电磁波在不同介质中的传播

摘 要
电磁波在不同介质中传播特性不同。

本文从麦克斯韦方程组出发，求解了
平面电磁波在线性介质中的波动方程及其解。

对于线性介质，D 与E 、B 与H 成
线性关系，求解了平面电磁波在线性介质中的波动方程及其解；对于非线性介质，D 与E 、B 与H 成非线性关系，所求出的波动方程与线性介质中的波动方程完全不同。

对于电磁波在介质面上的传播，从电磁场边值关系出发分析反射和折射的规律，结果表明：（1）入、反、折三波同频共面，即ωωω''='=；(2).入射角等于反射角，即θθ'=；(3).入射角与反射角的关系为：112221sin sin εμεμθθ==''v v 。

关 键 词：电磁波，线性介质，非线性介质，铁磁介质，非铁磁介质，介质面，反射，折射
abstract
Electromagnetic wave transmission characteristic in different medium is different ． Starting from maxwell's equations, solve wave equation and solutions of Plane Electromagnetic Wave in linear medium ． For the linear medium, D and E is a linear relationship ．The same to the relationship of B and H ．And then solve wave equation and solutions of Plane Electromagnetic Wave in linear medium ； For the nonlinear medium, D and E is a nonlinear relationship ． The
same to the relationship of B and H ．Therefore , the wave equation in nonlinear
medium and in linear medium is completely different ． For the transmission of Electromagnetic wave in medium surface ，starting from electromagnetic field boundary value relations analyse reflection and refraction law and conclude that (1) The incident wave 、reflex wave and refraction wave are the same frequency and coplanar, namely ωωω''='=;(2) the incident angle equals to the reflection angle,namely θθ'=;(3)the relations of the incident angle and the reflection angle is 1
12221sin sin εμεμθθ==''v v ．
Key words: electromagnetic wave, linear medium, nonlinear medium, ferromagnetic, nonferromagnetic ，Medium surface ,reflection,reflaction
目录
摘要 (I)
ABSTRACT (II)
引言 (1)
一、介质 (2)
1.1介质的极化和极化规律 (2)
1.2磁化和磁化规律 (4)
1.3铁磁质 (6)
二、电磁波及其解 (11)
2.1在各向异性介质中的电磁波波动方程及其解 (11)
2.2线性介质中的平面单色波及其解 (16)
2.3电磁波在非线性介质中传播 (19)
2.4电磁波在介质界面上的传播 (25)
结语 (34)
参考文献........................................................................................ 错误!未定义书签。

致谢................................................................................................ 错误!未定义书签。

引 言
电磁波的应用范围很广泛，现实中几乎无处不在。

现代电子技术如通讯、广播、电视、导航、雷达、测控、电子仪器和测量系统，都离不开电磁波的传播。

电磁波在不同介质中传播特性不同，在实际生活中的应用更是非常广泛。

下面即研究在均匀线性介质中、非线性介质中、铁磁介质中、非铁磁介质中电磁波的传
播情况，由电场强度E 和磁场强度H 满足的波动方程出发，研究不同介质中电
磁波的波动方程及其平面波解。

一、介 质
几乎所有的气体、液体和固体等实物，在电场中都呈现出介电性和导电性两种基本特性，具有介电性的物质称为电介质，具有导电性的物质就是导体。

完全没有导电性而只有介电性的物质是理想的电介质，完全没有介电性而没有导电性的物质是理想的导体。

理想的电介质是良好的绝缘体。

电介质有许多重要的物理性能，从而有着广泛的应用。

电介质内部虽无自由电子，但其对电场的作用却有响应。

同样，几乎所有的气体、液体和固体等实物，在磁场中都呈现出一定的磁性，把这些能够响应磁场的实物统称为磁介质。

这说明所有的物质，不论其内部结构如何，对磁场都是有响应的，但大部分物质的磁性较弱，只有少部分金属物质如铁、镍、钴及某些合金等所谓铁磁性物质，才有较强的磁性。

物质的磁性起源于原子的磁性，原子的磁性又起源于电子的磁性，而这种磁性又是与量子力学密切相关的。

1.1介质的极化和极化规律
电介质在外场源所产生的电场作用下发生极化，极化介质将产生附加电场，它也会影响电介质的极化，而且还可能改变外场源的分布，从而又影响介质的极化。

