 3 1
A ．28，28，1
B ．28，27.5，1
C ．3，2.5，5
D ．3，2，5 【解答】解：这组数据28出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是28； 把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是(2828)228+÷=，则中位数是28； 这组数据的平均数是：(27228330)628⨯+⨯+÷=，
则方差是：2221[2(2728)3(2828)(3028)]16
⨯⨯-+⨯-+-=； 故选：A ．
6．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是( )
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．正五角星
D ．正六边形
【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A ．
7．（3分）如图，线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，20CAB ∠=︒，则AOD ∠等于( )
A ．160︒
B ．150︒
C ．140︒
D ．120︒
【解答】解：线段AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，
∴CB BD =，
20CAB ∠=︒，
40BOD ∴∠=︒，
140AOD ∴∠=︒．
故选：C ．
8．（3分）下列运算正确的是( )
A ．11x y x y xy --=
B ．1b a a b b a +=---
C ．21111a a a --=--+
D ．21111
a a a -=-+ 【解答】解：（A ）原式y x xy -=
，故A 错误； （B ）原式1b a b a a b a b a b
-=-==----，故B 正确； （C ）原式(1)1(1)(1)1
a a a a -+-==+--，故C 错误； （D ）原式(1)(1)111a a a a a a
+---
=+，故D 错误； 故选：B ． 9．（3分）下列命题中，真命题是( )
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D ．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A 、对角线平分且相等的四边形是矩形，故错误；
B 、对角线平分且互相垂直的四边形是菱形，故错误；
C 、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；
D 、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
故选：D ．
10．（3分）在成都至自贡高速铁路的修建中，某工程队要开挖一段长48米的隧道，开工后每天比原计划多挖2米，结果提前2天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则所列方程正确的是( ) A ．484822x x -=- B ．484822x x -=+ C ．484822x x -=+ D ．484822
x x -=- 【解答】解：设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(2)x +米，
根据题意得，
484822
x x -=+． 故选：B ．
11．（3分）一副三角板按图1所示的位置摆放．将DEF ∆绕点()A F 逆时针旋转60︒后（图2)，测得10CG cm =，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为( )
A ．275cm
B ．2(25253)cm +
C ．225(253)3cm +
D ．250(253)3
cm + 【解答】解：过G 点作GH AC ⊥于H ，如图，
60GAC ∠=︒，45GCA ∠=︒，10GC cm =，
在Rt GCH ∆中，2522GH CH GC cm ==
=， 在Rt AGH ∆中，35633AH GH cm =
=， 56(52)3
AC cm ∴=+， ∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积12GH AC =
15652(52)23
=⨯⨯+ 2253(25)3
cm =+． 故选：C ．
12．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB cm =，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向B 点运动，同时动点N 自A 点出发沿折线AD DC CB --以每秒3cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止．设AMN ∆的面积为2()y cm ，运动时间为x （秒)，则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：当点N 在AD 上时，即01x ，213
322
AMN S x x x ∆=⨯⨯=，
点N 在CD 上时，即12x ，13
322AMN S x x ∆=⨯⨯=，y 随x 的增大而增大，所以排除A 、D ；
当N 在BC 上时，即23x ，2139
(93)222
AMN S x x x x ∆=⨯⨯-=-+，开口方向向下．