这就是说，介质的极化原因和极化所产生的效果存在着反馈联系。

当极化达到稳定状态后，介质中便有确定的场强E 和极化强度P 。

极化强度
P 和介质中的场强E 存在着一定的联系。

在宏观电磁学中，我们无法从理论上建立P 与E 的函数关系，这种关系只能通过实验来确立。

统计物理和固体物理能根
据介质的微观特性，从理论上建立起P 与E 的关系[1]。

从极化强度的定义可以看出，极化强度与介质的性质（如分子电矩的大小、各分子电矩有序化的难易程度，分子密度等）有关。

另外，分子固有电矩的转向或分子感应电矩的产生，显然都与电介质中的场强有关。

对于大部分各向同性的电介质而言，当场强不太强时，极化强度P 与介质中
的场强E 成正比，方向也相同，即
E P 0χε= （1.1）
式中的χ称为介质的极化率。

这就是各向同性的电介质的物态方程。

对于不同的电介质，极化率χ是不同的，它反映了介质极化难易程度。

对于均匀的介质，极化率是与位置无关的常数；对于非均匀介质，极化率是与位置有关的，即),,(z y x χχ=，气体和大部分液体，以及许多非晶体和某些晶体，都是各向同性的介质。

对于各向异性的电介质，其极化强度和介质中的场强关系可表为
⎪⎭
⎪⎬⎫++=++=++=)()()(000z zz y zy x zx z z yz y yy x yx y z xz y xy x xx x E E E P E E E P E E E P χχχεχχχεχχχε （1.2）
也就是说，各向异性介质的极化率若存有九个分量，这九个量将构成一个二阶张量。

每一个量称为张量的分量，它一般与坐标的选择有关。

适当地选择坐标，可使张量在这坐标中的某些分量为零。

一般可将此式写成下面的简化形式
)3,2,1(310==∑=i E P j j
ij j χε （1.3）
以上三式虽然意义不同，但所反映的都是极化强度和场强之间的线性关系。

故称各向同性或异性的介质为线性介质。

介质的对于许多晶体，由于其点阵结构特殊，当受强电场作用时其力学、热学、电磁学、光学等性质会发生显著变化，晶体中的极化强度与场强存在如下非线性关系
...)E E E (P +++=332210χχχε （1.4）
其中，1χ为一阶线性极化率，2χ为二阶非线性极化率，
3χ为三阶非线性极化率，等。

可见晶体中的极化强度P 不仅与场强E 的一次方有关，而且还与E2、
E3……有关。

这些晶体称为非线性电介质。

非线性电介质中极化强度P 与场强E 的非线性关系在诸如原子物理学、分子物理学、天体物理学、高能物理学、凝聚态物理学、等离子体物理学等其他物理学领域中的应用是非常普遍的，也用于电化学、生物物理等交叉学科领域中，在现代技术中的应用也是很广泛的。

非线性光学就是研究P 与E 成非线性关系的光学问题的学科，它是近代光学中相当活跃的一个领域。

基本非线性光学现象有：倍频和混频效应、位相匹配、光学参量放大和振荡，多光子吸收和光折变、自聚焦和受激散射等。

非线性光学产生的现代技术有：激光和光谱技术、等离子
体技术、光通讯技术、天文学技术等。

1.2磁化和磁化规律
（1）磁化
如果将一根铁棒插入载流长螺线管中，就会发现这螺线管对磁针或其它电流施加的力或力矩大大地增加。

这说明，铁棒受电流的磁场作用后能产生附加磁场。

把处于这一状态下的铁棒称为被磁化了。

设载流螺线管产生的原磁场为0B ，磁
化了的铁棒所产生的附加磁场为B ' ，那么此时铁棒内部的总磁场即为
B B B '+= 0 （2.1）
在静电场中，充满电场不为零的区域内的均匀电介质，被极化后产生的附加
电场P E 总是与原电场0E 方向相反。

但是充满磁场不为零的区域内的均匀磁介
质，被磁化后产生的附加磁场B ' 可以与原磁场0B 方向相同，也可以相反，视不
同的介质而异。

那些在其中B ' 与0B 方向相同的磁介质（如氧、锰等）称为顺磁
质；那些在其中B ' 与0B 方向相反的磁介质（如氢、铋等）称为抗（逆）磁质。

实验指出，在以上两类磁介质中的B ' 与0B 的数值之比都很小（约10-5）。

但是，
另有一类磁介质（如铁、镍、钴等），它们被磁化后的B ' 与0B 的数值之比却都较
大，此外，它们还具有一些特殊的磁学性质，我们将它们另划一类，称为铁磁质。

（2）介质的磁化规律
在宏观理论中，介质中的磁场B 实际上是微观磁场在物理无限小体积内的统
计平均值，它由传导电流和磁化电流各自产生的磁场迭加而成。

传导电流是我们可以控制和调节的电流，磁化电流则是介质磁化后产生磁效应的一种等效电流。

但是磁化电流一旦出现，它产生的磁场又会影响介质的磁化程度，介质的磁化变化时，其等效的磁化电流亦会发生变化。

即在磁化过程中，磁化原因和磁化产生的效果之间存在着反馈联系。

从磁化强度的定义来看，它必与介质中的磁感应强
度有关。

对于线性的非铁磁性物质，M 与B 成正比，即
B M ∝
但由于历史上的原因，B 曾一度被认为是与电位移矢量D 相当的辅助量，而
把即将引入的辅助量B H r μμ01
=作为描写磁场的基本物理量，从而认为M 与
H 成正比，并将其比例系数M χ称为磁化率，即
H M M χ= （2.2）
由于这一原因，M 与B 的关系才表示为
B B M r
r M M μμμχχμ00111-=+= （2.3） 其中，M r χμ+=1称为介质的相对磁导率，
r μμμ0=则称为介质的绝对磁导率，简称磁导率。

磁介质按照磁化率、相对磁导率可分为三类：对于顺磁质，0 M χ，1 r μ；对于抗磁质，0<M χ，1<r μ。

这两类磁介质的磁性都很弱，1||<<M χ，1≈r μ，
而且都是与B 或H 无关的常数。

但对于铁磁质而言，M 与H 成非线性关系，且
)(H M M χχ=，)(H r r μμ=。

铁磁质的)(H M χ和)(H r μ一般都很大，其量级为102－103，甚至可达106以上。

所以铁磁质属强磁性介质。

表1-1 几种磁介质的相对磁导率
1.3铁磁质
根据上一节的讨论我们知道，对于各向同性的均匀线性磁介质，其磁化规律可由B M B H r
μμμ0011=-=确定并表示，其中的r μ是一个接近于1的反映介质特性的常数。

然而铁磁性物质的相对磁导率r μ一般可达102~106数量级，而且在磁化过程中其磁导率r μ是一个非线性函数，与磁化历史和磁化条件均有关，
其磁化后的B 和H 之间的关系也异常复杂，甚至我们无法用一个解析函数来表
示，这种关系只能通过对其铁磁质样品的B 、H 和M 、H 的测量，而用它们的
曲线表示。

为了比较不同材料的磁性，我们通常要研究样品的初始磁化过程，即要求样品在研究前末被磁化，不具有磁性。

实际上，我们总可以使样品处于末磁化状态。

例如：把样品加热到某一特定的温度——居里温度之上（居里（P. Curie ）温度
又称为居里点，它将由C
m T C H M == χ决定，其中的常数k nm C 3/200μ=，0m 为分子磁矩，k 为玻耳兹曼常数，n 为分子数密度），样品的磁性就会全部消失，然后
将样品的温度降（冷却）到常温下进行研究。