故选：B ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．（5分）分解因式：22288a ab b -+-= 22(2)a b -- ． 【解答】解：原式222(44)a ab b =--+
22(2)a b =--．
故答案为：22(2)a b --．
14．（5分）已知456a b +=，543a b +=，则a b -= 3- ． 【解答】解：456543a b a b +=⎧⎨+=⎩
①
②，
①5⨯-②4⨯得：918b =， 解得：2b =， 把2b =代入①得：
4106a +=，
解得：1a =-，
即原方程的解为：1
2a b =-⎧⎨=⎩
，
123a b -=--=-，
故答案为：3-．
15．（5分）在菱形ABCD 中，对角线6AC =，8BD =，则菱形ABCD 的周长为 20 ． 【解答】解：四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，132OA OC AC ==
=，1
42
OB OD BD ===，AB BC CD AD ===， 22345AB ∴=+=，
∴菱形的周长20L =．
故答案为：20．
16．（5分）如图，已知双曲线(0)k
y k x
=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直
角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为(6,4)-，则AOC ∆的面积为 9 ．
【解答】解：点D 为OAB ∆斜边OA 的中点，且点A 的坐标(6,4)-，
∴点D 的坐标为(3,2)-，
把(3,2)-代入双曲线(0)k
y k x
=<，
可得6k =-，
即双曲线解析式为6
y x =-，
AB OB ⊥，且点A 的坐标(6,4)-，
C ∴点的横坐标为6-，代入解析式6
y x
=-，
1y =，
即点C 坐标为(6,1)-， 3AC ∴=，
又6OB =，
1
92
AOC S AC OB ∆∴=⨯⨯=．
故答案为：9．
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17．（8分）计算：1020212(2021)3cos30(1)|6|π---+︒--+-． 【解答】解：原式13
13(1)622
=-+⨯--+ 13
11622
=
-+++ 8=．
18．（8分）如图，已知E 、F 是ABCD 对角线AC 上的两点，且BE AC ⊥，DF AC ⊥，连接DE 、BF ．求证：DE BF =．
【解答】证明：
BE AC ⊥，DF AC ⊥，
//BE DF ∴，90BEA DFC ∠=∠=︒．
四边形ABCD 是平行四边形， AB CD ∴=，//AB CD ． BAE DCF ∴∠=∠．
在ABE ∆和CDF ∆中，
BEA DFC
BAE DCF
AB CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
ABE CDF AAS
∴∆≅∆
BE DF
∴=．
又//
BE DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
DE BF
∴=．
19．（9分）2016年3月，我市某中学举行了“爱我中国朗诵比赛”活动，根据学生的成绩划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）参加朗诵比赛的学生共有40人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m=，n=；C等级对应扇形有圆心角为度；
（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的朗诵比赛，请利用列表法或树形图法，求获A等级的小明参加市朗诵比赛的概率．
【解答】解：（1）参加比赛学生共有：1230%40
÷=（人)；
B等级学生数是40416128
---=（人)，
（2）
4
10010
40
m=⨯=，
16
10040
40
n=⨯=，C等级对应扇形有圆心角为36040%144
︒⨯=︒，
故答案为：10，40，144；
（3）设获A等级的小明用A表示，其他的三位同学用a，b，c，表示：共12种情况，其中小明参加的情况有6种，
则P（小明参加市比赛）
61 122
==．
20．（9分）为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60︒和45︒．
（1）求公益广告牌的高度AB；
（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【解答】解：（1）在Rt ADC
∆中，60
ADC
∠=︒，3
CD=米，
tan
AC ADC
DC
∠=，
3tan 60AC ∴=︒=（米)，
在Rt BDC ∆中，45BDC ∠=︒， 3BC CD ∴==米，
3)AB AC BC ∴=-=米．
（2）在Rt ADC ∆中，cos CD
ADC AD
∠=， 33
61
cos602
AD ∴=
==︒米，
在Rt BDC ∆中，cos CD
BDC BD
∠=，
3cos45BD ∴=
==︒
21．（10分）已知关于x 的一元二次方程：22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足1212||||23x x x x +=-，求k 的值． 【解答】解：（1）关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根，