然而要研究样品的H B ~和H
M ~关系，就得有一外加的H 场作用于样品，然后测量相应的B 、M 即可。

H 场可
由传导电流产生，但通常情况下，H 并非由传导电流唯一确定。

一般形状的样
品，总会出现两个端面，在此端面上，M 有突变，因而导致H 、B 发生变化，
这就使总是复杂化了。

如果将样品制成一个间隙很小的环状物，而不出现端面，再在环上绕制一定的线圈，就可由可以调节的传导电流而在样品上得到唯一确定
的、可调的H ，从而使测量B 、M 得以实现。

上述所制成的螺绕环通常称为罗
兰（Bomland ）环。

铁磁物质是一种性能特异，用途广泛的材料。

铁、钴、镍及其众多合金以及,含铁的氧化物（铁氧体）均属铁磁物质。

其特征是在外磁场作用下能被强烈磁化，故磁导率μ很高。

另一特征是磁滞，即磁化场作用停止后，铁磁质仍保留磁化状
态，图1-1为铁磁物质的磁感应强度B 与磁化场强度H 之间的关系曲线。

图中的
原点O 表示磁化之前铁磁物质处于磁中性状态，即0==H B ，当磁场H 从零开
始增加时，磁感应强度B 随之缓慢上升，如线段oa 所示，继之B 随H 迅速增长，
如ab 所示，其后B 的增长又趋缓慢，并当H 增至s H 时，B 到达饱和值s B ，oabs
称为起始磁化曲线。

图1-1表明，当磁场从s H 逐渐减小至零，磁感应强度B 并
不沿起始磁化曲线恢复到“O ”点，而是沿另一条新的曲线SR 下降，比较线段
OS 和SR 可知，H 减小B 相应也减小，但B 的变化滞后于H 的变化，这现象称
为磁滞，磁滞的明显特征是当H ＝0时，B 不为零，而保留剩磁r B 。

当磁场反向从O 逐渐变至－HD 时，磁感应强度B 消失，说明要消除剩磁，
必须施加反向磁场，D H 称为矫顽力，它的大小反映铁磁材料保持剩磁状态的能
力，线段RD 称为退磁曲线。

图1-1还表明，当磁场按HS →O →HD →-HS →O →HD ´→HS 次序变化，相
应的磁感应强度B 则沿闭合曲线S SRD 'S D R ''变化，这闭合曲线称为磁滞回线。

所
以，当铁磁材料处于交变磁场中时（如变压器中的铁心），将沿磁滞回线反复被磁化→去磁→反向磁化→反向去磁。

在此过程中要消耗额外的能量，并以热的形式从铁磁材料中释放，这种损耗称为磁滞损耗，可以证明，磁滞损耗与磁滞回线
所围面积成正比。

应该说明，当初始态为0==B H
的铁磁材料，在交变磁场强度由弱到强依
次进行磁化，可以得到面积由小到大向外扩张的一簇磁滞回线，如图1-2所示，这些磁滞回线顶点的连线称为铁磁材料的基本磁化曲线，由此可近似确定其磁导
率H B
=μ，因B 与H 非线性，故铁磁材料的μ不是常数而是随H 而变化（如图1-3所示）。

铁磁材料的相对磁导率可高达数千乃至数万，这一特点是它用途广泛的主要原因之一。

可以说磁化曲线和磁滞回线是铁磁材料分类和选用的主要依据，图1-4为常 见的两种典型的磁滞回线，其中软磁材料的磁滞回线狭长、矫顽力、剩磁和磁滞 损耗均较小，是制造变压器、电机、和交流磁铁的主要材料。

而硬磁材料的磁滞 回线较宽，矫顽力大，剩磁强，可用来制造永磁体。

图1-1铁磁质起始磁化曲线和磁滞回线曲线和磁滞回线
图1-2 同一铁磁材料的 一簇磁滞回线
图 1-3铁磁材料µ与H 关系曲线
图1-4 不同铁磁材料的磁滞回线
不同铁磁性材料具有不同形状的磁滞回线，即使同一材料其磁滞回线亦取决于被磁化的程度。

通常我们所讲的磁滞回线都是指它的饱和磁滞回线。

因而饱和
磁滞回线所对应的剩余磁化强度r M 和剩余磁感应强度r B
与矫顽力c H ，饱和磁
场强度s H
是表示磁性材料特征的参量。

理论可以证明：磁滞回线所包围的面积
表示在一个反复磁化的循环过程中单位体积的铁磁质内所消耗的能量，称为磁滞损耗。

技术上，根据矫顽力的大小把铁磁质分为两大类：软磁质（矫顽力很小，1A/m ）和硬磁质（矫顽力很大，约104~106A/m ）。

软铁、硅钢、坡莫合金、锰锌铁氧体等都是软磁材料，都具有较大的磁导率，但磁滞损耗较小，可用于电机、变压器和继电器中。

碳钢、钴钢、磁钢、铝镍钴合金、钡铁氧体和钕铁硼稀土永磁材料等都是硬磁材料，都具有较大的剩磁，但磁滞损耗较大，可制造永久磁铁而用于扬声器、话机、录音机、电表、计算机等。

对于磁滞回线接近于矩形的矩磁材料，它总处在（S B -，S B ）两种状态之间，可作为记忆元件用于磁芯、录音带、录象带等。

表1-2 典型软磁材料的性能
材 料 成分
（%）
I μ
m μ
1
-•m
A H c
(Oe)
T
M s
(Gs)
m
•Ω4
10ρ
(Gs) C
T c
︒
纯 铁 0.05 杂质 10000 200000 4.0
（0.05） 2.15 （21500）
10
770 硅钢（热轧） 4Si ，余为Fe 450 8000 4.8 （0.6） 1.97 （19700） 60 690 硅 钢
（冷轧） 3.3Si ，
余为Fe
600
10000
16 （0.2）
2.0 （20000）
50
700
表1-3 典型硬磁材料的性能
二、 电磁波及其解
平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本地形式。

之所以强调平面电磁波的重要性，是由于存在以下三条理由：
i ·数学处理简单；
ii ·任何复杂的波型都可分解为平面电磁波的迭加； iii ·远离辐射天线区域的电磁波都可看作平面波。

可见，清楚了平面电磁波的传播行为与特性，是解决其他电磁波传播问题的基础。

2.1在各向异性介质中的电磁波波动方程及其解
在实际应用中，经常会碰到各向异性介质的问题，从各向异性介质的电磁性质方程开始，结合麦克斯韦方程组，推到电各向异性与磁各向异性介质中的电磁波波动方程，并对其性质及解进行讨论。

（1）各向异性介质的电磁性质方程
在各向异性的介质中，介电常数与磁导率已不是一个标量，而是变成了一个张量：
在电各向异性介质中：
3
33232131332322212123
132121111E E E D E E E D E E E D εεεεεεεεε++=++=++= (1.1a)
如果选择坐标轴与各向异性介质的主轴相重合，则上述方程变成：
333322221111,,E D E D E D εεε=== (1.1b)
定义
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛=33332
2221
11100000
0e e e e e e
εεεε （1.2） 为介电常数张量，则（1.1b ）可表示为
E D
•=ε （1.3）
在磁各向异性介质中：
3
33232131332322212123
132121111H H H B H H H B H H H B μμμμμμμμμ++=++=++= (1.4a) 如果选择坐标轴与各向异性介质的主轴相重合，则
333322221111,,H B H B H B μμμ=== (1.4b)
定义
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛=33332
22211110
000
0e e e e e e μμμμ （1.5） 为磁导率张量，则（1.4b ）可表示为：
H B
•=μ (1.6) 为简化起见，在以下的讨论中，都假定坐标轴与介质的三个主轴重合，即式 （1.3）和（1.6）成立。