∴△22(12)40k k =-->且20k ≠，
解得1
4
k <
且0k ≠， k ∴的取值范围是1
4
k <
且0k ≠； （2）原方程的两个实数根为1x 、2x ， 12221k x x k -∴+=
，12
2
1
x x k =， 而1
4
k <
且0k ≠； 122
210k x x k -∴+=
<，1221
0x x k
=>， 10x ∴<，20x <， 1212||||23x x x x +=-，
121223x x x x ∴--=-，即1212()23x x x x -+=-．
∴2
2212
3k k k
--
=-， 整理得23210k k --=， 解得：11k =，213
k =-．
又
1
4
k <
且0k ≠， 11k ∴=不合题意，舍去．
经检验，213k =-是方程22212
3k k k --=-的解．
k ∴的值为1
3
-．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）
22．（6分）Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，则它的内切圆半径是 2 ． 【解答】解：如图，O 切AC 于E ，切BC 于F ，切AB 于G ，连OE ，OF ， OE AC ∴⊥，OF BC ⊥，
∴四边形CEOF 为正方形，
90C ∠=︒，6AC =，8BC =， 10AB ∴=，
设O 的半径为r ，则CE CF r ==， 6AE AG r ∴==-，8BF BG r ==-，
AB AG BG AE BF ∴=+=+，即6810r r -+-=，
2r ∴=．
故答案为2．
23．（6分）如图所示，设M 是ABC ∆的重心，过M 的直线分别交边AB ，AC 于P ，Q 两点，且
AP m PB =，AQ n QC =，则11
m n
+= 1 ．
【解答】解：分别过点B ，C 作//BE AD ，//CF AD ，交PQ 于点E ，F ，则////BE AD CF ， 点D 是BC 的中点，
MD ∴是梯形的中位线，
2BE CF MD ∴+=，
∴
1121PB CQ BE CF BE CF MD
m n AP AQ AM AM AM AM
++=+=+===．
24．（6分）若2|52|(3)52(4)m m n m m -+=--，则2m n += 2- ． 【解答】解：2|52|(3)52(4)m m n m m -+=--， 2|52|(3)(4)25m m n m m -+-=-，
则250m -，
2|52|(3)52(4)m m n m m -++=--， 225(3)(4)25m m n m m -+-=-， 2(3)(4)0m n m +-=，
则40m -=，30n +=， 解得：4m =，3n =-， 所以2462m n +=-=-， 故答案为：2-
25．（6分）已知二次函数2
12
y x bx =
+的图象过点(4,0)A ，设点(1,3)C -，在抛物线的对称轴上求一点P ，使||PA PC -的值最大，则点P 的坐标为 (2,6)- ．
【解答】解：二次函数2
12
y x bx =+的图象过点(4,0)A ， 2
10442
b ∴=⨯+，解得2b =-， 2
122
y x x ∴=
-， ∴对称轴为22122
x =
=⨯，
二次函数2
122
y x x =
-与x 轴交于点(4,0)A ， ∴它与x 轴的另一交点是(0,0)O ，
P 在对称轴上，
PA PO ∴=，
||||PA PC PO PC OC ∴-=-，即当P 、O 、C 三点在一条线上时||PA PC -的值最大，
设直线OC 解析式为y kx =， 3k ∴=-，
∴直线OC 解析式为3y x =-，
令2x =，可得326y =-⨯=-，
∴存在满足条件的点P ，其坐标为(2,6)-．
故答案为(2,6)-．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 26．（12分）阅读下列材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为1a ，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为n a ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．如：数列1，3，9，27，⋯为等比数列，其中11a =，公比为3q =． 然后解决下列问题．
（1）等比数列3，6，12，⋯的公比q 为 2 ，第4项是 ．
（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为1)a 和公比（设为)q ，则根据定义我们可依次
写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项n a = （用1a 和q 的代数式表示）．
（3）若一等比数列的公比2q =，第2项是10，求它的第1项与第4项． （4）已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 【解答】解：（1）根据题意知公比632q =÷=，第4项是12224⨯=， 故答案为：2，24；
（2）根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：1a ，1a q ，21a q ，31a q ，⋯．由此可得第n 项11n n a a q -=， 故答案为：11n a q -；
（3）根据题意知，第1项为1025÷=，第4项为35240⨯=；
（4）根据题意知2
151
12