（2）各向异性介质中的波动方程
众所周知，麦克斯韦方程组是：
=•∇=•∇+∂∂=⨯∇∂∂-
=⨯∇B D j t D H t B E ρ
把j t
D H
+∂∂=⨯∇对时间求导并交换求导顺序，有：
22t
D
t j t H ∂∂+∂∂=∂∂⨯∇ 再把各向异性介质中的电磁性质方程： t H
t H t B E ∂∂•-=∂•∂-=∂∂-=⨯∇ μμ)(
代入就得到：
2
21
)]
()[(t
E
t j E ∂∂•+∂∂=⨯∇•⨯∇--
εμ （1.7）
式中：1
)(-μ
是张量μ 的逆，满足I =•-μμ1)(,I 为单位张量，而
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-33332
222
11111
10
00100
1)(e e e e e e
μμμμ
（1.7）式是一个复杂的式子，必须把它展开成分量式，其各个分量如下：
y
x E z x E t j t E y E z E y z x x x
x ∂∂∂+
∂∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂2
332
2222112
23322221111μμεμμ （1.8）
y
x E z y E t
j t E z E x E y
z y y y
y ∂∂∂+
∂∂∂+
∂∂=
∂∂-∂∂+∂∂2
332
112
222
22
1122331111μμεμμ （1.9）
z
x E z y E t j t E y E x E x
y z z z
z ∂∂∂+
∂∂∂+∂∂=
∂∂-∂∂+∂∂2
222
112233
221122221111μμεμμ （1.10）
而对于H
的方程，经类似的推导可得如下的方程：
2
211
]
)[()]()[(t
H
j H ∂∂•-=•⨯∇-⨯∇•⨯∇--
μεε （1.11） 式中1)(-ε 是ε 的逆，满足I =•-εε1)(,I
是单位张量，而
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-33332
222
11111
10
00100
1)(e e e e e e εεεε
（1.11）式的各分量为：
z
x H y x H y j z j t H z H y H z y z y x x
x ∂∂∂+
∂∂∂+∂∂-∂∂=∂∂-∂∂+∂∂2
222
3333222
2112
2222233111111εεεεμεε （1.12）
z
y H y x H z j x j t H z H x H z
x x z y y
y ∂∂∂+
∂∂∂+∂∂-∂∂=
∂∂-∂∂+∂∂2
1123311332
222
22
222233111111εεεεμεε （1.13）
z
y H z x H x j y j t H y H x H y
x y x z z
z ∂∂∂+
∂∂∂+∂∂-∂∂=
∂∂-∂∂+∂∂2
112
2222112233
22112222111111εεεεμεε （1.14）
从上述的两组分量方程来看，在介质同时为电各向异性与磁各向异性的情况下，电磁波的传播过程虽仍有波动性质，但情况是十分复杂的；但是在实际经常碰到的问题中，绝大多数介质的电各向异性或磁各向异性是分别单独存在的，因此，分别考虑其情形。

(3)只存在电各向异性时的波动方程
在这种情况下，磁导率张量退化为一个常数μ，那么方程组（1.8~1.10）就变成：
)
(2
211222222E x
t j t E z E y E x E x x
x x x •∇∂∂
+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂μμε (1.15)
)
(2
222
2
22
22
2E y
t j t E z E y
E x
E y y y
y y •∇∂∂
+∂∂=∂∂-∂∂+
∂∂+
∂∂μμε (1.16)
)
(2
233
222222E z
t j t E z E y E x E z z
z z z •∇∂∂
+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂μμε (1.17)
此时，方程已具有明显的波动方程的形式，只是三个方向的波传播速度不同：
33
22
11
1
,1
,1
μεμεμε=
=
=
z y x v v v （1.18）
此时，方程组（1.12~1.14）虽然仍很复杂，但由于电场以波动形式传播，磁
场也必然如此；在无源区域里，亦即0,0==ρj 的情况下，0=•∇D 的条件变成：
0332211
=∂∂
+∂∂+∂∂z y x E z
E y E x εεε (1.19) 此与各向同性介质中的
0=•∇E
是不同的约束条件，这是必须注意的。

(4)只存在磁各向异性时的波动方程
在这种情况下，介电常数退化为一个常数ε，那么方程组（1.12~1.14）就变成：
x
x
x x x j H x
t H z H y H x H )()(2
211222222⨯∇-•∇∂∂
=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂ εμ （1.20）
y
y
y
y
y
j H y t H z H y H x H )()(2
222222222⨯∇-•∇∂∂
=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂ εμ （1.21）
z
z
z z z j H z
t H z H y H x H )()(2
2332
22222⨯∇-•∇∂∂
=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂ εμ （1.22）
此时，方程已具有明显的波动方程的形式，只是三个方向的波传播速度不同：
ε
με
με
μ3322111
,1
,1
=
=
=
z y x v v v （1.23）
此时方程组（1.8~1.10）虽然仍很复杂，但由于磁场以波动形式传播，电场也必
然如此；在无源区域里，即0,0==ρj 的情况下，
0=•∇B 的条件变成： 0332211
=∂∂+∂∂+∂∂z y x H z
H y H x μμμ (1.24) 此与各向同性介质中0=•∇B 也是不同的约束条件，这是同样必须注意的。

(5)结论
综合以上(1)、(2)、(3)、(4)的讨论，可以得出初步的结论：
<1>在电各向异性与磁各向异性同时存在的介质中，虽然电磁波的传播仍具有波
ρ=•∇D 动的性质，但决定其传播性质的方程却是十分复杂的，不仅规律不明显，而且各个方向上的传播互相影响，形成很复杂的局面。

<2>在实际存在的绝大多数情况下，只存在但一种（电的或磁的）各向异性，电磁波的传播具有很明显的波动方程得性质，而且很明显的表现为各个方向上的传播速度不同，而决定波速的公式仍与各向同性介质中的公式相似，这就是波速的各向异性。

但是，由于各向异性介质的引入，原先在各向同性介质中的约束条件
(或0=•∇D )和0=•∇B
都发生了改变，形成了与各向同性不同的约束条件，相当于是对源形成了不同程度的扭曲，这是必须注意的[2]。

2.2线性介质中的平面单色波及其解
线性介质指介质的性质是线性的（比如随着温度的升高，声速等比例增长。

在一定范围内近似相等。

）传播问题的研究对象是脱离了激发源的电磁场在空间
传播的规律。

传播问题的基本特点是0=ρ，0=j。

注意到这一特点，有Maxwell 方程组可以得出描述电磁波传播现象的基本方程式 t B E ∂∂-
=⨯∇ t D H ∂∂=
⨯∇ 0=•∇D
(2.1)
0=•∇B
研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出D 和E 的关系以及B 和H 的关系。

当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振荡。

在这频率下介质的极化)(ωχe 率为极化
强度P 与E
0ε之比，由此可得到这频率下的电容率()ωε。

在线性介质中有关系
()()()ωωεωE D
= （2.2）
同样，有
()()()ωωμωH B =
（2.3）
由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，即使是同一种介质，它
的电容率和磁导率也是不同的，即ε和μ是ω的函数
()ωεε=，()ωμμ= （2.4）
ε和μ随频率而变的现象称为介质的色散。

由于色散，对一般非正弦变化的
电场()t E ，关系式
()()t E t D
ε=不成立。

在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也已相同频率作正弦振荡。

例如无线电广播或通讯的载波，激光器辐射出的光束等，都接近于正弦波。

在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（Fourier ）分析（频谱分析）方法分解为不同的正弦波的迭加。

因此，下面我们只讨论一定频率的电磁波。

设角频率为ω，电磁场对时间的依赖关系是cos ωt ，或用复数形式表示为
()()e t i x E t x E ω-= ,
()()e
t i x H t x H ω-= , （2.5）
现在我们研究定态情形下的麦氏方程组。

在一定频率下，有E D ε=,H B
μ=,把（2.5）式代入（2.1）式，消去共同因子e t
i ω-后得
H i E ωμ=⨯∇,
E i H ωε-=⨯∇,
0=•∇E (2.6) 0=•∇H
对于0≠ω时，（2.6）式中的四个方程式并不完全独立，对前两个方程取散度，可以导出后两个方程。

所以研究线性介质中的单色波可以只考虑式（2.6）中的前两个方程得
E H i E μεωωμ2
)(=⨯∇=⨯∇⨯∇
由0=•∇E
,上式可以写作
02
2
=+∇E K E (0=•∇E ) (2.7)
其中
με
ω=K (2.8)
是空间沿波传播方向单位长度上完整波数的2π倍，称为电磁波的波数，它
决定于介质的电磁性质和波的激发频率。