96a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
38q ∴=，即2q =， 则13a =，
∴这个等比数列的第10项为9321536⨯=．
27．（12分）如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线PO 交于点E 、F ，过点B 作PO
的垂线BA ，垂足为点D ，交O 于点A ，延长AO 与O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为O 的切线；
（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若6BC =，1
tan 2
F ∠=，求cos ACB ∠的值和线段PE 的长．
【解答】解：（1）连接OB ， PB 是O 的切线，
90PBO ∴∠=︒，
OA OB =，BA PO ⊥于D ，
AD BD ∴=，POA POB ∠=∠，
又PO PO =，
()PAO PBO SAS ∴∆≅∆，
90PAO PBO ∴∠=∠=︒，
OA PA ∴⊥，
∴直线PA 为O 的切线．
（2）24EF OD OP =．
证明：90PAO PDA ∠=∠=︒
90OAD AOD ∴∠+∠=︒，90OPA AOP ∠+∠=︒，
OAD OPA ∴∠=∠，
OAD OPA ∴∆∆∽， ∴OD OA OA OP
=，即2OA OD OP =， 又2EF OA =，
24EF OD OP ∴=．
（3）OA OC =，AD BD =，6BC =，
132
OD BC ∴==（三角形中位线定理）， 设AD x =，
1tan 2F ∠=， 2FD x ∴=，23OA OF x ==-，
在Rt AOD ∆中，由勾股定理，得222(23)3x x -=+， 解之得，14x =，20x =（不合题意，舍去），
4AD ∴=，235OA x =-=，
AC 是O 直径，
90ABC ∴∠=︒，
又210AC OA ==，6BC =，
63cos 105ACB ∴∠=
=． 2OA OD OP =，
3(5)25PE ∴+=，
103
PE ∴=．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，1OA =，tan 3BAO ∠=，将AOB ∆绕原点O 逆时针旋转90︒，得到DOC ∆，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，设其横坐标为t ． ①设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，连接PE 交CD 于点F ，当CEF ∆与COD ∆相似时，求点P 的坐标；
②当45BAP ∠=︒时，求点P 的坐标．
【解答】解：（1）tan BO BAO AO ∠=， ∴31
BO =，解得3BO =， 又由旋转可得3OC OB ==， A ∴、B 、C 三点的坐标分别为(1,0)、(0,3)、(3,0)C -，
代入二次函数解析式可得09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩
． ∴抛物线的解析式为：223y x x =--+；
（2）①90DOC ∠=︒，
∴当CEF ∆与COD ∆相似，有90CFE ∠=︒或90CEF ∠=︒， 当90CFE ∠=︒时，连接PE 并延长交y 轴于点H ，如图1，
由题意可知l 方程为1x =-， OD OE ∴=，
90DCO CDO CDO EHO ∠+∠=∠+∠=︒， DCO EHO ∴∠=∠，
在ODC ∆和OEH ∆中，
DCO EHO DOC EOH DO EO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ODC OEH AAS ∴∆≅∆， 3OH OC ∴==，
H ∴坐标为(0,3)-，且(1,0)E -， 设直线PH 解析式为3y kx =-，把E 点坐标代入可得30k --=，解得3k =-， ∴直线PH 解析式为33y x =--，
联立抛物线线解析式可得22333y x x y x ⎧=--+⎨=--⎩
，解得312x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩， P 点在第二象限， P ∴点坐标为(2,3)-； 当90CEF ∠=︒时，则//PE y 轴，故P 点坐标为抛物线的顶点，可求得P 点坐标为(1,4)-； 综上可知当CEF ∆与COD ∆相似时点P 的坐标为(2,3)-或(1,4)-； ②如图2，将线段BA 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BA '，连接AA '交抛物线于点P ，此时45APB ∠=︒，易知(3,2)A '-
设直线AA '的解析式为y kx b =+，
则有320k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得1212
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AA '的解析式为1
122
y x =-+，
联立直线AD 和抛物线解析式可得2112223y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--+⎩，解得5274
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩， 5(2P ∴-，7)4， ∴当45BAP ∠=︒时，P 点坐标为5
(2-，7)4
．。