式022=+∇E K E
，称为亥姆霍兹
（Helmholtz ）方程，式0=•∇E
决定了电磁波的横波性，称为横波条件。

解式
（2.7）求得电场，磁场可由式（2.6）中第一式给出
)
(1E i B E i H ⨯∇-=⨯∇=ωωμ (2.9)
完全类似，也可以对式（2.6）式中第二式取旋度，并利用第一式得出：
02
2=•∇=+∇H H K H (2.10) 其中K 仍由式（2.8）给出。

解方程（2.10）求出H 后，电场由（2.6）中的第二式给出
H
i E ⨯∇-=ωε1
(2.11)
注意在式(2.7)～(2.9)的方程中作代换H E -→,E H
→,μεεμ→→,,就可
得出方程式(2.10)～(2.11)。

这表明求出方程式(2.7)～(2.9)的解，通过上述代换就可得出式(2.10)～(2.11)的解。

所以求线性介质中的单色波可以归结为求方程式(2.7)～(2.9)的解[3]。

讨论平面电磁波的解。

设电磁波沿x 轴方向传播，其场强在与x 轴正交的平
面上各点具有相同的值，即E 和B
仅与x ，t 有关，而与y ，z 无关。

平面电磁波的波阵面（等相位点组成的面）为与x 轴正交的平面。

在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程
0)()(2
22=+x E K x E dx
d （2.12） 它的一个解是
ikx e E x E 0)( =
由（2.5）式，时谐平面波场强的全表示式为 )(0),(t kx i e E t x E ω-= （亦可写为)cos(),(0t kx E t x E ω-= ） （2.13） 例如：有一在水中沿X 轴传播的单色平面电磁波，已知它的电场强度为
)cos(0t kx E E ω-=
，式中0E 、k 和ω都与x ，y,z,t 无关。

试求它的磁场强度H .(水
的相对介电常量为78)
表3-1 不同温度下水的相对磁导率
解：求H 。

000)sin()cos()cos()]cos([E e t kx k E t kx E t kx t kx E E t
H
t B x
⨯--=⨯∇-+⨯-∇=-⨯∇=⨯∇=∂∂-=∂∂-ωωωωμ
)
cos()sin(00
t kx E e k E e dt t kx u k H x x ωωμ
ω-⨯=⨯-=⎰
式中积分常数量是与t 无关的量，k e k x
=是传播矢量，故得
)
cos(10t kx E k H ωωμ
-⨯=
或者，直接由单色平面电磁波的公式
E i H ⨯∇=ωμ1 ( E
k H ⨯=ωμ1 )
2.3电磁波在非线性介质中传播
设非线性介质的本构关系为
)(E D D = )(H B B
= (3.1)
...)
E E E (P +++=332210χχχε
上式可看作具有输入为H E ,,输出为)(),(X B X D 的非线性动态系统，X 为四维时空矢量，可用V olterra 泛函级数展开
)()(0
X D X D n n ∑∞== )()(0
X B X B n n
∑∞== (3.2)
则 )
()
(x ir r
n ir n i x ir r
n ir n i e
B B e
D D
θθ∑∑== (3.3) ⎪⎭
⎪⎬⎫==v j v ij n ir v j v ij n ir H H K B E E K D γγγγγμγε...)(...)(......
(3.4) 无源区域的Maxwell 方程
t B E ∂∂-
=⨯∇
t D H ∂∂=
⨯∇ 0=•∇E
0=•∇H
（3.5）
将（3.2），（3.3），（3.4）式代入（3.5）式可得对于任意阶谐波γ都满足的波动方程
⎪⎭
⎪⎬⎫=+++⨯=---⨯0...)(0...)(22v j ijv j ij i v j ijv j ij i E E E H K H H H E K
εωεωμωμω (3.6) 联立可求得
0),,(=H E K F
(3.7)
此即为非线性介质中的色散方程，不同于线性介质的是非线性介质的色散方程与场有关。

应用举例：
对于均匀、各向同性、非磁性的非线性介质，场方程（3.6）式可以简化为
0)(...)()()(23222=+++-K E K E K E K E K
εεμεω (3.8)。